【弹无虚发】2013高考数学秒杀必备:解题中经常出错的原因
数学解题中的几种常见错误
在学习过程中,每个学生都会或多或少地犯一些错误,有的学生会认真地总结经验教训,确保以后不再犯同样的错误,有的学生则不善于总结,以至于一错再错,最终导致考场失利,每次月考结束后,总会有许多遗憾,某个选择题不该错,某个计算题粗心把结果算错,某道题忽略了一个已知条件,如此种种,举不胜举,为帮助同学们纠正常犯的解题错误,本文详细分析这些常见错误,并有针对性的给出纠正的办法:
1、粗心之错
这里所说的“粗心”,指的是一些莫名其妙,会而不对的错误,如计算60-15=55等等。
626(1,2x),a,ax,ax,??,ax(x,R),,已知 例10126
则||,||,„„,||的值为: aaa126
63,729错解:因||,||,„„,||都是正值,故只需令,即可得和为。 aaax,,1126
错因:粗心把忘掉减去。 a0
正解:令可得, x,,1
63,1,728|a|,|a|,„„+||= a126
例2,若函数是偶函数,则函数的图像的对称轴是 。 y,f(2x,1)y,f(2x,1)
11x,,x,A、 B、 C、 D、C、 x,,1x,022
22错解:可用特殊函数法,设,则是偶函数,y,f(x),(x,1)y,f(2x,1),4x
2。 y,f(2x,1),4(2x,1)
1
x,,? 的对称轴为,选D。 y,f(2x,1)2
2错因:也是粗心所致,你怎么能把代入中呢, 2x,14x
22正解:抽象函数问题可采用特殊函数法:设:,则y,f(x),(x,1)y,f(2x,1),4x是偶函数。
22? 对称轴为,选A。 y,f(2x,1,(2x,1,),4(x,1)x,,1
纠错方法:要纠正粗心的错误,唯有培养认真的习惯。
2、理解错误
RR理解错误主要指学生对概念的理解不全面,甚至错误,如对定义域为与值域为的理解混淆,造成张冠李戴的错误,对函数的定义域与函数有意义的理解模糊,造成合而为一的错误的现象等。
2Ra例3,已知函数y,log(x,ax,a)的值域为,则实数的取值范围为: 。 2
2错解:令,则恒成立,所以应有y,log(x),f(x),0f(x),x,ax,a2
2, 解得。即的取值范围为(—4,0)。 a,4,a,0,,a,4a,0
2错因分析:以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数的值域y,log(x,ax,a)2
2为的意义。根据对数函数的图像和性质可知,当且仅当的值能取遍一切Rf(x),x,ax,a正实数时,
2y 函数的值域才是,而 Ry,log(x,ax,a)2 y,f(x)当时,由图可知,恒成立, ,,0f(x),0
2这只能说明函数的定义 y,log(x,ax,a)2 x
o域为,而不能保证可以取遍一切正数, Rf(x)
要使可以取遍一切正数,结合二次函数 f(x)
的图象可知,的图象应与轴有交点才 xf(x)
能满足。
22正解:要使的值能取遍一切正实数,应有。解得f(x),x,ax,aa,0,,a,4a,0
,,,,或,即的取值范围为 ,,,,4,0,,,。 aa,,4
1
例4,首项是,从第10项起开始比1大的等差数列的公差d的取值范围是 。 25838382
d,d,,d,,d,A、 B、 C、 D、 75257525752581d,错解1:由,得,解得,故选A。 a,1,9d,110752583
,d,错解2:由a,1,且a,1,得,故选C。 1097525
错因分析:错解1只考虑到了a,1这个条件,没有注意到题中“开始比1大”这段关10
键语句,错解2虽然注意到了这关键的语句,但却忽视了a,1这种情况,因此都得出了错9
误的
。 1,,8d,1,,,125a,9,,正确解:由题意得:,即 , 11a,,10,,9d,1,25,
83
,d,解得,选D。 7525
纠错方法:对于同学们出现的理解错误,最好的方法是回归课本,从教材中去重新理解
概念。
3、忽略之错
这种错误主要
现在解题中忽略隐含条件,忽视特殊情况而导致的错误。
(3x,1)x,4a,x1,,,,已知,是上的,减函数,那么的取值例5af(x),(,,,,)logx,x,1a,
范围是 。
(3a,1,0,110,a,,错解:由已知可得,解得,即的取值范围为。 aa,(0,)0,a,13,3错因:忽略题中的隐含条件,时函数的最小值应比时的函数最大值还大。 x,1x,1正解:由题意可知: (3a,1,0,
,310,a,1,a,, 解之得:。 253,3a,1,4a,0,
这类问题要特别注意隐含条件。
nn例6,若,则对任意实数,的取值范围为 。 nsinx,cosx,1sinx,cosx
1
A、1 B、区间(0,1) C、 D、不能确定 n,12
nn错解:D因,所以可以取无穷多个值,所以的值不能sinx,cosx,1sinxsin,cosx
确定。
22错因:该解答过程忽略了一个隐含条件从而导致了错误的选D。 sinx,cosx,1
正解:设点P(),则点P满足: sinx,cosx
,,1xyx,1,x,0,,
,,, 解得: 或 22y,0y,1,,1xy,,,
sinx,0sinx,1,,nn,,即 或 所以 故选A。 sinx,cosx,1cosx,1cosx,0,,
例7,若向量,且的夹角为钝角,则的取值范围xa,(x,2x),b,(,3x,2)a,b
是: 。
2错解:因的夹角为钝角,于是可以得到,所以,故a,b,0a,ba,b,,3x,4x,0
3
x,或。 x,04
错因:忽视了,不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为180?时也a,b,0a,ba,b
有,从而扩大了的范围,导致错误。 xa,b,042x,正解:因的夹角是钝角,故,解得或„„„? a,bx,0a,b,3x,4x,031
x,,又由共线且反向可得„„? a,b3
114由?、?可得的范围是。 x(,,,,),(,,0),(,,,)
333
2例8已知曲线及A(0,0),B(2,3),若曲线C与线段AB只有一个公共C:y,ax,1
点,求实数的取值范围: a
32错解:直线AB的方程为:,由 ax,x
23,yx,,322, 得 ax,x,1,0
22,yax,,1,
99
,,,,4a,0,a,,曲线C与线段有且只有一个公共点:,由此得符合条件4169
,的的值为。 a16
错因:上述解法错误的原因在于忽略了直线与线段这两个概念的区别,线段AB的方程为:
33,而不是,曲线C与线段AB只有一个公共点等价于方程y,x(0,x,2)y,x
2232在[0,2] 内只有一个根。 ax,x,1,0
23正解:线段AB所在直线的方程为: y,x(0,x,2)
23,yxx,(0,,2),322,由 得„„? ax,x,1,0(0,x,2)
22,yax,,1,
要使两曲线只有一个公共点,只需方程?在之间只有一个根。 0,x,23
x,,a,0当时,不符合题意,舍去。 2
32当时,要使方程?在[0,2]内只有一个根,因为a,0f(x),ax,x,1
2
,所以只需即可,由此得即。 f(0),,1,0f(2),04a,3,1,0a,1
,,因此,符合条件的a的取值范围为[1]。
纠错方法:要纠正忽略之错,可认真审题,仔细分析题意。 4、思维定式错误
所谓思维定式就是人们通过训练,形成的思维习惯,如错误地将等式的性质类比到不等
式中,造成习惯性的错解现象,如对分式不等式,习惯上不考虑分母的符号,直接将分式不等式化为整式不等式。
1例9,不等式的解集为: ,1
x1
错解: ,即。 ,11,xx,1
x
? 的的范围为()。 x,,,1
错因:受解分式方程的影响,去分母而导致错误。
1
正解:不等式的解集为。 ,1(0,1)
x
纠错方法:克服思维定式,必须要从基础知识抓起,区分易混淆的式子。
5、重复或遗漏之错
这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中,因考虑不周,导致重复或遗漏。
例10,从5双不同的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的取法有
种。
12错解:从5双鞋子中任取一双有C种取法,第二步,从余下的8只中任取两只有C种58
12取法,由分步计数原理可知,一共有C?C =140种符合条件的取法。 58
12错因:第一步的C种取法中,若取到a,a这一双鞋,第二步的C种取法中,取到b,b121258
12Cb,bCa,a另一双鞋;这种取法与第一步的种取法中取,第二步种取法到实际上是121258同一种取法,在上述解法中视为了不同的取法,因此产生了重复现象。
正解:至少有2只成双有两种可能。
121CCC,120恰有一双:种 254
2C,10恰成二双:种,?共有130种取法。 5
纠错方法:避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心,认真领会排列组合的原理。
6、以偏概全之错
这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。
2例11,设数列的前项和为,则这个数列的通项公式nS,n,2n,4(n,N*)n
为: 。
错解:因为a,S,S,所以a,2n,1(n,N*)。 nnn,1n
错因:此题错在没有分析的情况,以偏概全,误认为任何情况下都有n,1
a,S,S(n,N*)。 nnn,1
a,s,7,n,2a,S,S,2n,1正解:时,时,。 n,111nnn,1
7,n,1,
a,,? n2n,1,(n,2),
纠错方法:要克服这类错误,主要解决好特殊与一般的关系,有无前提条件等。 错误并不可怕,可怕的是忽视错误,也许你的错误还不止以上所说的六种,但没关系,只要我们认真吸取自己或他人的教训,一定能开辟出自己的成功之路。