曲边梯形

曲边梯形 问题7.3、曲边梯形 问题7.3、曲边梯形 一、提出问题 学习过《高等数学》的人都知道，定积分是《高等数学》的重要内容，有着重要的应用价值。通常，我们在计算定积分时，所用的方法是“牛顿—莱布尼兹公式”，即借助被积函数的原函数来计算，这样得到的值是准确值。但在实际应用时，我们所需要的定积分值大部分情况下都是近似值。因此，我们在这里要求采用初等的几何方法来计算一个定积分的近似值。 现在要求给出一个算法:能在计算机上实现“定积分”近似计算。 二、简单分析 b我们知道，对于定积分来说，其几何意义是:f(x)dx,a b的值表示由曲线y = f ( x )和直线x = a、x = b以及x轴所f(x)dx,a 围成的一个称为“曲边梯形”的图形面积(如图7 – 4所示)。因此， 我们可以将定积分计算问题转化为一个曲边梯形面积的计算问题， 这种处理定积分计算的方法通常称为“初等的几何方法”。 图7 – 4“曲边梯形”示意图 对于曲边梯形面积的计算，我们可以用下面的一个近似方式来完成。方法步骤为: 第一步:将区间[ a , b ]分成长度相等的n个小区间，各小区间的长度为h = ( b – a ) / n。 第二步:以每个小区间的长为高，可得到n个小曲边梯形。 第三步:用直线段近似小曲边梯形的“曲边”，就得到n个对应于小曲边梯形的小梯形。 第四步:依据梯形面积的计算公式，我们计算出各个小梯形的面积，并将它们相加后所得 的和，就是原来曲边梯形面积的近似值了，也就得到了定积分的近似结果。 这种计算定积分的方法称为“梯形法”。 通过简单的分析，我们可应用“梯形法”来处理定积分的近似计算问题，这样要得到相关的算法，要解决的问题就是: ? 如何计算各个小梯形的面积, 三、准备 各个小梯形面积的计算 b对于给定的定积分，按“梯形法”的要求，要先将区间[ a , b ]分成长度相等的n个小f(x)dx,a 区间，小区间的长度为h = ( b – a ) / n，这样各个分点依次为: x = a , x = a + h , x = a + 2h , x = a + 3h , „„ , x = a + nh = b， 0123n 1 ()()fx，fx((1))()fa，i,h，fa，ihi,1i所以第i个小梯形的面积为。 ,h,,h22 四、实施步骤 1(算法编制的工作顺序: 有了上述的设计准备，我们可按“梯形法”的要求编制所需要的算法: 第一步:输入积分下限和上限值和等分区间的个数; 第二步:计算等分后小区间的长度; 第三步:逐个计算小梯形的面积，并实现累加; 第四步:输出累加的和，为所求定积分的近似值。 2(变量设置: N :表示等分区间[ a , b ]的份数; A :表示定积分的下限; B :表示定积分的上限; H :表示等分后小区间的长度; :表示定积分的近似值; S T :表示小梯形的面积; 3(参考框图:如图7 – 5所示。 4(框图说明:整个框图应分为三个功能部分: 第一个部分的功能是完成计算的准备工作，即实现等分区间 数、积分区间上下限的输入，以及小区间长度的计算; 第二个部分的功能是实现对各个小梯形面积的计算和累加; 第三个部分的功能是输出所计算定积分的近似值。 5(参考算法 图7–5 处理“定积分计算”问题的框图 第01步:输入等分积分区间数N和积分区间的上下限A和B; 第02步:让 H , ( B – A ) / N ; 第03步:让 S , 0; 第04步:让I , 1; 第05步:若 I > N ，则执行第09步; 第06步:让 T , [ f (A + (I – 1 ) ， H ) + f ( A + I ， H )] ， H / 2; 第07步:让 S , S + T; 第08步:让I , I + 1，返回第05步; 2 第09步:输出S，结束。 在参考算法中: 第02步完成等分后小区间的长度计算; 第03步至第08步利用一个循环完成计算各个小梯形面积的值并实现累加。其中: (1)第06步实现小梯形面积的计算; (2)第07步实现小梯形面积值的累加。 第09步完成最后结果的输出。 五、评估反思 这里的参考算法是针对定积分的一般形式所编制的，其逻辑结构简单且清晰。由于参考算法的设计使得每一次循环只计算一个小梯形的面积，这就较明显地凸现了定积分的几何意义，其处理的手法容易被人理解。 从理论上看，参考算法可以对任意一个定积分进行近似计算，并能输出相应的近似值。但应用本参考算法处理某个具体定积分时，必须先将参考算法中的被积函数具体化。例如，要使用参考算 1法来计算定积分，就必须要先将参考算法中的函数f ( x )改换为函数sinx。 sinxdx,0 此外，关于本参考算法，如下几个方面应引起我们的注意。 1(结果的误差与区间的等分。 我们知道，凡近似计算都应考虑其“误差”(即要考虑计算的精确度)，然而本参考算法却没有这方面的设计，这是一个不足。事实上，“梯形法”所得近似值的精确度取决于我们等分区间[ a , b ]的份数n，n越大则精度越高，反之越低。因此，想得到较高精确度的近似值，我们可以适当增大n的值。 2(关于对参考算法的优化。 值得一提的是，本参考算法并不是处理定积分问题的最好算法，它只是同类诸多算法中的一种。下面，我们再介绍一种方法来计算定积分，看看这种方法与前面介绍的方法有何不同。 我们先找出求n个小梯形面积的代数和的公式。设y , y , y , „ , y分别是x等于x , x , x , „ , 012n012x时函数y = f ( x )的值，则 n bhhhh f(x)dx,(y，y)，(y，y)，(y，y)，？，(y，y)011223n,1n,a2222 h ,[y，2(y，y，？，y)，y]012n,1n2 h ,[y，2(y，y，？，y，y),y]012n,1nn2 利用这个近似公式，可得到如下的算法: 第01步:输入等分积分区间数N和积分区间的上下限A和B; 3 第02步:让 H , ( B – A ) / N ; 第03步:让 X , A; 第04步:让S , f ( A ); 第05步:让I , 1; 第06步:若 I > N，则执行第12步; 第07步:让 X , X + H; 第08步:让 T, f ( X ); 第09步:让S , S + 2T; 第10步:让I , I + 1，返回第06步; 第11步:让 S , [S – f ( B )] ， H / 2; 第12步:输出S，结束。 我们通过计算量，简单地比较一下本算法与前面介绍的参考算法。 显然，两个算法都只用到了一层循环。而在每次循环中，前算法进行的各种计算共有11次(即有函数计算2次，加法4次，减法1次，乘法3次，除法1次)，整个循环共需计算11n次;本算法进行的各种计算共有4次(即有函数计算1次，加法2次，减法0次，乘法1次，除法0次)，整个循环共需计算4n次。当n较大时，这种差别是十分明显的。 不难看到，在保证相同精确度的情况下，本算法较前参考算法在计算工作量方面要小许多，这必然使得本算法较前参考算法在运算时间上要节省许多。显然，本算法是在前参考算法基础上通过简单的数学化简处理后得到的。这告诉我们，充分应用数学思想和方法，对我们实现算法的优化有着重要而积极的意义。 3(定积分近似计算的通用方法。 应当指出的是，目前用计算机处理定积分近似计算的通用方法是“辛普森法”，也称“抛物线法”。该方法不论是从精确度还是从运行速度来看，都优于上面介绍的两个方法，其原因是它们采用的近似方式不同。上面介绍两个方法的近似方式都是用直线近似被积函数曲线，而辛普森法则是用二次曲线近似被积函数曲线。 六、要点回顾 1(数学思想:处理本问题算法设计的数学思想——“梯形法”思想; 2(常用公式:n等分区间后各小区间的长度计算公式:h = ( b – a ) / n; 3(算法技巧:两个计算定积分算法效果比较所体现出的数学思想和方法，对算法优化的作用; 4(实用方法:应用循环方式实现类似“累加”、“累乘”问题的处理方法。 4