向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1)O是,ABC的重心. OA，OB，OC,0, 证法1:设 O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y) 112233 ，，xxx,123,x,(,)，(,)，(,),0xxxxxx,,3123, OA，OB，OC,0,,,(y,y)，(y,y)，(y,y),0y，y，y123,123,y,,3, O是,ABC的重心. , A证法2:如图 OA，OB，OC？ ,OA，2OD,0EO AO,2OD？ ADO三点共线，且分 ？A、O、D 为2:1 BDC O,ABC是的重心 ？ ,ABCO(2)为的垂心. OA,OB,OB,OC,OC,OA, 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. AOA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 E ,OB,AC O同理， OC,ABOA,BC ,ABCO为的垂心 ,BDC ,b(3)设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 ac ,ABCaOA，bOB，cOC,0,O为的内心. ABACAB、AC？、证明:分别为方向上的单位向量， cb ABAC，BAC，平分, ？cb ABACbc？AO,,(,，,)，令 a，b，ccb ABACbcAO,(，) ？a，b，ccb (a，b，c)OA，bAB，cAC,0化简得 aOA，bOB，cOC,0？ ,ABC(4)OA,OB,OCO为的外心。 , 典型例题: P例1:O是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A、B、C OP,OA，,(AB，AC)P,ABC， ，则点的轨迹一定通过的( ) ，,,,0,，, A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 :如图所示,ABC，分别为边的D、EBC、ACA中点. ？AB，AC,2AD E OP,OA，2,AD？ ？OP,OA，APBDC ？AP,2,AD // ？APAD P,ABCC点的轨迹一定通过的重心，即选. ？ PO例2:(03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点A、B、C ABACP,ABC满足， ，则点的轨迹一定通过的( B ) ，,,,0,，,OP,OA，,(，) ABAC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABACAB、AC分析:分别为方向上的单位向量， ？、 ABAC ABAC，BAC，平分, ？ ABAC PB,ABC点的轨迹一定通过的内心，即选. ？ PO例3:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A、B、C ABACP,ABC，， ，则点的轨迹一定通过的,,,0,，,OP,OA，,(，) ABcosBACcosC ( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. A ABAC ,BC(，)EABcosBACcosC AB,BCAC,BC= ， ABcosBACcosCBDC,ABBCcosBACBCcosC ，= ABcosBACcosC ,BC=+BC=0 PD,ABC点的轨迹一定通过的垂心，即选. ？ 练习: P,ABC1(已知三个顶点及平面内一点，满足，若实PA，PB，PC,0A、B、C ,,数满足:，则的值为( ) AB，AC,,AP 3A(2 B( C(3 D(6 2 ,ABC2(若的外接圆的圆心为O，半径为1，OA，OB，OC,0，则( ) OA,OB, 11,A( B(0 C(1 D( 22 ,ABC,ABCO3(点在内部且满足OA，2OB，2OC,0，则面积与凹四边形 ABOC面积之比是( ) 354A(0 B( C( D( 243 H,ABC,ABCOH,OA，OB，OC4(的外接圆的圆心为O，若，则是的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 222OA，BC,OBO 5(是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 A、B、C 222，CA,OC，AB,ABCO，则是的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 OH,m(OA，OB，OC),ABC6(的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， 则实数m = ????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则2????|AB|AC|AB|AC||||?ABC为( ) A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 2,ABCAB,AB,AC，AB,CB，BC,CA8(已知三个顶点，若，则A、B、C ,ABC为( ) A(等腰三角形 B(等腰直角三角形 C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 练习:C、D、C、D、D、1、D、C