【弹无虚发】2013高考数学秒杀必备：解题中经常出错的原因

【弹无虚发】2013高考数学秒杀必备：解中经常出错的原因 数学解题中的几种常见错误 在学习过程中，每个学生都会或多或少地犯一些错误，有的学生会认真地总结经验教训，确保以后不再犯同样的错误，有的学生则不善于总结，以至于一错再错，最终导致考场失利，每次月考结束后，总会有许多遗憾，某个选择题不该错，某个计算题粗心把结果算错，某道题忽略了一个已知条件，如此种种，举不胜举，为帮助同学们纠正常犯的解题错误，本文详细分析这些常见错误，并有针对性的给出纠正的办法: 1、粗心之错 这里所说的“粗心”，指的是一些莫名其妙，会而不对的错误，如计算60-15=55等等。 626(1,2x),a，ax，ax，？？，ax(x,R),，已知 例10126 则||，||，„„，||的值为: aaa126 63,729错解:因||，||,„„,||都是正值，故只需令，即可得和为。 aaax,,1126 错因:粗心把忘掉减去。 a0 正解:令可得， x,,1 63,1,728|a|，|a|，„„+||= a126 例2，若是偶函数，则函数的图像的对称轴是 。 y,f(2x,1)y,f(2x，1) 11x,,x,A、 B、 C、 D、C、 x,,1x,022 22错解:可用特殊函数法，设,则是偶函数，y,f(x),(x，1)y,f(2x,1),4x 2。 y,f(2x，1),4(2x，1) 1 x,,? 的对称轴为,选D。 y,f(2x，1)2 2错因:也是粗心所致，你怎么能把代入中呢, 2x，14x 22正解:抽象函数问题可采用特殊函数法:设:,则y,f(x),(x，1)y,f(2x,1),4x是偶函数。 22? 对称轴为,选A。 y,f(2x，1,(2x，1，),4(x，1)x,,1 纠错:要纠正粗心的错误，唯有培养认真的习惯。 2、理解错误 RR理解错误主要指学生对概念的理解不全面，甚至错误，如对定义域为与值域为的理解混淆，造成张冠李戴的错误，对函数的定义域与函数有意义的理解模糊，造成合而为一的错误的现象等。 2Ra例3，已知函数y,log(x,ax,a)的值域为，则实数的取值范围为: 。 2 2错解:令，则恒成立，所以应有y,log(x),f(x),0f(x),x,ax,a2 2， 解得。即的取值范围为(—4，0)。 a,4,a,0,,a，4a,0 2错因分析:以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数的值域y,log(x,ax,a)2 2为的意义。根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当的值能取遍一切Rf(x),x,ax,a正实数时， 2y 函数的值域才是，而 Ry,log(x,ax,a)2 y,f(x)当时，由图可知，恒成立， ,,0f(x),0 2这只能函数的定义 y,log(x,ax,a)2 x o域为，而不能保证可以取遍一切正数， Rf(x) 要使可以取遍一切正数，结合二次函数 f(x) 的图象可知，的图象应与轴有交点才 xf(x) 能满足。 22正解:要使的值能取遍一切正实数，应有。解得f(x),x,ax,aa,0,,a，4a,0 ,,,,或，即的取值范围为 ,,,,4,0,，,。 aa,,4 1 例4，首项是，从第10项起开始比1大的等差数列的公差d的取值范围是 。 25838382 d,d,,d,,d,A、 B、 C、 D、 75257525752581d,错解1:由,得,解得,故选A。 a,1，9d,110752583 ,d,错解2:由a,1，且a,1，得，故选C。 1097525 错因分析:错解1只考虑到了a,1这个条件，没有注意到题中“开始比1大”这段关10 键语句，错解2虽然注意到了这关键的语句，但却忽视了a,1这种情况，因此都得出了错9 误的答案。 1,，8d,1,,,125a,9,,正确解:由题意得:，即 ， 11a,,10,，9d,1,25, 83 ,d,解得,选D。 7525 纠错方法:对于同学们出现的理解错误，最好的方法是回归课本，从中去重新理解 概念。 3、忽略之错 这种错误主要表现在解题中忽略隐含条件，忽视特殊情况而导致的错误。 (3x,1)x，4a,x1,,,，已知，是上的，减函数，那么的取值例5af(x),(,,，,)logx,x,1a, 范围是 。 (3a,1,0,110,a,,错解:由已知可得，解得，即的取值范围为。 aa,(0,)0,a,13,3错因:忽略题中的隐含条件，时函数的最小值应比时的函数最大值还大。 x,1x,1正解:由题意可知: (3a,1,0, ,310,a,1,a,, 解之得:。 253,3a,1，4a,0, 这类问题要特别注意隐含条件。 nn例6，若，则对任意实数，的取值范围为 。 nsinx，cosx,1sinx，cosx 1 A、1 B、区间(0,1) C、 D、不能确定 n,12 nn错解:D因，所以可以取无穷多个值，所以的值不能sinx，cosx,1sinxsin，cosx 确定。 22错因:该解答过程忽略了一个隐含条件从而导致了错误的选D。 sinx，cosx,1 正解:设点P()，则点P满足: sinx,cosx ，,1xyx,1,x,0,, ,,, 解得: 或 22y,0y,1，,1xy,,, sinx,0sinx,1,,nn,,即 或 所以 故选A。 sinx，cosx,1cosx,1cosx,0,, 例7，若向量,且的夹角为钝角，则的取值范围xa,(x,2x),b,(,3x,2)a,b 是: 。 2错解:因的夹角为钝角，于是可以得到，所以，故a,b,0a,ba,b,,3x，4x,0 3 x,或。 x,04 错因:忽视了，不是夹角为钝角的充要条件，因为的夹角为180?时也a,b,0a,ba,b 有，从而扩大了的范围，导致错误。 xa,b,042x,正解:因的夹角是钝角，故，解得或„„„? a,bx,0a,b,3x，4x,031 x,,又由共线且反向可得„„? a,b3 114由?、?可得的范围是。 x(,,,,),(,,0),(,，,) 333 2例8已知曲线及A(0，0)，B(2，3)，若曲线C与线段AB只有一个公共C:y,ax,1 点，求实数的取值范围: a 32错解:直线AB的方程为:，由 ax,x 23,yx,,322, 得 ax,x,1,0 22,yax,,1, 99 ,,,，4a,0,a,,曲线C与线段有且只有一个公共点:，由此得符合条件4169 ,的的值为。 a16 错因:上述解法错误的原因在于忽略了直线与线段这两个概念的区别，线段AB的方程为: 33，而不是，曲线C与线段AB只有一个公共点等价于方程y,x(0,x,2)y,x 2232在[0，2] 内只有一个根。 ax,x,1,0 23正解:线段AB所在直线的方程为: y,x(0,x,2) 23,yxx,(0,,2),322,由 得„„? ax,x,1,0(0,x,2) 22,yax,,1, 要使两曲线只有一个公共点，只需方程?在之间只有一个根。 0,x,23 x,,a,0当时，不符合题意，舍去。 2 32当时，要使方程?在[0，2]内只有一个根，因为a,0f(x),ax,x,1 2 ，所以只需即可，由此得即。 f(0),,1,0f(2),04a,3,1,0a,1 ，,因此，符合条件的a的取值范围为[1]。 纠错方法:要纠正忽略之错，可认真审题，仔细分析题意。 4、思维定式错误 所谓思维定式就是人们通过训练，形成的思维习惯，如错误地将等式的性质类比到不等 式中，造成习惯性的错解现象，如对分式不等式，习惯上不考虑分母的符号，直接将分式不等式化为整式不等式。 1例9，不等式的解集为: ,1 x1 错解: ，即。 ,11,xx,1 x ? 的的范围为()。 x,,,1 错因:受解分式方程的影响，去分母而导致错误。 1 正解:不等式的解集为。 ,1(0,1) x 纠错方法:克服思维定式，必须要从基础知识抓起，区分易混淆的式子。 5、重复或遗漏之错 这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中，因考虑不周，导致重复或遗漏。 例10，从5双不同的鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的取法有 种。 12错解:从5双鞋子中任取一双有C种取法，第二步，从余下的8只中任取两只有C种58 12取法，由分步计数原理可知，一共有C?C =140种符合条件的取法。 58 12错因:第一步的C种取法中，若取到a,a这一双鞋，第二步的C种取法中，取到b,b121258 12Cb,bCa,a另一双鞋;这种取法与第一步的种取法中取，第二步种取法到实际上是121258同一种取法，在上述解法中视为了不同的取法，因此产生了重复现象。 正解:至少有2只成双有两种可能。 121CCC,120恰有一双:种 254 2C,10恰成二双:种，?共有130种取法。 5 纠错方法:避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心，认真领会排列组合的原理。 6、以偏概全之错 这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。 2例11，设数列的前项和为，则这个数列的通项公式nS,n，2n，4(n,N*)n 为: 。 错解:因为a,S,S，所以a,2n，1(n,N*)。 nnn,1n 错因:此题错在没有分析的情况，以偏概全，误认为任何情况下都有n,1 a,S,S(n,N*)。 nnn,1 a,s,7,n,2a,S,S,2n，1正解:时，时，。 n,111nnn,1 7,n,1, a,,? n2n，1,(n,2), 纠错方法:要克服这类错误，主要解决好特殊与一般的关系，有无前提条件等。 错误并不可怕，可怕的是忽视错误，也许你的错误还不止以上所说的六种，但没关系，只要我们认真吸取自己或他人的教训，一定能开辟出自己的成功之路。