线性规划求最值问题
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线性规划求最值问题
山东 王中华 王彦秋
一、与直线的截距有关的最值问题
x,20?,,
,Pxy(),例1 已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的zxy,,y,10?,,
,xy,,220?,
取值范围是( )(
(A),,2,,1, (B),,2,1,
(C),,1,2, (D),1,2,
解析:由线性约束条件画出可行域如图1,考虑, zxy,,
把它变形为,这是斜率为1且随z变化的一族平行 yxz,,
直线(是直线在y轴上的截距(当直线满足约束条件且 ,z
经过点(2,0)时,目标函数取得最大值为2; zxy,, 直线经过点(0,1)时,目标函数取得最小值为,1(故选(C)( zxy,,
注:本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0,1),(2,1),(2,0),然后再一一代
,入目标函数求出z=x-y的取值范围为,1,2,更为简单(这需要有最值在边界点取得的特殊值意识(
二、与直线的斜率有关的最值问题
xy,,20?,,y,例2 设实数xy,满足,则的最大值是__________( z,xcy,,240?,,x,230y,?,,
yy,0解析:画出不等式组所确定的三角形区域ABC(如图2),表示两点z,,xx,0OPxy(00)(),,,确定的直线的斜率,要求z的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜
xy,,,240230y,,率的最大值(由图2可以看出直线OP的斜率最大,故P为与的交点,即A点(
33,,P1, ?(故答案为( ,,22,,
yy,0注:解决本题的关键是理解目标函数的 z,,xx,0
yytx,几何意义,当然本题也可设,则,即为求 ,tx
ytx,ytx,的斜率的最大值(由图2可知,过点A时,
3ytx,t最大(代入,求出, t,2
3即得到的最大值是( 2
三、与距离有关的最值问题
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xy,,20?,,
,22,求的最小值( 例3 已知zxyy,,,,1025xy,,40?,,
,250xy,,?,,
22解析:作出可行域如图3,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)(而zxy,,,(5)表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,
92易知垂足,在线段上,故z的最小值是( ACMN,2
注:充分理解目标函数的几何意义,如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离等( 四、与实际应用有关的最值问题
例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1(5倍,问桌、椅各买多少才行, 分析:先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数
之和,再由此在可行域内求出最优解(解题中应当注意到问
题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件,若从图形直观上
得出的最优解不满足题设条件时,应作出调整,直至满足题设(
解:设应买x张桌子,y把椅子,把所给的条件表示成
50202000xy,?,,
,yx?,, 不等式组,即约束条件为 ,yx?1.5,,,,xy,,,N,
200,x,,,50202000xy,,,,,7 由解得( ,,200yx,,,,y,.,7,
200200,,,? A点的坐标为, ,,77,,
x,25,,50202000xy,,,,, 由解得( ,75,yx,1.5,y,.,,,2
75,,25,? B点的坐标为( ,,2,,
20020075,,,,ABO,,,,,25(00)所以满足约束条件的可行域是以为顶点的三角形区,,,,772,,,,
zxy,,域(如图4)(由图形可知,目标函数在可行域内的最优解为25,,但注意到
,y,37,故取( xy,,N
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高考资源网(www.ks5u.com),您身边的高考专家 答:应买桌子25张,椅子37把(
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