最大功率传输定理推导及应用

最大功率传输定理推导及应用 第1页????最大功率传输定理推导及应用 严皓 上海交通大学 微电子学院 F0821102 5082119045 上海 200240 摘要从实域电路出发推导出最大功率定理并将 其推广到复频域中得到负载获得最大功率的匹配条件并通过具体实例加以应用及验 证。????关键词戴维宁定理和诺顿定理 最大功率传输定理 匹配条件 复频域 最大 功率 ??The Derivation And Application of Maximum Power Transfer Theorem YanHao SJTU SOME F0821102 5082119045 ShangHai 200240 Abstract:We derive the Maximum Power Transfer Theorem by analysising the Real frequency-domain circuit.Then we generalize the theorem to the complex-frequency domain circuit.We can get the matching conditions of the load through it. Then we apply Maximum Power Transfer Theorem in an example to prove it right. Keyword: Thevenins theorem and Nortons theorem Maximum Power Transfer Theorem matching conditions maximum power complex-frequency domain ??引言 实际电路中负载获得最大功率所需的条件 及满足这个条件时负载获得的最大功率在实际电路中有着广泛的应用因此该问的 研究有着重要的实际意义。本文旨在得到最大功率传输定理使之能在电路中直 接使用。????1. 最大传输定理的推导 在电子线路中负载是用电设备负载的功率是 由电源提供的。无论是直流稳压电源还是产生各种波形的信号源其内部电路都比较 复杂但对外电路而言都可看成是含源的二端网络如图1.1a所示。当负载RL的大小发 生变化时二端网络NS传输给负载的功率也随之发生变化。 NSabuLR????????????????abuLRsu0R??a ??????????????????????????????????????????????????????b??图1.1 最大功率传输定理 第2页???? 当电压源给负载供电时可以 利用戴维宁定理将图1.1a中的NS用戴维宁等效电路来替换得图1.1b所示电路其中uS 为a、b端电压R0为等效内阻。由图1.1b可知流过负载RL的电流为 0sLuiRR 则负载 获得的功率为 2220sLLLLuRpiRRR 1-1 式1-1中NS已经给定即us和R0不变负载RL 为可变电阻那么负载功率pL是RL额函数。 另0LLdpdR即 22222000440020LLLLLssLLLRRRRRRRdpuudRRRRR???????? 得 RLR0 1-2 这就 是说当RLR0时pL达到最大值。 再将式1-2代入式1-1得功率的最大值为 2max04sLuPR 1-3 式1-2及式1-3就是最大功率传输定理表述如下 一个含源二端网 络对负载电阻供电当负载电阻RL与该含源二端网络的等效内阻R0相等时负载电阻 上获得最大功率且最大功率为204suR。RLR0称为最大功率匹配条件。 实例说明: 例 1. 图1.2a所示电路R是可调电阻欲使2Ω电阻获得最大功率求R应调到何值并求2Ω电 阻获得的最大功率并求该电路的传输效率。 27V6Ω8Ω3AR2Ω6Ω8ΩR0R a b 第3 页????27V6Ω8Ω3A3Ω1IIocUocU0R2Ω b d 图1.2 例1电路图 解将2Ω电阻左侧看成 一个含源二端网络求它的戴维宁等效模型。 如图 1.2b其等效电阻 066RRR 由最大 功率匹配条件当R02时2Ω电阻可获得最大功率即 626RR 3R?Ω 再求二端网络的开 路电压Uoc如图1.2c所示有 1136327IIAIIA?????? 解得 1IA oc01.2dU3VR2.?Ω等效 电路如图所示 22max03P1.125442ocUWR?× 且 22i210050i4η??×?? 1-4 由例1可见 最大功率传输定理可极大地简化电路计算并能方便求得最大功率。 ??2. 最大功率 传输定理在复频域中的应用 实际电路中大多包含容性元件或者感性元件而这些元 件的存在也将电路分析推广到复频域中。接下来以正弦稳态电路为例讨论最大功率 传输定理在复频域中的应用。 N正弦稳态电路abU??LZ aU??LZocU??0Z a b 图2.1 最大功率传输定理电路图 第4页????同实频域中应用戴维宁定理可将图2.1a等效成 图2.1b。图2.1b中的负载LLLZRjX其吸收的平均功率为 2LLPRI 2-1 而 01ocLIUZZ???? 2-2 电流有效值为 22000ococLLLUUIZZRRXX 2-3 将式2-3代入PL的表达式2-1得 22200LocLLLRUPRRXX 2-4 先分析PL与XL的关系。由于XL出现在式2-4的分母中故知在RL为任意值的情况下当XL-X0时PL达到最大为 220LLocLRPURR 2-5 式2-5表明PL为RL的函数当LLdPdR等于零时可求得PL的最大值。为此另 22004020LLLLocLLRRRRRdPUdRRR?? 2-6 可得 0LRR 因此负载吸收最大功率的匹配条件为 00LLRRX??和X 2-7a 或者 0LZZ?? 2-7b 即负载阻抗和电源等效阻抗互为共轭复数。 此时有 22max224LococLLLRUUPRR 2-8 故在复频域中最大功率传输定理的匹配条件为0LZZ??最大功率为2max4ocLLUPR。 第5页????实例说明 例2如图2.2630sU???VZ1100j50ΩZ26j8Ω试问电路的负载Z为何值时吸收的功率最大最大功率等于多少此时电路的传输效率为多少 SUi1Z2ZZocUi0Z a b 图2.2 例2电路图 解从负载Z两端看进去的戴维宁电路如图2.2b。其中 2121212686300.5454681005068100505.97.110658ocSZjUUVVZZjjZZjjZjZZj×??ΩΩii 因此当ZZ5.9-j7.1Ω时负载Z吸收的功率最大最大功率为 2max0.50.0145.9PWW× 且 maxmax100502PPη× 2-9 3. 简要分析 由式1-4及式2-9可知在负载取得最大功率的时候电路的传输效率为50效率很低。因此在考虑能耗节约能源的电路结构中利用最大传输功率定理得到大功率不是个很好的选择例如电力系统这种传输效率是不允许的。但是在电子系统和一些测量系统中考虑处理的大多是微弱信号效率高低就不是关键问题此时利用该定理得到最大功率就显得相当重要。 4. 心得体会 最大传输功率定理的推导证明并不难但是对于一些具体问题的求解分析却能起到很简化作用。通过这次对最大传输功率定理的学习研究我的最大收获在于认识到在电路理论和电路实验的学习过程中有很多好的简单的能够帮助我们更好更快的分析解决问题有待于我们去发现去掌握去运用。而这次研究最大的意义我觉得是开启了一扇电路课程和实验的学习的大门能让我们更好的走进电子电路的世界中去。??参考文献 1??张峰??吴月梅??李丹??《电路实验教程》??北京高等教育出版社??2008??2??陈洪亮??张峰??田社平??《电路基础》??北京高等教育出版社??2007??3??朱虹??孙卫真??《电路分析》??北京北京航空航天大学出版社??2004??