完全多部图的G—分解，G为有一条对角线的四边形

完全多部图的G—分解，G为有一条对角线的四边形 完全多部图的G—分解，G为有一条对角线 的四边形 第l8卷第3期 2001年9月 吉林化工学院 JOURNALOFJILININSTITUTEOFCHEMICALTECHNOLOGY Vd.18o3 Sep2001 文章缩号:1007-2853(2001)03-O072-02 完全多部图的G.分解,G为有一条 对角线的四边形 舒伟 (谁海工学院基础科学系,江苏连云港222005) 摘要:(g)示完全n部图….显然(1)即为n个顶点的完全图-.完全多部图矗()的 G一分解存在,如果E(茸)是一族同构于G的边不交的所有子图的集合.本文将研究G为有一条对角 线的四边形(记为口),了K(吕)的G一分解存在的充分必要条件. 关键词:完全多部图;四边形;图分解 中国分类号:O157.2文献标识码:A 用K(g)表示完全n部图...显然示分别具有对角线,bd的图Q K(1)即为n个顶点的完全图K. 给定图G,设是G的一族不交的子图, f,2,…,Ej是一族互不同构的图,若D中 子图的边集形成E(G)的一个划分(即D为G的 一 个分解),且每一子图与某一图,(sss)同 构,则称D为G的一个{日I'日2,….}一分解. 当=1时.简称D为G的一个】一分解. 为简便起见,在本文中,将有一条对角线的四 边形记为0. 在文献[1]中,J.C.BermondandJ. Seh~nheim给出了完全置图的Q一分解存在的 充分必要条件.即 定理1完全图K的Q一分辩存在的充分 必要条件为no,1(mod5)且n?5. 作为完全图置的0一分解的推广.本文将讨 论完全多部图()的Q一分解的存在性问题. 具体地说,将给出下面的定理: 定理2完全多部图K(g)的Q一分解存 在当且仅当下述条件之一成立: (1)n?3,当5Ig; (2);o,l(mod5),当5. 用记号(a,b,c,d)表示一 在以下的讨论中. 个边分别为,k,cd,如的四边形,其顶点集为 ,————,——, fd,b,c.d1.用记号(d,6.c.d)或(d,b,c.d)表 2基本引理 先给出如下的定义: 定义1图G称为图G】和G2的字典积,记 为G=GIG2,如果 (1)V(G)=V(G1)×V(G2); (2)对于任意(d】,6】),(口2,b2)?V(G), {(口1,6I),(n2,62)l?E(G)当且仅当{口l,口2l ?(G1)或者口I=.2,{bI.b2}?E(G2). gI理1若完全多部图K(g)的Q一分解 存在,则对于任意的正整数m,K(mg)的Q一 分解存在. 证设置为m个顶点的空图,由定义l知 置(mg)=K(g)@K.若K(g)的Q一分解 存在,欲证K(mg)的Q一分解存在,只需证Q 国K的Q一分解存在. 不妨设Q={(n.b,c,d)l,():{l, 2,…,m},任取一个m×m拉丁方A,A中元素 的形式为(i,』,),其中i为A的行指标,为A的 列指标,为A中i行,列对应元素aq.构造m 个Q如下: ((口,),(b,,(c.),(d,),(1s,sm) 它们形成Q0一Km的一个Q一分解. 收稿日期:2001—05—09 作者简介:舒{~(1971一),男,江苏灌云人,淮海工学院讲师,主要从事组合数学方面 的研究 第3期舒伟:完全多部图的c一分解.c为有一条对角线的四边形 由文献[2]可以得到以下的引理: 引理2对于任意正整数n3,K的}K: ?{3,4,5,6,8}}一分解存在. 引理3若g;l(m~t2)时,K(g)的 }(3),(5)}一分解存在. 引理4若n?{3,4,5,6,8}时,(g)的 Q一分解存在,则对于n3的正整数n,如(g) 的O一分解存在. 证由引理2结合引理l知,当n3时, (g)的}K3(g),(g),Ks(g),K6(g),Ks(g)}一 分解存在,又已知K3(g),K4(g),K5(g),&(g), 岛(g)的Q一分解都存在,所以对于所有n3的 正整数n,(g)的Q一分解存在. 3主要结果 在这一节,主要给出定理2的证明. 首先证明必要性,显然偶图不存在O一分 解,故n3.又因为K(g)的边数为n(一 1)g/2,而Q的边数为5,所以由如(g)的Q一 分解存在有 n(n—1)g2/2;0(m0d5) 解此同余方程即得定理2的条件(1),(2). 下证充分性: 定理3当51,g,n0,1(mod5)且n?5 时,完全多部图(g)的Q一分解存在. 证由定理1结台引理1即可证得. 定理4当5lg,3时,完全多部图 (g)的Q一分解存在. 证由引理4结合引理1,只需证明n?{3, 4,5,6,8}时,(5)的Q一分解存在即可. (1)(5)的O一分解为: ,———————, }(i+7,i+8,i+12,i+5)li?Z】5}, 2 (3(5))=,=}3,+:?z5}, i?z3. (2)(5)的Q一分解为: ,———————,/———————一 (2,2+6,2f+1,2i+19),(2i,2i+l5.2f+ 2,2i+l1),(2,2i+l7,2i+3,2i+10)Ii?Zlol V(K4(5))= ,电置,置:{4+:?}, i?zd. (3)K5(5)的Q一分解为: ,———————, (i,i+4,i+11,i 4 +l7)li?z},(5(5))=i,'={5+ i:?Z5},?z5. (4)显然61(m0d5),所以由定理1结合引 理可知(5)的Q一分解存在. (5)8(5)的Q一分解为: (21,2i+39,2i+27,2i+37),(2i,2i+22,2i +3,2+23),(2,2f+38,2+l3,2+28), (2i,2i+29,2i+11,2i+5)li?Z?}, (K8(5))=Xf,X{8,+i:,?Z5}, i?Zs, 完全多部图 定理5当51,g,n=5时, (g)的Q一分解存在. 证分两种情况: (1)g;o(m0d2) 由引理1知,只需证明5(2)的Q一分解存 在即可. K5(2)的O一分解为: {(2i,2i+3,2+1,..1),(2i+l,2+4,2i+ 2,002)li?五}, (5(2))=u{?1,?2},'14j+i: ?z2},i?z4. (2);l(mod2) 由引理3知,只需证明K5(3),K5(5)的Q一 分解存在即可. K5(3)的Q一分解为 ,_—,,_—,,—————一, }(1,3,2,8),(6,8,7,l3),(11,13,12,3), (2,4,0,9),(7,9,5,14),(12,14,10,4),(3,5,9, 6),(8,10,14,11),(13,0,4,1),(O,3,4,11), (5,8,9,1),(10,13,14,6),(1,5,7,4),(6,lO,l2, 9),(1—1,0,2,l4),(面,l1),(,0,1), (12,4,5,6)j, (5(3))=,={5J+i:,?Z3}, i?Z5. 而(5)的Q一分解在定理4的证明中已给 出.(下转第84页) 4吉林化工学院2001年 TheproductionofFeatonreagentwitllelectro-chemicalmethodand itsapplicationindegradationanddecolorizationofdye CHENR/-yao,ZHENGXi,CHENXiao,LINZhi—hong,CHENZhen (ExperimentCenter,F.ji~NormalUniversity,F~hou35~07,China) Abstract:Withtheehctro-chemicalmethods,H202isproducedonthecathodeintheelectrolyticcell,then H2O2reactswithre2dissolvedontheanodetoproduceFentonreagent.Fentonreagentisusedasa11 oxidantinthetreatmentofdyewastewater.ResuhsofCOD~malysisshowthatCODremovalrateisabove 80%.Severalfactorsaffectingtheenergyconsumptionintheelectrolyticoellareanalyzed.Ifthecurrent densityofelectrolysisiscontrolledwithin10mAim,theeleetre|ysisvoltagecaDbecontronedwithin5V. KeywOrds:dye;wastewater;degradation;decoloriuttion;Vokammetry 下期发表文章预告 电解合成乙醛酸的改进 钱玲,张所信 (1.连云港职业技术学院化工系,江苏连云港222tD6 2.淮海工学院化工系,江苏连云港222005) 摘要:在原有电解合成乙醛酸的研究的基础上,对阳极材料,隔膜,电解工艺等进行了研 究和改进,使电流效率由60%提高到86.4%,产率由80%提高到94.1%,电耗降 为0.O049kwh/g. 关键词:乙醛酸;草酸;电解合成;工艺改进