且线性无关。求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。

且线性无关。求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。 2.1 幂法 ?2 幂法及反幂法 适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值(按模最大的特征 值)和对应的特征向量。 优点: 方法简单 理论依据:迭代法的收敛性 问题的提法: nn 设 A aij R 其特征值为 i 对应特征向量为 xi i 1 n即 Ax i i x i i 1 n，且 x1 xn 线性无关。求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。 幂法的基本思想: 任取一个 非零初始向量 v0 R 且 v0 0， n由矩阵A的乘幂构造一向量序列 v1 Av0 v Av A2v 2.2 2 1 0 vk 1 Avk Ak 1v0 k 01 n称 v k 为迭代向量。 1.A特征值中 1为强占优即 1 2 n 2 .1 问题: nn 设 A aij R 其特征值为 i 对应特征向量为 xi i 1 n 即 Ax i i x i i 1 n ，且 x1 xn ，线性无关。特征值满足: 1 2 n 即 1为强占优。 求矩阵的主特征值 1及对应 的特征向量。 幂法: 首先讨论 1 及 x 1 与 v k 关 系 x1 xn 线性无关 即 x1 xn 为Rn中一个基，于是对任意 的初始向量 v0 R 且 v0 0 有展开式。 n v0用 xi 的线性组合示 n v0 i xi (且设 1 0) i 1 则 v1 Av0 A1 x1 2 x2 n xn 1 Ax1 2 Ax2 n Axn 11 x1 22 x2 nn xn k k k k 当k 23… 时，k Avk1 A v0 11 x1 22 x2 nn xn v k n 1 1 x1 k 2 2 k x 2 n n kk x nn 2 .3 n x 1 2 11 1 1 1 x 1 k k 2 k n k其中 k 2 x 2 n x n 1 1 i 由假设(2.1)式 1 2 n 得 1 i 2 n i k 1从而 k 0 i 2 n 即 k k 0 lim lim 1 2 vk且收敛速度由比值 r 确定。 所以有 k k 1 x 1 lim 2 .4 1 1 vk vk 说明，当k充分大时，有 k 1 x1，或 k 越来越接近特征向量1 x1。 1 1 其次讨论主特征值 1的计算。 v k 1 1 x 1 k k 若vk i 表示 v k 的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为 v k 1 i 1 1 1 x1 i k 1 i k 1 x1 i k 1 i 1 v k i 0 v k i 1 1 x1 i k i k 1 x1 i k i v k 1 i则有 lim 1 2 .5 k v k i 即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值 1且收敛速度由 2 2比值 r 来度量r 越小收敛越快 当 r 1而接近于1时收 1 1敛可能很慢。 结论: 定理7 (1)设 A R n n有n个线性无关的特征向量; (2)设A的特征值满足 1 2 n n (3)幂法: v0 ai xi 0 1 0 vk Avk 1 k 12 i 1 vk v k 1 i a lim 1 x1 b lim 1。则 k 1 k k v k i 2. A的主特征值为实的r重根，即 1 2 r r 1 n 问题: nn 设 A aij R 其特征值为 i 对应特征向量为 xi i 1 n 即 Ax i i x i i 1 n ，且 x1 xn ， 线性无关。特征值满足: 1 2 r r 1 n 求矩阵的主特征值 1 及对应 的特征 向量。 幂法: n 对任意的初始向量 v0 R 且 v0 0 有 v0 i xi (且设 1 2 n i 1 r 不全为零)，则有 r n i k r vk Avk1 A v0 k 1 i x i i x i 1 i x i k k k i 1 i r 1 i 1 n 1其中 k i i k x i ，且 lim k 0 i r 1 1 k vk r从而 lim i xi k 1 k i 1 vk 因此，当k充分 大时 k 接近于与 1 对应的特征向量的某个 1 r线性组合 i xi 1 2 r 不全为零 。 i 1 3. 幂法的改进 用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时如果 1 1 或 1 1 迭代向量的各个不等于零的分量将随 k 而趋于无穷 (或趋于零)，这样造成计算 机中的“溢出”。为了克服这个问题， 利用向量的方向与长度无关这一性质 将迭代 向量的长度规范化 以改进幂法。 所谓向量长度规范化就是将向量的分量同除以一 个常数使 向量长度为1向量长度有多种度量法可以采用 或 2maxv v max v i v i0 ，其中i0为所有绝对值最大的分量 1 i n v v中最小的指标。 v 归范化 u 或 u 等 maxv v2 性质: 设t 为实数， R 则 max t v t max v 或 tv t v 。 v n 2.1 幂法 ?2 幂法及反幂法 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v0 R 且 v0 0， n由矩阵A的乘幂构造一向量序列 v1 Av0 2 v2 Av1 A v0 2.2 vk 1 Avk Ak 1v0 k 01 n称 v k 为迭代向量。 1.A特征值中 1为强占优即 1 2 n 2 .1 vk v k 1 i 结论: a lim 1 x1 b lim 1。 k 1 k k v k i 2.A的主特征值为实的r重根即 1 2 r r 1 n vk r 结论: lim k i x i k 1 i 1 2 3. 幂法的改进 A v0 任取初始向量: u0 v0 0 且 1 0 令 max Av0 u2 2 迭代 规范化 A v0 max v1 Av0 max Av0 v1 Au0 Av0 u1 max v1 max Av0 2 A v0 2 A2 v 0 v2 A v0 v2 Au1 u2 max Av0 max Av0 maxv2 maxA2v0 2 max A v0 Ak v0 vk Ak v 0 max Av0 vk Auk 1 k 1 uk k maxA v0 maxvk max A v0 2 .6 及规范化向量序列 uk 。则有迭代向量 序列 v k 改进幂法计算公式: u0 v0 0 且 1 0 迭代 : vk Auk 1 k maxvk 2 .7 规范化 : uk vk / k k 12 先考虑 uk vk 与计算 1 及 x 1 的关系。 n n n 由于 v0 i xi 及 vk A v0 i A xi i i xi 1 1 x1 k 。 k k k k i 1 i 1 i 1 n i k 2 .8 其中 k i x i 0 当 k 。 i2 1 1 对规范化向量序列: uk 由2.7及2.8式有 vk 1 1 x1 k k 1 x1 k x x11 uk k maxvk max1 1 x1 k max 1 x1 k k max x max x11 当 k 时 k 0 2 对 迭代向量序列: vk Ak v0 1 1 x1 k k 1 x1 k vk 1 maxAk 1v0 max 1 1 1 x1 k 1 k max1 x1 k 1 于是， k max v k 1 max 1 x1 k 1 当 k 1 当k max 1 x1 k 1 即 v k绝对值最大的分量当 k 时，趋向于特征根 1。 结论: 定理 8 (1)设 A R n n 有 n个线性无关的特征向量; (2)设A特征值满足 1 2 n 且 Ax i i xi i 1 n (3) uk 及 v k 由改进幂法得到的规范化向量序列及迭代向量序列2.7式则有 x1 a lim uk b k k k max v k 1 . lim lim k max x1 且收敛速度由比值 r 2 确定。 1 2.2 加速方法 原点平移法 2 来确定 应用幂法计算A主特征值的收敛速度主要由比 值 r 1当r lt1但接近于1时收敛可能很慢，一个补救的办法是采用加速收敛的方法。 引进矩阵B A-pI，其中P是可选择的参数。 设A的特征值为 1 2 n 则B的特征 值为 1 p 2 p n p 且AB特征向量相同。 原点平移法的思想 如果需要计算A的 主特征值 1 ，适当选择p使满足: (1) 1 p是B的主特征值，即 1 p i p i 12 n max j p 2 2 j n 2 . 1 p 1对B应用幂法使得在计算B的主特征值 1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分有效 的。 原点平移法加速法 1. 设A的特征值是实数且满足:1 2 n 2 .9 求特征值的最 大值 1 显然不管B如何选取矩阵BA-pI 的主特征值为 1 p 或n p.当要求计算 1 及 x1时，首先考虑应选取p满足: 1 p n p . 2 p n p其次 使 max min 1 p 1 p 2 p n p n 0p 2 1或求极值问题 min max p 1 p 1 p 2 p n p或求极值问题 min max 1 p 1 p n p 2 n 0p 2 1 2 p n p 当 时，即 p p 时， 值达到最小。 1 p 1 p 2即当 A R n n 的特征 值满足 1 2 3 n时最佳的p值为 p 2 n 2 说明: 当 2 n能初步估计时，就可选择P 的 近似值。另外，p 2 n 2 的推导可以理解为因为收敛速度由 确定如果能 2 1把原点 向 2靠拢使 2 小下去则可加快收敛速度。但是当原点移 1 到某点使 n 2 时， n 就代替了 2，而 2就成了 n 若 n 大起来，收敛速度又慢下去，因此把原点移到 2 与 n 的中点最合适， 2 n如图示，取 p 作为新原点。 2 2. 设A的特征值是实数且 满足: 1 2 n 1 n 2.10求特征值的最小值 n 要求 n ，选取P 满足 n p 1 p . n 1 p 1 p且使 max min n p n p n 1 p 1 p 1 n 1当 时，即最佳参数 p 。 n p n p 2 说明:1 在 实际应用中A的特征值并不知道，所以p是无法确定的，该方法只是告诉我们，当发 现收敛速度慢时，可以适当移动原点加速收敛。 2 由以上讨论知用原点平移法可以 求最大特征值与最小特征值. 由 P.448 例3说明该方法确实可以加速收敛。 2.3 反 幂法 或逆迭代 设 A aij Rnn 为非奇异矩阵A的特征值满足: 1 2 n 0 对应 特征向量 x1 x 2 xn线性无关， 1 1 1 则A -1的特征值为 ，特征向量 x1 x2 xn。 1 2 n 1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量 计算 A的按模最小的特征值 n 的问题就是计算A-1按模最大的 1特征值 问题。 n 反幂法迭代公式: 任取初始向量， v0 u0 0 且n 0 vk A1uk 1 Avk uk 1 (线性方程组)当k 12时 k max v k 2.11 uk v k / k 若 A aij Rnn 有n个线性无关的特征向量且其特征值满足: 1 2 n 0 满足:则由反幂法2.11构造的向量序列 uk v k xn a lim uk b lim k 1 k maxxn k n n且收敛速度由比值 r.