非绝对值问题添绝对值求解

非绝对值问题添绝对值求解 苏进文 (广西岑溪市第二中学 543200) 在解含有绝对值符号的问题时，化去绝对值的符号是很容易想到的，但有些非绝对值的数学问题，按照常规思路求解较难，若合理地添加绝对值的符号，反而会得到问题求解的新途径，既避免分类，又收到意想不到的效果。今举几例说明。 2,xsinx,1x,0，，，，, 例1 判断函数的奇偶性。 fx,，，,2,，，，，xxx,sin，10, aa,0，，,，，a,Ra, 解 逆用性质，则原函数化为 ,，，,aa0, 2,xsinx,1x,0，，，，,2。 ，，，，fx,,xsinx,1,2,，，，，x,sinx,1x0, 22，，fx又，，，，，，，，，，，，，故是偶函数。 f,x,,xsin,x,1,xsinx,1,fx ，，，，，，fxf1,afa 例2 设定义在[-2，2]上的偶函数在[0，2]上单调递减，且<，求实数a 的取值范围。 ，，，，，，？f,x,fx,fx，，？fx 解 是偶函数，。 ，，，，？f1,afa，，，，，，？f1,afafx <，<。又在[0，2]上单调递减，且|a|， ,1,aa ,11,|1-a|[0，2]，有，解得-1a<。故a的取值范围是[-1, )。 ,,2,1,a,2,22,,2,a,2, ,x2x,2xsin，1,0 例3 解方程。 2 22xx1,，xx，1,sin, 解 显然x,0，则原方程化为，？sin,,1。 22x22x 2x,,xx，1,而，，且，解得x=1为原方程的解。 sin,1？sin,1,12x22 4x,1,,1 例4 对于x,R，求证。 2x，4 4x4x4x4xy,,1,y,1 证:设，则，，即y,,,,1222x，44xx，4x，4 4x,1,,1。 2x，4 2y,sinx， 例5 求函数的值域。 sinx 2？inx与 解 同号， sinx 22111， ？y,sinx，,sinx，,sinx，，,2，,3sinxsinxsinxsinxsinx y,3，，,,,,3,,,3,，,。故所求函数值域为。 即 22x,2ax，a，1，，fx, 例6 求函数的值域。 x,a 11，，fx,x,a，x,a与 解 原函数化为。又同号， x,ax,a 11，，。 fx,x,a，,x,a，,2x,ax,a ，，，，fx,,,,2,,,2,，,所以函数的值域为。 (原载于甘肃《数学教学研究》2003 7 P) 35