含绝对值函数的综合问题一

含绝对值函数的综合问题一 ,xmn,[,]xn,,,(,]xm,，,[,);函数在，在及上无单调性;对 取得最大值nm, 含绝对值函数综合问题一 mn，一、含绝对值函数的最值 称中心为; (,0)21、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 fxaxmbxnmn()||||(),,，,,AmfmBnfn(,()),(,())(3)图像是以为折点的折线。 fxx()||,(1)的图像是以原点为顶点的“”字形图像;函数在顶点处取得最小值V min{(),()}fmfn当时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为; ab，,0f(0)0,“”，无最大值;在函数;对称轴为: x,0x,,,,，,,(,0],[0,) Maxfmfn{(),()}当时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为; ab，,0bfxkxbk()||(0),，,(2)图像是以为顶点的“”字形图像;在顶点取得最小值:V(,0),当时，两端无限延伸且平行轴，故既有最大值又有最小值，最大值为ab，,0xk Maxfmfn{(),()}min{(),()}fmfn;最小值为。 bbbb“”，无最大值;函数在;对称轴为: f()0,,x,,,,,,，,,(,],[,)x,,kkkk3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 fxkxbk()||(0),，,(3)函数: ,函数 fxxaxaxaaRinNaaa()||||||(,,,),,，,，，,,,,,,设1212nin (,0),b时，函数是以为顶点的“”字形图像;函数在顶点取得最小值:k,0V,fx()(1)若，则的图像是以为顶点的“”字形图像 V(,())afankkN,,,21()kk fb()0,,“”，无最大值;函数在;对称轴为: xb,,xbb,,,,,,，,,(,],[,)()当且仅当时， [()]|()()|fxaaaaaa,，，，,，，，xa,akmin1211221kkkk,，，,(,0),bk,0时，是以为顶点的倒“V”字形图像，函数在顶点取得最大值: fx()() 函数在，若为等差数列，则图像关于对称 b(,],[,),,,，,,aa{}axa,kkikfb()0,,“”，无最小值;函数在;对称轴为: xb,,xbb,,,,,,，,,(,],[,),fx()(2)若，则的图像是以点为折点的“平 AafaBafa(,()),(,())nkkN,,2()kkkk，，112、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 底形”图像 fxxmxnmn()||||(),,，,,AmnmBnnm(,),(,),,(1)函数的图像是以点为折点的 ()当且仅当， [()]|()()|fxaaaaaa,，，，,，，，xaa,[,]akk，1min12122kkkk，，xmn,[,]“平底形”图像;在上的每点，函数都取得最小值，无最大值;函数nm, fx()() 函数在，在无单调性。若为等差数列， b(,],[,),,,，,,aaxaa,[,]{}akk，1kk，1imn，xmn,[,]x,在 ，在无单调性;对称轴为。 xmxn,,,,,，,,(,],[,)2aa，kk，1则图像关于对称 x,2fxxmxn()||||,,,,(2)函数: 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当 及 时，图像是分别xa,xa,fx()AmnmBnmn(,),(,),,Z当时，是以点为折点的“字形”函数图像;在mn,1n 向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间 上[,](1,2,1)aain,,xn,,,(,]xm,，,[,)上的每点，函数都取得最大值，在上的每点，函数都取mn,ii，1 均为线段(它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值( xnm,[,],xn,,,(,]xm,，,[,)得最小值;函数在，在及上无单调性;对称nm, ,证明:当时，， nkkN,,,21()fxxaxaxa()||||||,,，,，，,mn，1221k,中心为(,0); 2由绝对值不等式性质得: 设aaa,,,1221k, fx()AmmnBnnm(,),(,),,Z 当时，是以点为折点的“反字形”函数图像; nm,,|||||()()|xaxaxaxaaa,，,,,,,,,，当且仅当时取“” xaa,[,]121121211kkk,,,121k,xm,,,(,]xn,，,[,)在上的每点，函数都取得最小值，在上的每点，函数都 mn, ,，当且仅当时取“” |||||()()|xaxaxaxaaa,，,,,,,,,xaa,[,]222222222kkk,,,222k, 1 fxxaxa()|(21)||1|,,,,，,fx()x,,(1,3];(1)若在上存在反函数，3、已知函数 ,，当且仅当时取“”; ||||xaxaaa,，,,,xaa,[,]kkkk,，，,1111kk,，11fx()x,,(1,3]fx()求实数的范围。(2)若在上为增函数，求实数的范围。(3)若aa ,，当且仅当时取“”; ||0xa,,xa,3kk的图像关于对称，求实数 (,0)a2注意到:，从而当且仅当时，上述个式aaaaaaa,,,,[,][,][,]xa,kkkkkk,，,，,1122121k 同时取等号，于是fxfaaaaaaa()()()()(),,,，,，，,kkkkk21122211,,，, ; ,，，，,，，，|()()|aaaaaa1211221kkkk,，，, ,当时，， fxxaxaxa()||||||,,，,，，,设aaa,,,nkkN,,2() 122k122k 22fxxx()|1||1|,,，，4、已知函数，若，求实数的范围 faafaa(23)(23),，,，，a由绝对值不等式性质得: ,，当且仅当，时取“” |||||()()|xaxaxaxaaa,，,,,,,,,xaa,[,]121221kkk12k ,，当且仅当，时取“” |||||()()|xaxaxaxaaa,，,,,,,,,xaa,[,]221221212kkk,,,221k, ,，当且仅当，时取“”; ||||xaxaaa,，,,,xaa,[,]kkkk，，11kk，1 注意到:，从而当且仅当时，上述各式[,][,][,]aaaaaa,,,xaa,[,]f(x),x，1，x,1，x,a5、已知函数; kkkkk，,，11212kk，1 同时取等号，于是 fxaaaaaa()|()()|,，，，,，，，fx()(1)若的图像关于垂直于轴的直线对称，求的取值集合。 xa12122kkkk，， fx()x,,(2,)例题: (2)若在上为增函数，求实数的范围。 a fxaxb()||,,ab,1、已知函数在，求实数的范围。 x,,,,(,1) fxxxxxxx()|1||2||2011||1||2|+|2011|,，，，，，，，,，,，,6、设函数 2fxxax()|||1|,，，,fx()x,,(2,)2、已知函数;(1)若在上为增函数，求实数的范a()xR,，且，求所有互异整数的值的和。 faafa(32)(1),，,,a fx()围。(2)若函数图像关于x,2对称，求实数。 a 2