一元三次方程求根公式

一元三次方程求根 目录 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 盛金公式(Shengjin’s Formulas) 一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)。 重根判别式:A=b2,3ac;B=bc,9ad;C=c2,3bd， 总判别式:Δ=B2,4AC。 当A=B=0时，盛金公式?: X1=X2=X3=,b/(3a)=,c/b=,3d/c。 当Δ=B2,4AC>0时，盛金公式?: X1=(,b,(Y1)1/3,(Y2)1/3)/(3a); X2，X3=(,2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)?31/2((Y1)1/3),(Y2)1/3)i/(6a)， 其中Y1，Y2=Ab+3a(,B?(B2,4AC)1/2)/2，i2=,1。 当Δ=B2,4AC=0时，盛金公式?: X1=,b/a+K;X2=X3=,K/2， 其中K=B/A，(A?0)。 当Δ=B2,4AC<0时，盛金公式?: X1=(,b,2A1/2cos(θ/3))/(3a); X2，X3=(,b+A1/2(cos(θ/3)?31/2sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T= (2Ab,3aB)/(2A3/2)，(A>0，,1<T<1)。 盛金判别法 盛金定理 盛金定理(Shengjin’s Theorems) 当b=0，c=0时，盛金公式?无意义;当A=0时，盛金公式?无意义;当A?0时，盛金公式?无意义;当T<-1或T>1时，盛金公式?无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式?是否成立,盛金公式?与盛金公式?是否存在A?0的值,盛金公式?是否存在T<-1或T>1的值,盛金定理给出如下回答: 盛金定理1:当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0(此时，方程有一个三重实根0，盛金公式?仍成立)。 盛金定理2:当A=B=0时，若b?0，则必定有c?0(此时,适用盛金公式?解题)。 盛金定理3:当A=B=0时，则必定有C=0(此时,适用盛金公式?解题)。 盛金定理4:当A=0时，若B?0，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理5:当A<0时，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理6:当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理7:当Δ=0时，若B?0，盛金公式?一定不存在A?0的值(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理8:当Δ<0时，盛金公式?一定不存在A?0的值。(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理9:当Δ<0时，盛金公式?一定不存在T?-1或T?1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。 显然，当A?0时，都有相应的盛金公式解题。 注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时，不一定有A<0。 盛金判别法(Shengjin’s Distinguishing Means) ? 当A=B=0时，方程有一个三重实根; ? 当Δ=B ,4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根; ? 当Δ=B ,4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根; ?当Δ=B ,4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d?0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方统一刊号:CN46-1014)，第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。(NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2;Dec，1989), A new extracting formula and a new distinguishing means on the one 98 . variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP?91— 一元 三次ax +bx +cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔?花木子米给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 (《数学九章》等) 一元三次方程求根公式 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思1/3)ω ， 3、一般三次方程ax +bx +cx+d=0(a?0),两边同时除以a,可变成x +sx +tx+u=0的形式。 再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x +px+q=0的形式。 设x=u+v是方程x +px+q=0的解，代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u +v +q=0 ?， 如果u和v满足uv=-p/3,u +v =-q则?成立， 由一元二次方程韦达定理u 和V 是方程y +qy-(p/3) =0的两个根。 +x3=-b/a; x1x2+x2x3+x1x3=c/a; x1x2x3=-d/a。 一个三次方求根计算方法 下面介绍一个三次方求根计算方法: X(n+1)=Xn+[A/X -Xn)1/3 n,n+1是下角标，A被开方数。 之间。X0可以取1.1;1.2; 例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方 1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那 么: 第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1; 第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2; 第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3; 每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。 一元三次方程置换群解法 一元三次方程 系数和根的关系如下: 求出X,Y，后有 这是个线性方程，其中 为原方程的三个根～ 词条图片(共7 张图片) 返回词条 返回所有图册