数学-微积分讲义

数学-微积分讲义 GCT数学.微积分部分 第11章函数的极限与连续 11.1函数 一 函数 1定义 设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个数，变量x,DDyyx 按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称是的函数，记作，yy,f(x)x数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。 Dyx 2 表示法 3 基本初等函数 1x,0,xx,0,,y,0x,0y,x,例11(1(1(1); (2) ; (3)。 y,C,,,xx,0,,,1x,0, (4)设是任一实数，,,表示不超过的最大整数部分。 y,xxx例11.1.2 下列函数是否相同, 2 (1) ;(否) f(x),lgxg(x),2lgx 4333 (2) ;(是) f(x),x,x,g(x),xx,1 2f(x),(x,1),g(x),x,1 (3) 。(否) 例11.1.3 求函数的定义域。 1y,x,0 (1) ; 答 x,x 1 | 1,2x,1 (2) 设，求的定义域. x,ef(e),f(x) x，1 二 特性 1函数的有界性 设函数在区间上有定义，如果，使得对，有，则,x,I，M,0If(x),Mf(x) 称在区间上有界，否则，称在区间上无界。 IIf(x)f(x) 2函数的单调性 设函数在区间I上有定义,如果且时，有(或 ,x,x,Ix,xf(x),f(x)f(x)121212 )则称在区间上是单调增(或单调减)的。 If(x),f(x)f(x)12 3函数的奇偶性 设函数的定义域关于原点对称，(即若，则必有)，如果XXXf(x)x,,x, ,X，有成立，则称为偶函数，如果,X，有f(,x),f(x)f(x)x,x, 成立，则称为奇函数。 f(,x),,f(x)f(x) 4函数的周期性 T,0x,T,设函数X,XX的定义域是，如果常数，使得对，有，f(x)x,， 且 T恒成立，则称函数是周期函数，使上式成立的最小正数称f(x，T),f(x)f(x) 为的周期。 f(x) 例11.1.4 判断函数的奇偶性。 x,xa，a3222(1)y,;(2);(3)。 y,2x,xy,(1,x)ln(x，1，x)2 [(1)偶;(2)奇;(3)非奇非偶] 三 函数的运算 1 四则运算 2 反函数 3复合函数与初等函数 (1)复合函数 ,设DDWWD，定义域为;，定义域为，值域为，当时，y,f(u)u,,(x)uxuuu 称 为的复合函数，它是由和复合而成的函数，它的y,f[,(x)]y,f(u)u,,(x)x D定义域为，称为中间变量。 ux (2)初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表 示的函数称为初等函数。 ,0xx,(),f(x),x，xgx例11(1(5(1)设，，求f(g(x)),g(f(x))。 ,2xx,0, 20,0x,,2xx,0(()),gfxf(g(x)),(，) ,,24xx,0x0,0,, 2 | 2,,x,10,x,11，x,1,x,0(2)求的反函数。() y,y,,,2xx,1,,0,x0,x,1,, 例11(1(6设函数的定义域是，且的图形关于直线与f(x)(,,,，,)f(x)x,a 对称，，是以为周期的周期函数。 x,b(a,b)f(x)2(b,a) 四补充题 例11(1(7 11 k在上有定义，且，则是[ ](其中为大f(x，k),f(x)(,,,，,)f(x)f(x) 于零的常数) 周期函数 单调函数 奇函数 偶函数 (A)(B)(C)(D) x2设，且，则函数的定义域为[ ] f(,(x)),1,x,(x)(A)f(x),e (A)(,,,1)(B)(,,,0)(C)(0,，,)(D)(,,,，,)3下列函数中关于轴对称的是[ ] y(B) 22 (A)(B)y,x，2x，1y,xln(x，1，x) x,xx,x (C)(D)y,2ey,2,2 4设函数的定义域是，则函数 f(x)[0,1] 的定义域是[ ] (D)g(x),1,x,f(sin,x)，1，x,f(1，cos,x) 0,x,10.5,x,1x,1x,0.5 (A)(B)(C)(D) x,0,x,,5(08)设则有[ ]。 f(x),,1,x,x，0,, 2(A) ( B) f(f(x)),f(x)f(f(x)),(f(x)) (C) (D) f(f(x)),f(x)f(f(x))，f(x)答(B)。 分析:本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。 xx,0,,,x,0解法1:由 易知，当时，。 fx()0,fx(),,1,0,,,xx, f(x),f(x),0,fxfx(),()0,,,,,又所以。 f(f(x)),f(x)ffxfx(())(),,,,1,f(x),f(x),0,1(),()0,,fxfx,, 故正确选项为(B)( x,2解法2:利用特殊值代入法与排除法更简单(取，则ffff(2)2,((2))(2)2,,,，这时选项(A),( C),(,)都不成立。 故正确选项为(B)( 11.2数列的极限 A{x}x1定义 给定数列，如果当无限增大时，其通项无限趋近于某个常数，nnn 3 | limx,A则称数列以为极限，记作或者。 A{x}x,A(n,,)nnn,,n 2 单调性 设数列，如果对于，有()，则称数列是,n{x}x,xx,x{x}nnn，1nn，1n 单调递增(单调递减)的。 3如果，对于有，则称数列是有界的。 ,n，M,0x,M{x}nn 4 数列极限的性质 (1)若数列是收敛的，则它的极限是唯一的。 {x}n (2)数列是收敛的，则称数列是有界的。 {x}{x}nn 5 数列极限的四则运算 limx,Alimy,B设， nn,,,,nn lim(x,y),A,B(1) nn,,n limxy,AB(2) nn,,n xAn(3) lim,(B,0)n,,yBn 11.3 函数的极限 1 函数极限的定义 A (1)设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数f(x)[a,，,)x,，, AA的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作f(x)f(x)x,，, limf(x),A。 x,，, A(2)设函数在区间上有定义，为常数，如果当时，函数f(x)(,,,a]f(x)x,,, AAlimf(x),A的值无限趋近于，则称当时，以为极限，记作。 f(x)x,,,x,,, Ax(3)设函数在区间上有定义，为常数，如果当f(x)(,,,,a),(a,，,)(a,0) AA无限增大时，函数的值无限趋近于，则称当时，以为极f(x)f(x)x,, limf(x),A限，记作。 x,, limf(x),Alimf(x),Alimf(x),A(4)定理 的充分必要条件是且。 x,,x,，,x,,, A(5)当xx无限趋近于()时，函数的值无限趋近于，则称趋f(x)x,xx00 Alimf(x),Ax近于时，函数以为极限，记作。 f(x)0x,x0 Ax,xxx(6)当无限趋近于()时，函数的值无限趋近于，则称f(x)x,x000 Af(x,0),limf(x),Ax趋近于时，函数的左极限为，记作。 f(x)00,x,x0 Ax,xxx(7)当无限趋近于()时，函数的值无限趋近于，则称f(x)x,x000 Axf(x，0),limf(x),A趋近于时，函数的右极限为，记作。 f(x)00，xx,0 f(x,0),limf(x),Alimf(x),A(8)定理 的充分必要条件是且0,x,xx,x00 f(x，0),limf(x),A。 0，xx,0 limg(x),Blimf(x),A(9)设， x,,x,, 4 | (i)若，则极限点附近有。 A,Bf(x),g(x)(ii)极限点附近有，则。 A,Bf(x),g(x) 2 函数极限的性质 (1)如果存在，则极限值是唯一的。 limf(x) (2)如果，则在极限点附近是有界的。 limf(x),Af(x) 3 函数极限的运算法则 (1)四则运算 (2)复合函数的运算法则 设复合函数在的某邻域内(可除外)有定义，如果xxy,f[,(x)]00 lim,(x),u0x,x0 ()且，则。 limf(u),Alimf[,(x)],limf(u),Ax,x,,(x),u00u,ux,xu,u0004 重要极限 xsinlim,1*(1) x,0x 11xxlim(1，x),elim(1，),e(2) 或 ,0x,,xx xlimf(x)f(x),例11.3.1 设，讨论是否存在。(不存在) x,0x , 4x,1x,2, ,limf(x)例11.3.2设(),1,2，求 。(7) fxx,x,22,x,4x，3,2,,2x, ,,n,mnn,1,ax，ax，，ax，a？a,01n,1n0I,,n,m例11(3(3 lim ,mm,1x,,bbx，bx，，bx，b？001m,1m,,0n,m, ()Px,0(),0Qx0,()Qx0P(x),n,lim,(),0(),0Qx且Px例11(3(4 ,00x,x0Q(x)m,不定式Q(x),0且P(x),000,, 201220333xx3x,x，15xx153,，1,，limlimlim,0,例11(3(5 ，， 154154204x,,x,,x,,x，x,2xx2xx22，,，,2例11(3(6 tanxlim(1) (1) x,0x 5 | 1,cosx1 (2)() lim2x,0x2 x11，,1 (3)() limx,02x ln(1，)x (4) (1) limx,0x xe,1 (5) (1) lim,0xx x2 (6)I,limnsin() x2n,,n n，1n2lim() (7) () e,,nn,1 11.4 无穷大量与无穷小量 一1 定义(1)如果函数当(或)时的极限为零，则称函数x,xf(x)f(x)x,,0 当(或)时为无穷小量。 x,xx,,0 (2)如果函数当(或)时f(x)无限变大，则称函数当x,xf(x)f(x)x,,0 x,x0 )时为无穷大量。记作. (或limf(x),,x,, 2 无穷大量与无穷小量的关系 1 在自变量的同一变化过程中，如果函数为无穷大量，则为无穷小f(x)f(x) 1量，反之，如果函数为无穷小量且，则为无穷大量。 f(x)f(x),0f(x)3无穷小量与有极限量的关系 ，其中 limf(x),A,f(x),A，,(x)lim,(x),04 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5无穷小量的比较 设时， ,(x),0,,(x),0x,, ,(x)(1)若，则称时比高阶无穷小，记作 ,0,(x),(x),(x),;(,(x))x,,,(x) ,(x)(2)若是不等于零的常数)，则称时与同阶无穷小。 ,c(c,(x),(x)x,,,(x) c,1 特别地，当时称时与是等价无穷小，记作时，,(x),(x)x,,x,, natx~xx,0sinx~x。当时，，，，， ,(x)~,(x)n(l1，x)~x 112x1,cosx~x,1，x,1~xe,1~x ，。 22 ,(x),,(3)若，则称时,(x)比,(x)低阶无穷小。 x,,,(x) 6等价无穷小替换定理 ,(x),0,,(x),0,(x)设,(x),0,,(x),0,(x)~时，，且，x,,111 6 | ,(x),(x),(x)11，存在，则 。 limlim,(x),,(x)~lim1x,,x,,x,,,(x),(x),(x)11例11(4(1 ln(13x),3(1) () lim,x,02x2 21，ax,1a(2) () lim2xx,02e,1 sin2x(3) (6) limx,0tan(x/3) xln(1，3) (4) (0) limxx,,,ln(1，2) 11.5 函数的连续性 1 连续的定义 (1) 在点连续:设在点的某邻域有定义，如果 xy,f(x)y,f(x)0 lim,y,lim[f(x，,x),f(x)],0 或 limf(x),f(x)，则称在点y,f(x)000,x,,x,00x,x0 连续。 x0 (2)左连续，右连续 (3)在内连续 y,f(x)(a,b) (4)在内连续 y,f(x)[a,b] 2 函数的间断点及分类 3 连续函数的运算法则 f(x)(1)设，在连续，则，，()，xg(x),0f(x)g(x)f(x)g(x)f(x),g(x),00g(x)在x连续。 0 (2)复合函数的连续性 设在x连续，在u,g(x)连续，则复合函数在xu,g(x)y,f(u)y,f[g(x)]0000 连续。 结论:初等函数在其定义区间上是连续的。 4连续函数在闭区间上的性质 (1)有界性 设在上连续，则在上有界。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] (2)最值存在 设在上连续，则在上存在最大值和最小值。 f(x)[a,b]f(x)[a,b] (3)介值定理 ,设f(x)在[a,b]上连续，f(a),f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数，必存 在 c,(a,b)，使得f(c),,。 (4)零点存在定理 设f(x)[a,b]f(a)f(b),0c,(a,b)f(c),0在上连续，，则必存在，使得。 7 | xf(x),例11(5(1求间断点及判断其类型 x(x,1) ,x,,1e,x0,tanx,例11(5(2设，为何值 ,,f(x)ax0a,b, ,1bxcosx0，,,x, limf(x)(1)存在 ; (2) 在x,0处连续。 f(x)x,0 42例11(5(3证明曲线在内至少与轴有一个交点。 (1,2)y,x,3x，7x,8x5 补充题 例11(5(4 1下列极限正确的是[ ] (B) xsin1lim,1x limsin,1 (A)(B)x,,x,,xx 11sinxlim,1 limsin不存在 (C)(D)x,,x,,xxx x,02 下列函数中在处连续的是[ ] (A) 1sinx,,,2,x,0,x,e,x,0 (A)(B)x,, ,,0,x,01,x,0,, 11,,xx,,(1,2x),x,0e,x,0 (C)(D),,2,,xex0,,0,,0,, limf(x),43若，则必定有[ ]。 x,1 x,1(A) (B) 在处无定义 f(1),4f(x) x,1在的某邻域中， (C)(x,1)f(x),2 x,1( D)在的某邻域中， (x,1)f(x),2 第12章 一元函数微分学 12.1导数的概念 一 导数的定义 ,xxx1设函数在某邻域内有定义，当自变量在点取得改变量y,f(x)x00,x,0,y,f(x，,x),f(x)()时，相应地函数y,f(x)也有改变量，如果极00 限 fx，,x,fx()(),y00,limlimx y,f(x)存在，则称函数在可导，并称这个0,x,,x,00,x,x 8 | dydf,,极限值 为函数在点的 导数，记作，， yxf(x)y,f(x)00x,x0dxdxx,xx,x002左导数，右导数 fx，,x,fx()(),y00,如果存在，则称此极限值为在处的左导limlimxf(x)0,,,x,,x,00,x,x ,数，记作。 f(x),0 fx，,x,fx()(),y00,如果存在，则称此极限值为在处的右导limlimxf(x)0，，,x,,x,0,x0,x 数， ,记作。 f(x)，0 3如果在内每一点可导，则称在内可导。 f(x)(a,b)f(x)(a,b) ,,4如果在内可导，且,存在，则称在内可导。 f(b)f(a)f(x)(a,b)f(x)[a,b],， 二 导数的几何意义 , 函数在点的导数等于曲线在点(，)处切线的xf(x)xf(x)f(x)y,f(x)0000斜率。 1, 切线方程是，法线方程是。 y,f(x),f(x)(x,x)y,f(x),,(x,x)00000,f(x)0 三 可导与连续的关系 可导必连续，反之不然。 四 重要结论 ,,1x,f(x),f(x)在处可导 f(x)，0,00 2 可导偶函数的导数是奇函数; 3 可导奇函数的导数是偶函数; 4可导周期函数的导数是周期函数。 1y,logx例12.1.1用定义求函数的导数。() 3xln3 x,0y,x例12.1.2 研究在的连续性与可导性。(连续不可导) sina(x,1)x,1,x,1f(x),例12.1.3 求a,b的值，使在处可导。(a,1,b,0) ,lnx，bx,1, y,lnx例12.1.4 (1) 在曲线上求一点，使得在该点的切线斜率为3，并求此 9 | 切线方程。 () y,3x,1,ln3 x(2)求曲线在处的切线方程。() x,1y,x，1y,e x(3)求过点并与相切的直线方程。() y,ex(0,0)y,e 例12.1.5在可导，求下列极限 xf(x)0 fxhfx(,),()00 (1) limh,0h fx，,x,fx,,x(2)()00(2) lim,x,0,x 例12(1(6(1)可导偶函数的导数是奇函数; (2)可导奇函数的导数是偶函数; (3)可导周期函数的导数是周期函数。 12.2 求导和导数运算法则 一 求导公式 ,,,1xx,,1 2 (x),,x(a),alna 1,,(logx),3 4 (sinx),cosxaxlna 2,,5 6 (cosx),,sinx(tanx),secx二 四则运算 如果，在点都可导，则 f(x)g(x)x ,,,(1) [f(x),g(x)],f(x),g(x) ,,,(2) [f(x),g(x)],f(x),g(x)，f(x),g(x) ,,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x),(3) [],2g(x)g(x) 三 复合函数的导数 设由和构成的复合函数，如果在点可导，y,f[g(x)]y,f(u)u,g(x)u,g(x)x dydu,,,g(x),f(u)，y,f(u)在点可导，，则复合函数y,f[g(x)]在点可uxdxdu dydydu,,,,,,导，且,f(u)g(x),f[g(x)]g(x) dxdudx 例12(2(1 求导数 10 | 2x，2x,2,(1)，求 () 2yy,，ln2x,1x xlnx,1(2) ( ) y,2lnxlnx x2x2xx2(3) () y,e(x，1)sinxe(x，1)sinx，2xesinx，e(x，1)cosx ,(4)，求。 (n!) y,x(x，1)(x，2)？(x，n)y(0) 例12(2(2求导数 xex(1) () y,ln(1，e)x1，e 222x,x，32x,x，32x,x，3(2) () 2xa，y,xaxa(2x,1)lna 12(3) () y,ln(x，1，x)21，x ,x11e,x,,y,ln(1，e)(4) () ,x,x1，e24ln(1，e) 2x,x2,x,eln(1，x),e,x2e1，x(5)y, ( ) 222ln(1，x)ln(1，x) 222x3223,x,x,3x22,,,6xeaxe(6) () y,ea,x22,ax 1(7) () y,lnlnlnxxlnxlnlnx 1，x111y,ln(，)(8 ) [] 21，x1,x1,x dy例12(2(3 为可导函数，求 fdx ,f(lnx) (1) () y,f(lnx)x 2x2xx,,(2) 答 y,f(x)，f(e)2xf(x)，ef(e) 四 高阶导数 3,22222,,例12(2(4 ( 1 ) y，求。[] ,x(a，x)y,ln(x，a，x) 11 | 1,,,f,,x,f(2)(2)3x ( 2 ) 设，求。() limf(x),e,x,0,x16e五 补充题 例12(2(5 ,1 对任意的都有且当时，，则 x,0f(,x),,k,0f(,x),,f(x)x00 , [] f(x),(B)0 11k,k ,(A)(B)(C)(D)kk ffx(1),(1,)2设可导，且满足，则曲线在处的切lim,,1f(x)y,f(x)(1,f(1))x,0x2 线斜率为[] (B) 12,2,1 (A)(B)(C)(D)2 22,,lnxax1，,f(x),3 在上可导，则[] (,,,，,)(B),b(x,1),e,1x,1, (A)a,0,b,2(B)a,0,b,1 1a,,1,b,2 (C)(D)a,e,1,b,1e 4如图是两个逐段线性的连续函数， f(x),g(x) 3f(x)g(x),,1设，求的值。( ) u(x),f[g(x)]u(1) 36 1y,(0,x,，,)5在曲线上任一点 P(x,y)xBP ABy 处作切线，切线分别教轴与轴于和，则[] (B)xOA PA,PB PA,PB (A)(B) PPA,PB 的大小关系与的位置有关 (C)(D)PA,PB 12.3 微分 一 定义 函数y,f(x)在处的微分 x Ix,x，,x,I设函数y,f(x)在区间上有定义，，如果函数的改变量 00 ,xA,y,f(x，,x),f(x),y,A,x，;(,x)可表为，其中是不依赖 的常数，00 ,xA,xx;(,x)y,f(x)而是比的高阶无穷小，则称 在是可微的，叫做0 12 | 在相应于自变量改变量的微分，记作 ，即或,xxy,f(x)dydy,A,x0 。 dy,Adx,y,dy，;(,x) 二 微分与导数的关系 , 函数在点处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时y,f(x)A,f(x)x ,,即有。 dy,f(x)dx,y,f(x),x，;(,x)三 微分的几何意义 四微分的基本公式和四则运算法则 11,(1，2)ln(1，2)1xxxxx例12(3(1 (1)设，求.[] (1，2)x,,,y,(1，2x)dyxdx22(1，2)xx ,x,0(2)若函数在处的导数不为零且不为1，则当 xy,f(x)0 时该函数在处的微分是[ ] x,xdy(B)0 ,x,x与等价无穷小 与同阶无穷小 (A)(B) ,x,x与低阶无穷小 与高阶无穷小 (C)(D) 五补充题 例12(3(2 1(03)如果函数在处可导，，则极限 x,f(x),f(x，,x),f(x)f(x)0000 ,fx,dfx()()00lim =[ ] (C),x,0,x ,等于f(x) 等于1 (A)(B)0 等于0 不存在 (C)(D) 2 (04)如图是两个逐段线性的连 f(x),g(x) ,续 函数，设，则的值为u(x),f[g(x)]u(1)y6 5 (A)[ ]。 f(x)4 333 ,(A) (B) 2 g(x)44 1 11,(C)(D) 1212-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x,0f(x) 3(05)设在处可导，且 13 | 12,，则 [ ] f(),(n,1,2,3,？)(C)f(0),nn 0 1 2 3 (A)(B)(C)(D) 1f(a，)n4(06)设，且导数存在，则[(D )]。 ,limnlnf(x),0n,,f(a) ,f(a),(A) 0 (B)? (C) (D) lnf(a)f(a) x1,,y,ln(tan),5(07)设，则y(),[(B)]。 222 48(A) (B)1 (C) (D) ,12216，,16，, 2fh(),26 (08,)若函数可导，且，则=[(,) ]。 limf(x)f(0),f(0),2h,0h (A)0 (B)1 (C) (D)4 22 12.4中值定理 1 罗尔定理 在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则如果函数f(x)[a,b](a,b)f(a),f(b) 至少 ,使得。 ，,,(a,b)f(,),0 2 拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少 f(x)[a,b](a,b) ,使得成立。 ，,,(a,b)f(b),f(a),f(,)(b,a) II(1)如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。 f(x)f(x) II(2)如果函数和在区间上的导数相等，则这两个函数在区间上至f(x)g(x) 多相差一个常数。 nn,1x,x例12(4(1 若方程有一个正根，证明方程 ax，ax，？，ax,0001n,1 n,1n,2x anx，a(n,1)x，？，a,0必有一个小于的正根。 001n,1 ,例12(4(2f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内f(x),0， ? 当f(a),0(a,b)f(x),0时，则开区间内; f(b),0(a,b)f(x),0 ? 当时，则开区间内。 14 | b,abb,a,ln,例12(4(3设，证明。 b,a,0baa ,,limf(x),1例12(4(4(1)(05) 若的二阶导数连续，且，则对任意常数f(x)x,，,必有 a ,,lim[f(x，a),f(x)], [ ] (A)x,，, ,, 1 0 (A)(B)(C)(D)af(a)a ,limf(x),0(2)(08)函数在上具有连续导数，且，则[(,) ]。 f(x)[1,，,)x,，, limf(x)(A)在上有界 (B)存在 f(x)[1,，,)x,，, lim(f(2x),f(x))lim(f(x，1),f(x)),0(C)存在 (D) x,，,x,，, 0,12.5 洛必达法则(,型极限) 如果和满足 f(x)g(x)0, (1) limf(x),limg(x),0(,) ,,,(2)在极限点附近都存在，且 f(x),g(x)g(x),0 ,,f(x)f(x)f(x)(3)存在或无穷大 ，则 limlim,lim,,g(x)g(x)g(x)例12(5(1求极限 2x3x2，,,lim()(1) (0) x,，,x,e tanx,x0()lim(2) 3x,00x 22secx1tanx1,limlim,,, 22x,x,0033x3x xlnlim(3) (0)x,，,x 111lim(,)(4) () (,,,)2x,0xx3xtan 例12(5(2已知f(x)在(,,,，,)内有二阶连续导数，且f(0),0， xxx,,ef(x)ef(x)ef(x),f(0)x,0,,，x,0,2,,xxxx,(x),,又,(x)，求。() e,,1f(x)x,0,,,,,ffx(0)，(0),0x,,2, 15 | 12.6 函数的单调性与极值 1 函数的单调性的判断法 一 函数的增减性的判断 如果函数在内可导，则在内单调递增(减)的充分必要条f(x)(a,b)f(x)(a,b) 件是 ,，有(,0)。 ,x,(a,b)f(x),0 例12(6(1 求函数的单调区间 4xx() (1) [] fx,，(,,,，,),221，x 2x，x，2f(x),(2) [在，在]。 (,,,,1),(3,，,),(,1,1),(1,3),x,1 二 极值 1 定义 ,设函数，若(为某一常数)均有则,x,(x,,,x，,)f(x),f(x)(x,x)f(x)0000 为的极大值点，为的极大值;若均有称xf(x),x,(x,,,x，,)f(x)f(x)0000 则称为的极小值点，为的极小值。 f(x),f(x)(x,x)xf(x)f(x)f(x)0000 2 取得极值的必要条件 ,设函数在处可导，且在处取得极值，则。 xxf(x),0f(x)000 3 第一充分条件 ,,设函数在点x一个邻域内可导，且f(x),0(或f(x)不存在，但f(x)f(x)000 ,在点x连续)如果当取x左侧邻近值时，，当取x右侧邻近值时，f(x),0xx000 ,xx，则函数在点处取得极大值;如果当取左侧邻近值时，f(x),0f(x)x00 ,,xx，当取右侧邻近值时，，则函数在点处取得极f(x),0f(x),0f(x)x00 ,x小值;如果当取左右侧邻近值时，恒为正或恒为负，则函数在f(x)f(x)x0 x点处没有极值。 0 4 第二充分条件 ,,,xf(x),0f(x),0 设函数f(x)在点有二阶导数，且，，则 000 ,,f(x),0xf(x) 如果当时, 函数在点处取得极大值; 00 16 | ,, 如果当时, 函数在点处取得极小值。 f(x),0xf(x)00 23例12(6(2 求函数的单调区间和极值。 f(x),(x,1)x 2343f(),,(极大值，极小值) f(0),05525 x,x例12(6(3(1)利用二阶导数求函数的极值。(极小值) 22y,2e，e 1,x(2)讨论方程xe,的实根个数。(2个实根) 2e 例12(6(4将中的函数与图中的导函数图形进行匹配。 12.7 函数的最大值最小值问题 21233例12(7(1求在区间上的最大、最小值。 [,2,2]f(x),x,(x,1) 1333(最大值是，最小值是) f(,),4f(,2),4,32 例12(7(2 1(06)设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时，r,[ ( C)] h 12(A) (B) 1 2 32(C) (D) 1y,x，2((07) 曲线的点与单位圆 x 22d 上的点之间的最短距离为 x，y,1 则[(D ) ] d,1( A) (B) d,(0,1) d,2(C) (D) d,(1,2) 2,3kf(x),203((08)已知时，总有成立，则参数的f(x),3x，kx(k,0),当x,0 17 | 最小取值是[(,)]。 (A)32 ( B)64 (C)72 (D)96 12.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线 一 曲线的凹凸、拐点 1如果曲线在其任一点切线之上(下)，则称此曲线是凹(凸)的。凹凸的分界 点称为曲线的拐点。 ,,2设函数在区间上二阶可导，当x,I时，，则曲线在是IIf(x)f(x),0(,0)凹(凸)的。 ,,,,3如果，且在两侧异号，则(,)时曲线的拐点。 f(x),0xxf(x)f(x)0000二 曲线的渐近线 1垂直渐近线 ,， 当(，)时，有，称是曲线的垂y,x,xx,xf(x),,f(x)x,xx,x0000 直渐近线。 2水平渐近线 当(，)时，有，(其中为常数)称是曲y,cf(x),cx,,x,,,x,，,c线的水平渐近线。 y,f(x) 43例12(8(1 判断曲线的凹凸，并求拐点。 y,3x,4x，1 22(,,,0),(,，,)(0,) (在凹，在凸) 33 1 x例12(8(2求的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。 y,(x，6)e x,0 解 (1)定义域 111121x,x,6(x，2)(x,3)xxxx, (2)， y,e，(x，6)e(,),e,e222xxx 113x，6x,, ， y,e4x 6,,,x,, 令 得，令 得 y,0x,,2,x,3y,013(3) x03666 ,2 (,,,,2) (0,3) (3,，,) (,2,,)(,,0), 131313 ， + 0 - - - - 0 + ,y ， - - - 0 + + + + ,,y 18 | y ，极大 极小 拐点 ,,,,,,,,,, 1113,,672632极大值 ，极小值，拐点 (,,e)f(,2),4ef(3),9e1313(4)，()，是垂直渐近线; x,0limf(x),，,milf(x),0，,x,0x,0 limf(x),, , 无水平渐近线。 x,, xex,0例12(8(3(1)求的渐近线。答 垂直渐近线，水平渐近线 y,，1y,12x xx,0(2) 证明时，。 e,1，x 三 补充题 111 当f(x),ln(1，)时，与g(x),sin，则[] (B)x,，,xx 与是同阶无穷小，但不等价 (A)f(x)g(x) 与是等价无穷小 (B)f(x)g(x) 比是高阶无穷小 (C)f(x)g(x) 比是低阶无穷小 (D)f(x)g(x) 2 下图是关于汽车位移函数的图像。利用图像回答下列问题。 a) 汽车的初始速度, b) 汽车在B, C两点哪一点速度更快, c) 汽车在A, B, C三点速度是增快还是减慢, d) 在D, E两点之间，汽车的运动状况? ,3图中给出了的图形，设有以下结论 f(x) ? f(x)的单调增区间(2,4),(6,9) ? f(x)的单调增区间 (1,3),(5,7),(8,9) x,1,x,3,x,5,x,7f(x)? 是的极值点 19 | ? 是曲线拐点的横坐标 x,1,x,3,x,5,x,7f(x) 则以上结论中正确的是[ ] (D) ? ，? ?，? ?，? ?，? (A)(B)(C)(D) ,,,4设二阶可导，且，， f(x)f(x),0f(x),0 ,x,0，则当时有[ ] ,y,f(x，,x),f(x) (A),y,dy,0(B),y,dy,0 (C)dy,,y,0(D)dy,,y,0 5 设，则[ ] f(x),(x,1)(2,x)(C) x,1是的极值点，但不是曲线的拐点 (A)f(x)(1,0)f(x) x,1不是的极值点，但也不是曲线的拐点 (B)f(x)(1,0)f(x) x,1是的极值点，且是曲线的拐点 (C)f(x)(1,0)f(x) x,1不是的极值点，但是曲线的拐点 (D)f(x)(1,0)f(x) 2x,xsinx，cosx6(03)方程的实数根的个数是[ ] (B) 1个 2个 3个 4个 (A)(B)(C)(D) 7(04)如下不等式成立的是[ ] (B) 在区间上， 在区间上，(A)(,3,0)ln3,x,ln(3，x)(B)(,3,0) ln3,x,ln(3，x) 在区间上， 在区间上，(C)[0,，,)ln3,x,ln(3，x)(D)[0,，,) ln3,x,ln(3，x) xx8 (05)函数在上有[ ] f(x),(,,,，,)(D)(x,1)(x,2) 1条垂直渐近线，1条水平渐近线 (A) 1条垂直渐近线，2条水平渐近线 (B) 2条垂直渐近线，1条水平渐近线 (C) 2条垂直渐近线，2条水平渐近线 (D) 9(06)如左图，曲线P,f(t)表示某工厂十年期间的产值变化情况，设f(t)是可导函数， 从图形上可以看出该厂产值的增长速度是[( A)] A. 前两年越来越慢，后五年越来越快 B(前两年越来越快，后五年越来越慢 20 | 第13章 一元函数的积分学 13.1不定积分的概念和简单的计算 一( 原函数、不定积分的概念 1定义 对于定义在某个区间上的函数,若存在函数，对于该区If(x)F(x) 间上的一切都有成立，则称此为的原函数。若IF'(x),f(x)F(x)f(x)x 为的一个原函数，则(C是任意常数) 是的全体原函数，F(x)f(x)F(x)，Cf(x) 称之为的不定积分，记作， 即 f(x)dx,F(x)，Cf(x)dxf(x),,称为积分变量，为被积函数，为被积表达式。 f(x)f(x)dxx ,,2 设 F(x),f(x) 为可积的奇函数，则是偶函数 f(x)F(x) 为可积的偶函数，但不一定是奇函数 f(x)F(x) 为可积的周期函数，但不一定是周期函数 f(x)F(x) 二. 不定积分基本 ,1,，1 (1) (,,,1)xdx,x，C,,1， 1 (2) dx,lnx，C,x xx (3) edx,e，C, xx1 (4) (a,0,a,1)adx,a，C,lna (5)sinxdx,,cosx，C , (6)cosxdx,sinx，C , 2dx,secxdx,tanx，C (7) ,,2cosx 2dx,cscxdx,,cotx，C (8) ,,2sinx 三 不定积分的性质 ,,,f(x)dx,f(x)(1) , df(x)dx,f(x)dx(2) , ,F(x)dx,F(x)，C (3) , 21 | (4) dF(x),F(x)，C, (5) (为不等于零的常数) kkf(x)dx,kf(x)dx,, (6) [f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx,,,例13(1(1 lnx(1)已知是的一个原函数，求。 F(x)dF(sinx)x 1133(ln)ln(2) dx，x,x，x，C,22 cos2x,cosx,sinx，C(3) dx,sin,cosxx sinx,(4)已知的一个原函数为，求。 f(x)f(x)dxf(x),1，xsinx 21cosx,sinx2( ) []，C22(1，xsinx) xx，1,125,1121xx[(),()，C](1(2求 例13dxx,5ln22ln5510 13.2 不定积分的计算方法 1( 第一类换元法(凑微分法) ,设是的原函数，且 可导，则是的原函F(u)f(u)u,,(x)F[,(x)]f[,(x)],(x) ,数，即== =+C (其中) f[,(x)],(x)dxf(u)duF(u)，CF[,(x)]u,,(x),, 例13(2(1 1,,cos(2x，)dx(sin(2x，)，C)(1) ,424 1x(2) () dxln，C,x(1,x)1,x 11x,adx(3) ( ) ln，C22,,xa2ax，a例13(2(2 x12dxln(1，2x)，C(1) () 2,1，24x xex2e，C(2) () dx,x 32,x3322,xx3dx,，C(3) () ,3ln3 22 | 例13(2(3 1dx(1) () ln1，2lnx，C,2x(1，2lnx) xex(2) () dxln(1，e)，Cx,1，e 1x(3) () dxx,ln(1，e)，Cx,1，e 2x，1x2f(x,1),ln,,(x),例13(2(4设且f,(x),lnx，求。答, ,(x)dx2,x,2x,1 ,,,02(第二类换元法 设单调可导，且是的原函数，x,,(t),(t),(t)f[,(t)],(t) 则 ,1 是的原函数，即 f(x),(t),,(,(x)) ,1, f(x)dx,f[,(t)],(t)dt,,(t)，C,,(,(x))，C,, x例13(2(5求 dx,1，x 3(分部积分法 设有连续的一阶导数,则 u(x),v(x) ,, u(x)v(x)dx,u(x)v(x),v(x)u(x)dx,, 即 u(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x),, 例13(2(6 求不定积分 111,x,x,x，，222(1) () ,2xe，2e，Cxedx,,, ，， 11，，xsin2xdx(2) () ,xcos2x,sin2x，C,,,22，， xlnx,x，Clnxdx(3) () , xxedx(4) () 2e[x,1]，C, xesinxdx(5) , 例13(2(7补充题 2,xlnxxf(x)dx,f(x)(C)1(05)设是的一个原函数，则不定积分[ ] , 23 | 21332 lnxx，x，C2x,xlnx，C(A)(B)39 2222 xlnx，x，C3xlnx，x，C(C)(D) ,2(07)设函数可导，且，，则[(A)]。 f(x)f(0),1f(,lnx),xf(1), ,1,1,1,1(A) (B) (C) (D) 2,e1,e1，ee13.3定积分的概念与性质 一.定积分的概念 设函数在区间上有界，在中任意插入若干分点 f(x)[a,b][a,b] 把区间分成个小区a,x,x,x,？,x,x,b[a,b]n012n,1n ，各个小区间的长度依次为[x,x],[x,x],？[x,x]0112n,1n ，在每个小区间上任意取一点,x,x,x,,x,x,x,？,x,x,x[x,x]110221nnn,1i,1i 作函数值与小区间长度的乘积 ，,(x,,,x)f(,)f(,),x(i,1,2,？n),xii,1iiiiii nSf(,)x,,并作和 ，记，如果不论对怎样分,,max{,x,,x,？,,x}[a,b],ii12ni,1 ,,0S法，也不论在小区间上点怎样取法,只要当时，和总趋向于确[x,x],ii,1i II定的极限,这时，称极限为函数在区间上的定积分，记作 f(x)[a,b] nbblimf(,)x, ， 即= 其中叫作被积函数，叫f(x)dxf(x)dx,If(x)f(x)dx,,,iiaa,,0i,1 b做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做[a,b]xa 积分区间。 二( 定积分的几何意义 b 在上时，表示由曲线，两条直线 [a,b]f(x),0f(x)dxy,f(x),a ,0 与轴所围的曲边梯形的面积; 在上时，由曲线x,a,x,b[a,b]f(x)x 两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，y,f(x)x,a,x,bxxb在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在上既取得正值又f(x)dx[a,b]f(x),a 取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其它部分位于轴的下f(x)xx b方，的几何意义是图中阴影的代数和。 f(x)dx,a 补充规定: ba,b (1) 当时， f(x)dx,0,abaa,b (2) 当时，,, f(x)dxf(x)dx,,ab 三 定积分的性质 设f(x),g(x)为可积函数，则 bbb,,, (1)[f(x)g(x)]dx f(x)dxg(x)dx ,,,aaabbk,(2)kf(x)dxkf(x)dx(是常数) ,,aab (3)dx,b,a ,abcb，f(x)dxf(x)dxf(x)dx (4) = ,,,aacb[a,b]f(x),0f(x)dx,0 (5) 如果在上，则 ,a 24 | bb (6)上, 则， ,[a,b]f(x),g(x)f(x)dxg(x)dx,,aa bb (7) f(x)dx,f(x)dx(a,b),,aa (8)设在上，，则 [a,b]m,f(x),M b (其中是常数) m(b,a),f(x)dx,M(b,a)m,M,a (9)如果函数在区间上连续，则在上至少有一个数，使 f(x)[a,b][a,b], b 成立。 f(x)dx,f(,)(b,a),a 另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。 0,f(x)是奇函数,a,a (1), f(x)dx,,,a2f(x)dx,f(x)是偶函数,,0, (,)如果函数以为周期连续函数，是常数，则 Tf(x)a a，TT f(x)dx,f(x)dx,,0a eeelnxdxlnxdxlnxdx例13.3.1比较与的大小。(大) 111,,,eee 22,a,a,x,a,x,0f(x),例13(3(2 设，利用几何意义，求。f(x)dx,,,a,x,a0,x,a, ,,22a() 4 ,,,例13(3(3设，，按积分值大到小次序排序下列积f(x),0f(x),0,f(x),0分 bbbf(b),f(a)[f(a)，(x,a)]dx(1)，(2)，(3)。 f(x)dxf(a)dx,,,aaab,a 13.4微积分基本公式 定积分的计算 一(牛顿—莱布尼兹公式 1 变上限函数定义 x 设可积，称为变上限定积分，它是上限变量的函数。 ,,f(x)(x)f(t)dtx,ax 2 定理 如果在上连续，则在上可导，且,,f(x)[a,b](x)f(t)dt[a,b],a ,[,(x)],f(x);如果函数在上连续，可导，则 f(x)[a,b]g(x)x dgx()g(x)dftdt,fgx[()][()] 。 ,adxdx sinxd求ln(2，t)dt例13(4(1(1) ,0dx 12,(2) 设，求F(x)。答 ,2xf(x)F(x),f(t)dt2,x tt22xx2ee2x,2xF(x),xdtdt，2xe(3)F(x)，求。答 ,,11tt 25 | sinxd例13(4(2 (1) ln(2，t)dtx,edx sinxd(2) xln(2，t)dt,0dx sinxd(3) xln(2，x)dx,0dx sinxd(4) ln(2，t)dt,0dt 3 .牛顿—莱布尼兹公式 定理 若函数在区间上连续，为的一个原函数，即f(x)[a,b]F(x)f(x) bb,，则 f(x)dx,F(x),F(b),F(a)F(x),f(x),aa ,432例13(4(3计算 答 cosx,cosxdx,,,32 11x2例13(4(4 设，求和。 f(x)f(x),x，ef(x)dxf(x)dx,,00 二 变量替换法 设函数在上连续，函数满足下列条件 f(x)[a,b],(t) ,(1) 函数在区间上有连续的导数; ,(t)[,,,],(t) (2) ，，且当在区间上变化时，关系式所确,(,),a,(,),b[,,,]x,,(t)t 定的的值不越出的范围，若越出，但在大的区间上仍连续，则有下[a,b]f(x)x 式成立 b,, ,f(x)dxf[,(t)],(t)dt,,a, 注意:此公式也可以从右边向左边进行，这就是凑微分的方法。 414,2ln3例13(4(5 () dx,01，x 三 分部积分法 ,, 设函数与在区间上具有连续的导数与，则有 u(x)v(x)[a,b]u(x)v(x) bbb,, u(x)v(x)dx,u(x)v(x),v(x)u(x)dx ,,aaa ln321,x,ln3(6 (1)例13(4 () xedx,033 e12lnxdx2(1,)(2) [] 1,ee 13.5 定积分的应用，平面图形的面积 x,b 由直线,曲线y,f(x),y,g(x)所围图形的面积为 x,a bS,f(x),g(x)dx ,a 52例13(5(1 求由曲线x,y,y,,x,y,0，所围图形部分面积。() y,2,x2 26 | 3922例13(5(2求曲线所围图形的面积。答 (3)A,y,ydy,x,2y,y,x，y,0,02 例13(5(3求曲线上的一条切线，使该切线与直线y,lnx,(2,x,6)x,2,x,6 1及轴所围成平面图形面积最小。() y,ln4,(x,4)x4例13(5(4补充题 x13421已知连续且满足，求。()。 4x，2x,1f(x)f(x)f(t)dt,x，x,xf(x)dx,,002 设，在上连续，， 单调增加，则 [0，，,)f(x)g(x)f(x),0g(x) xf(t)g(t)dt,0在上单调增加。 (x)[0，，,),,xf(t)dt,0 3x21,,t,(e,1)dt,x,03,f(x),x,03(07)若函数在点连续，则[(A)]。 0a,,x ,ax,0, ,9,301 (B) (C) (D) (A) x,,sin2(e1),,x0,x,e1,limf(x)x,0,,4设f(x)3,x0求并讨论在点处的连续性。 f(x),x,02x,12costdt,x,0,,0x, limf(x),2,f(0),3x,0(，在点处不连续) f(x)x,0 5下列积分中，积分值等于零的是[ ] (C) 11792 (A)(B)xsinxdxxln(x，x，1)dx,,,,11 2,2,55 (C)(D)cosxdxsinxdx,,,,,, x26(03)设，则的极值点的个数是[] f(x)(B)f(x),t(t,1)dt,0 0 1 2 3 (A)(B)(C)(D) 7(03)甲、乙 两人百米赛跑成绩一样，那麽[] (C)(A) 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定一样 (B) 甲、乙 两人每时刻的瞬时速度必定不一样 (C)甲、乙 两人至少某时刻的瞬时速度一样 27 | 甲、乙 两人到达终点的瞬时速度必定一样 (D) ,8(03)设则[ ] (D)I,sin(cosx)dx,0 I,00,I,1I,0I,1(A)(B)(C)(D) ,9(04) 为连续函数，且， f(x)f(xsinx)sinxdx,1,0 ,则[] (C)f(xsinx)xcosxdx,,0 0 1,1(A)(B)(C)(D),10(05)设连续函数在内严格单调递增，且，若y,f(x)[0,a]f(0),0,f(a),a a是的反函数，则 g(x)f(x)(B)[f(x)，g(x)]dx,,0 222 (A)(B)f(a)，g(a)f(a) aa (C)(D)2f(x)dx2g(x)dx,,00 y y y,g(x)y,x a g(x)dxy,f(x),0 a f(x)dxx,0x oaoa xx1224a,tdt，dt,0a,011(06)设，则在[0，a]上方程根的个数,,022a4a,t为[(B)] (A) 0 (B) 1 (C) 2 ( D) 3 12(06)如左图所示，函数是以2为周期的 f(x)yy,g(x) 连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线， 1y,f(x)2f(g(x))dx,是线性函数，则[(B)] g(x),x0211,3123 (A) (B)1 (C) (D) 232 x,013(08)当时，函数f(x)可导，有非负的反函数g(x)，且恒等式 f(x)2f(x)成立，则函数=[(B)]( g(t)dt,x,1,1 2x，12x,1(A) (B) 28 | 22(C) (D) x，1x 21,x14((08)若是的一个原函数，则[(,)]。 f(lnx)dx,ef(x)2,1x 1(A) ( B)-1 ,4 1(C) (D)1 4 29 |