分段函数_函数的可积性与原函数存在性

分段函数_函数的可积性与原函数存在性 大学数学第 25 卷第 2 期Vol . 25 , ?. 2 2009 年 4 月COL L E GE MA T H EMA T ICS Ap r . 2009 分段函数 、函数的可积性与原函数存在性 马保国 ,王延军 () 延安大学 数学与计算机科学学院 ,陕西 延安 716000 [ 摘 要 ] 论述了分段函数在数学分析中的作用 ,并以分段函数为工具 ,给出了函数的原函数存在和黎曼 可积之间的关系 ,有助于全面掌握原函数和定积分这两个重要概念. [ 关键词 ] 分段函数 ;可积性 ;原函数 ;间断点 () 文章编号 ] 167221454 20090220200204 [ [ 中图分类号 ] O174[ 文献标识码 ] C ( ) 在一元函数积分学中 , 原函数 不定积分和定积分概念 , 虽然它们建立的背景有很大的不同 , 但是 ,当我们建立了微积分基本定理之后 , 就把二者联系起来了. 于是 , 许多初学者就产生错觉 , 认为函数的原 ( ) 函数存在 , 则函数就黎曼可积 简称可积; 或者函数可积 , 则其原函数就一定存在. 在现行的数学分析教 材中 , 尽管也指出原函数存在和函数可积没有必然的联系 , 但由于教材篇幅和讲授学时的限制 , 对原函 数存在性和可积性间的关系 , 没有作一般性的讨论. 本文以数学分析教材内容为基础 , 利用分段函数对 函数的原函数存在性和可积性作一些补充讨论 , 以帮助初学者弄清原函数存在性和可积性这两个重要 概念之间的相互关系. 1 分段函数 众所周知 , 在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数. 对于非初等函数的讨论常出现在一些重要概念和理论问题的进一步剖析和讨论中 , 它的主要应用之一就是构造满足某些的反例 , 由此 对概念或定理进行辨析与阐述 , 分段函数就是这样一类重要的函数. 如 , 狄利克莱函数 、黎曼函数 、符号 函数等就是这方面应用的典范. 所谓分段函数 , 是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式示 , 而是用几个不同的解析式来 表达的函数 , 有时可能要用无穷多个解析式. 分段函数一般定义为 :设 I 是一个区间 , f 在 I 上有意义且 满足 n ( ( ) ) ( ) ) ()( i I = ?I i , I i ?I j = 0i ?j;ii f x= f i x, x ?I i ,i = 1 , 2 , , n , i = 1 则称 f 为 I 上的分段函数. 由于数学分析中遇的分段函数 , 每个 f 都是 I 上的初等函数 , 所以和初等函数一样我们可以去讨 i i 论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质. 由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式 来表示的 , 所以它们经常具有某些独特的性态 , 这也正是我们所关注的. 特别在函数解析表达式的分界 点处 , 是出现这类独特性态的敏感点 , 因而是讨论的重点. 通过对分界点的讨论可以论证函数的一些典 型的或重要的性质. 例如 , 为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质 , 在数学分析中给出了黎曼函数 , 并证明它在 有理点处都不连续 , 在无理点处都连续. 从而使学生对函数在一点连续的局部特征有更强烈的印象. [ 收稿日期 ] 2006211202 (() )[ 基金项目 ] 陕西省第三轮高等教育教学改革项目 2005295;陕西省精品课程项目 2006256 201 第 2 期马保国 ,等 :分段函数 、函数的可积性与原函数存在性 概括地说 , 利用分段函数可以强化数学分析中的一些基本概念; 利用分段函数可以辨析函数的连续性、可导性、可积性等之间的关系 ; 利用分段函数可以构造具有某些特殊性质的函数 ; 利用分段函数可以 解答数学分析中的一些疑难问题. ( ) 总之 , 分段函数是一类具有特殊性质的重要函数 , 在数学分析 乃至整个高等数学中有重要应用和 [ 3 , 6 ] 地位. 在教学中 , 如果我们能充分的应用分段函数的特点 , 引导学生掌握基本概念和理论正面和反 面的意义 , 进而准确理解和掌握这些基本概念和理论 , 这对于提高数学分析教学效果是十分重要的. 2 函数的可积性与原函数存在性 2 . 1 函数的可积性与原函数存在性的基本结论 [ 1 ] ( ) 在数学分析教材中, 对区间[ a , b]上的函数 f 的可积性一般给出如下基本结果 定理 1, 通常称 ( ) 为积分的充分条件 可积函数类. () 定理 1i若函数 f 在区间[ a , b]上连续 , 则 f 在区间[ a , b]上可积; () ii若有界函数 f 在区间[ a , b]上仅有有限个间断点 , 则 f 在[ a , b]上可积; () iii若函数 f 在区间[ a , b]上单调 , 则 f 在[ a , b]上可积. 根据定义 , 所谓 f 在某区间上原函数存在 , 是指在该区间上能找到一个函数 F , 使得在该区间上等 ( ) ( ) 式 F′x= f x成立. 对原函数的存在性 , 我们有 定理 2 若函数 f 在区间[ a , b]上连续 , 则 f 在区间[ a , b]上原函数存在. 以上两个定理在数学分析教材中均有证明 , 这里不再赘述. 进一步 , 对函数原函数的存在性 , 我们有 下列事实 : () 定理 3i若函数 f 在区间[ a , b]上含有第一类间断点 , 则 f 在[ a , b]上不存在原函数 ; () ii若函数 f 在区间[ a , b]上有无穷型间断点 , 则 f 在[ a , b]上不存在原函数; () iii若函数 f 在区间[ a , b]上存在原函数 , 则 f 在[ a , b]上的间断点是第二类的. () ( ) ( ) 证 i设 x?[ a , b]是 f 的第一类间断点 , 且 f 在区间[ a , b]上存在原函数 F , 则 F′x = f x, 0 x ?[ a , b] . 从而由导数的极限定理得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) li m f x= li m F′x= F ′x= F′x= f x.+ 0 0 0 ++ x ?x x ?x 0 0 同理 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) li m f x= li m F′x= F ′x= F′x= f x.- 0 0 0 -- x ?x x ?x 0 0 可见 , f 在 x 连续 , 矛盾.0 () ( ) ii设 x?[ a , b]使得 li m f x= ?, 且 f 在[ a , b]上存在原函数 F , 于是有0 x ?x 0 ( ) ( ) F x- F x 0 ( ) ( ) F′x= ?,= li m F′x= li m0 x ?xx ?xx - x 0 00 ( ) ) ( 这与 F′x0 = f x0 矛盾 , 故 f 在[ a , b]上不存在原函数. () () iii若 f 在[ a , b]上存在原函数 , x?[ a , b]是 f 的间断点 , 由 i, x不可能是 f 的第一类间断点 ,0 0 从而只能是第二类间断点. 由以上的三个定理可见 , 有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是 可积的; 连续函数的原函数一定存在 , 含有第一类间断点的函数 、含有无穷型的第二类间断点的函数一 定不存在原函数. 2 . 2 可积函数的原函数存在性讨论 ( ) 首先 , 第一类可积函数 , 即连续函数一定存在原函数 定理 1. 这时 , 原函数可用变上限定积分来表 x ( ) ( ) 示. 即若 f 在[ a , b]上连续 , 则 F x= f td t 是 f 在[ a , b]上的一个原函数. a ? () 其次 , 对于第二类可积函数 , 即只有有限个间断点的有界函数. 由定理 3 ii, 若 f 在区间[ a , b ]上含 有第一类间断点 , 则 f 在[ a , b]上不存在原函数; 若 f 在区间[ a , b]上含有无穷型第二类间断点, 则 f 在 202 大 学 数 学第 25 卷 [ a , b]上不存在原函数; 若 f 在区间[ a , b]上含有非无穷型第二类间断点 , 则 f 在[ a , b ]上原函数存在性 不定. 请看下面的例子. 1 , x ?0 ,( ) 讨论函数 f 的可积性与原函数存在性.例 1 设 f x=0 , x < 0 , ( ) ( ) 解 因为 li m f x= 1 ?li m f x= 0 , 故 x = 0 是 f 的第一类间断点. 当 x ?0 时 , f 连续. 因此 , f+-x ?0 x ?0 在任何包含原点的区间上均不存在原函数. 但 f 在任何包含原点的区间上是可积的. 1 si n + sgn x , x ?0 , 1 ,x - 1 ( ) 例 2 设 f x=讨论函数 f 在[ - 1 , 1 ]的可积性与原函数存在性. 0 , x = 0 , 1 , 解 由于 f 在[ - 1 , 1 ]上有界 , 且仅有一个第一类间断点 x = 0 和一个第二类间断点 x = 1 , 因此 f 在[ - 1 , 1 ]上可积. f 在[ - 1 , 1 ]上不存在原函数. 事实上 , 假设 f 在 [ - 1 , 1 ] 上存在原函数 F , 则 F′= f , 但是 , F在′ [ - 1 , 1 ]上存在第一类间断点 x = 0 , 这是不可能的. 1 1 2 x si n - co s ,x ?0 ,x x ( ) ( ) 例 3 设 f x=讨论函数 f 在 - ?, + ?上的原函数存在性. x = 0 , A , 解x = 0 是函数 f 的唯一一个间断点. 因为 1 1 ) ( li m f x= li m 2 x si n - co s x ?0x ?0x x 不存在 , 从而点 x = 0 是函数 f 的非无穷型的第二类间断点. 显然 , 当 A = 0 时 , f 有原函数 1 2 si n x ?0 ,x ,x ( ) x= F 0 , x = 0 . 当 A ?0 时 , f 在含有原点的任何区间上均不存在原函数. 另外 , 显然函数 f 在任何包含原点的有限闭区间[ a , b ]上是有界的 , 且只用一个间断点 x = 0 . 从而 f 在区间[ a , b]上可积. 该例说明 , 存在含有非无穷型第二类间断点的可积函数 , 它不存在原函数 ; 同时 , 给出了一个不连续 的函数 , 既是可积的 , 又存在原函数. 最后 , 对于第三类可积函数即单调函数. 如果 f 在闭区间 [ a , b ] 上单调且连续 , 则自然 f 在区间 [ a , b]上存在原函数; 如果 f 在闭区间[ a , b]上单调但不连续 , 那么 , 由于单调函数的间断点是第一类的 , () 根据定理 3 中的 i, f 在区间[ a , b]上不存在原函数. ( ) ( ) 例如 , 阶梯型函数 f x= [ x ] 实际上是一分段函数, 在整个实数轴上是单调递增的 , 有无穷多个 跳跃间断点 , 它不存在原函数. 2 . 3 原函数存在的函数的可积性讨论 显然 , 若 f 在区间[ a , b ]上连续 , 则 f 在区间[ a , b ]上可积 ; 若 f 在区间[ a , b ]上不连续 , 一般来说 , ( ) 即使在区间[ a , b]上 f 的原函数 F x存在 , f 在区间[ a , b]上也不一定可积. 2 1 1 2 x si n - co s , x ?0 ,2 2 x xx( ) 例 4 设 f x=则在闭区间[ - 1 , 1 ]上 , f 存在原函数 , 但不可积. 0 , = 0 , x 2 1 x ?0 , si n x,1 1 2 x ( ) ( ) 则当 x ?0 时 , F′x= 2 x si n - co s , 又 解 令 F x=2 2 x xx0 , x = 0 , 1 2 xsi n - 0 ( ) ( )F x- F 0 1 x = li m x si n = 0 , li m= li m2 x ?0 x ?0 x ?0x - 0 xx 所以 , F 是 f 在[ - 1 , 1 ]上一个原函数. 203 第 2 期马保国 ,等 :分段函数 、函数的可积性与原函数存在性 1 2 ( ) 又 f 在[ - 1 , 1 ]上无界. 事实上 , 对任意 M > 0 , 取 n = [ M ] + 1, x=?[ - 1 , 1 ] , 有0 π 2 n 2 ( ) πππ | f x0 | =si n2 n-2 nco s2 n π 2 n π = 2 2 n> n = [ M ] + 1 > M . 因此 , f 在[ - 1 , 1 ]上不可积. 我们来看一看 Di ric hlet 函数、Rie ma nn 函数的原函数存在性与可积性. 1 , x 是无理数 ,( ) ( ) ( ) 例 5 设 D x=Di richlet 函数, 则它在任一有限区间上 , D x既不存在原函 x 是有理数0 , 数 , 也不可积. 解 事实上 , 任意实数都是 Di richlet 函数的非无穷型间断点 ,由于它不具有介值性 ,所以不存在原 函数 ;又知 ,可作二不相等的积分和 ,所以 ,Di ric hlet 函数在任一有限区间上不可积. 1 p ,x = , p 、q 互素 , q > p ,q q ( ) ( ) 例 6 设 R x=Rie ma nn 函数, 则在[ 0 , 1 ]上可积 , 但不存 ( ) = 0 , 1 以及 0 , 1内的无理数x 0 , 在原函数. ( 解 事实上 , 尽管 Rie ma nn 函数在无理点连续 ,在有理点不连续 ,它在 [ 0 , 1 ] 上是可积的 证明见 () ) [ 1 ]. 但 Rie ma nn 函数不存在原函数 理由同 Di ric hlet 函数. Di ric hlet 函数和 Rie ma nn 函数的主要区别在于连续点的“数量”,前者的不连续点是不可数个 ,而 后者的不连续点是可数个. 从而 ,导致了一个不可积 ,另一个可积. 因为 ,黎曼积分本质上是连续函数的 积分 ,要使函数可积 ,它的连续点的数量就应该很多 ,多到是一个稠密集. 从上面的讨论可见 , 函数的可积性和原函数存在 , 是两个不同的概念 , 它们互不蕴涵. 这就是说 , 可 积函数既可能存在原函数 , 也可能不存在原函数 ; 原函数存在的函数 , 有可能可积 , 也可能不可积. 当然 也存在既不可积 , 也不存在原函数的函数. [ 参 考 文 献 ] () [ 1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 第三版[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2001 . () [ 2 ] 刘玉琏 ,傅沛仁. 数学分析讲义 第三版[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1992 . () [ 3 ] 胡平. 分段函数在数学分析中的应用[J ] . 青海师范大学学报 ,1995 ,17 4:19 - 22 . () [ 4 ] 张守田. 分段函数在数学分析教学中的应用[J ] . 锦州师范学院学报 ,2003 ,24 2:60 - 62 . () [ 5 ] 阎彦宗 ,陈海鸿 ,岳晓红. 可积性与原函数存在性的关系[J ] . 安庆师范学院学报 ,2003 ,22 2:96 - 98 . () [ 6 ] 张永清. 分段函数在高等数学中的地位和作用[J ] . 辽宁师范大学学报 ,1996 ,19 2:159 - 163 . Piece wise Funct ion , Integra bil ity an d Existence of Primit ive Funct ion M A B ao2g uo , W A N G Y a n2j u n ( )College of Mat hematic s a nd Co mp uter Science , Ya nan U niver sit y , Ya na n 716000 , China Abstract : The role of piecewi se f unctio n in mat hematical a nalysi s i s di scussed a nd by using piecewi se f unctio n t he relatio nship bet ween p rimitive f unctio n a nd Riema nn integra ble i s p re sented , w hich co nt ribute s to ma king t he t wo impo rta nt co ncep t s of p ri mitive f unctio n a nd definite integral ma stered co mpletely. Key words : piecewi se f unctio n ; integra bilit y ; p ri mitive f unctip n ; di sco ntinuit y point