变化的东西总是能让人投入更多的感情

变化的东西总是能让人投入更多的感情 第八章 变换 变化的东西总是能让人投入更多的感情，也让人兴趣倍增。在几何中，如果没有变换，也许会使得她逊色不少，魅力大减。简单地来说，变换包括对称、平移、旋转及放射变换，其中“对称”、“平移”、“旋转”这几种变换比较简单，放射变换相对来说复杂一些，但只要明白原理，也不并难。一般来说，这些变换都是对几何对象进行操作，但是有种特别的对象，可变换的文本，也可以进行变换。为什么,其实很显然它的名字就叫“可变换的”。如图8-1，为“变换”菜单内容。 图8-1 “变换”的下拉菜单 8.1 关于直线的对称图形 这是最基本的变换形式。直接选取若干对象，其中至少应有一条直线(或线段、射线、向量)，若有多条直线(或线段、射线、向量)，则以被选择的最后一条直线(或线段、射线、向量)作为对称轴。如图8-2左图，先选取线段AB，然后选取其它对象，单击菜单“变换| 关于直线的对称图形”，则有如图8-2右图。 图8-2 “变换”的下拉菜单 第八章 变换 - 187- 8.2 平移几何对象 在平移对象前，需要选定一个平移向量，选取两个点(或选取线段、向量、射线、直线)，在没有指定过任何平移向量前，单击菜单命令“变换| 选定平移向量”，那么平移向量将为该两点确定的向量(若选取的是线段、向量、射线、直线时，平移向量将由确定它的两点够成的向量)，因此选取点时，顺序也是重要;若曾经指定过平移向量，那么单击的应该为“变换| 目前正在使用的平移向量为:**”形式的菜单命令。其结果都一样，都是指定选取的两点确定的向量作为新的平移向量。 选定了平移向量，需要平移对象就很简单了，直接选取需要平移的对象(可以为多个)，单击菜单命令“变换| 平移几何对象”，则几何对象上每一点都将沿目前使用的平移向量的方向平移该向量的长度个单位，得到新的几何对象。如图8-3，选定线段AB为平移向量，平移三角形CDE及可变换文本“平移”。 图8-3 平移 8.3 旋转几何对象 在旋转几何对象前，有两个前提，指定旋转中心及指定旋转角度。这很显然，因为旋转需要告诉计算机绕谁旋转，而且旋转多少角度。 指定旋转中心很简单，选取任意一点，单击菜单命令“变换| 指定旋转中心”(与选定平移向量类似，这个命令可能会这样的名字:“目前正在使用的旋转中心为:*”)，则设定当前的旋转中心为选取的点。 指定旋转角度有两种情况:一、用户输入一个具体的角度(单位为弧度)，那么不选取任何对象，单击菜单“变换| 指定旋转角度为参数”(或者是“目前正在使用的旋转角度参数为:*”)，在弹出的输入对话框中输入一个角度值(注意为弧度)，然后单击“确定”按钮;二、在作图区中选取一个角(选取三个点)，单击菜单“变换| 指定旋转角度为参数”(或者是“目前正在使用的旋转角度参数为:*”)，则设定当前的旋转角度为选取的角。 指定旋转中心及旋转角度后，选取需要旋转的若干对象，单击菜单“变换| 旋转几何对象”，则几何对象将绕着目前使用的旋转中心旋转一个角度，而这个角度就是目前使用的旋转角度。如图8-4，选取点A、B、C，指定其为旋转角参数，选定点B为旋转中心，然后选取可变换文本“旋转”，单击菜单命令“变换| 旋转几何对象”。 - 188 - 超级画板用户指南 图8-4 旋转 8.4 平移和旋转几何对象 往往对一个几何对象不仅要平移某个向量，还会同时需要旋转，那么先进行平移，然后进行旋转，这当然是可行。不过这不是最好的办法，为了方便，特意设置了“平移和旋转几何对象”命令，简单地说，该命令是平移与旋转的合成，其效果也就先对对象进行平移，然后进行旋转的结果，因此在使用该命令前，需要选定平移向量，指定旋转中心及旋转角参数。 8.5 仿射变换 仿射变换可以有两种形式进行，一是以几何的方式，通过“指定仿射变换”，然后对几何对象进行仿射变换;另一种则是代数的形式，直接填写仿射变换公式的系数，对几何对象进行变换。 那么先来看看几何方式是如何实现的。这种方式需要“指定仿射变换”，这通过选取点实现，这也分两种情况: 1(若选取三个点(多于三个点，少于六个点，只有前面三个点有效)，如若选取三点为点A、B、C，单击菜单命令“变换| 指定仿射变换”，则指定仿射变换成功;这时你会发现该菜单命令变成“仿射变换:[三角形(0,0)(1,0)(0,1)->三角形ABC]”，这意味着当前的仿射变换是点(0,0)->点A、点(1,0) ->点B、点(0,1) ->点C，那么选取任意几何对象，单击菜单命令“变换| 几何对象的仿射变换”，则仿射变换成功，得到的图形将是该几何对象在原坐标系的坐标在新坐标系(由点A、B、C确定的坐标系，其中点A对应坐标原点，点B对应于横轴的单位坐标，点C对应纵轴的单位坐标，其实“仿射变换:[三角形(0,0)(1,0)(0,1)->三角形ABC]”就是这个意思)中对应的图形。如图8-5左，点D是点A在仿射变换:[三角形(0,0)(1,0)(0,1)->三角形ABC]下的仿射变换的结果。 图8-5 仿射变换 如果把点拖到原点O处，你会发现点D也将与O、A重合，如图8-5右，为什么呢,点 第八章 变换 - 189- A在原坐标系下的坐标为(0，0)，那么它在新坐标系下的坐标也是(0，0)，而这也正好是新坐标系的原点，那么也就点A，所以他们重合～ 2(若选取六个点(多于六个点，多于的点将不计)。如若选取六个点A、B、C、D、E、F，单击菜单命令“变换| 指定仿射变换”，则指定仿射变换成功;这时你会发现该菜单命令变成“仿射变换:[三角形ABC->三角形DEF]”，这意味着什么,其实这与第一种情况类似，该变换就是点A->点D、点B ->点E、点C ->点F，若进行仿射变换，其意义也就是几何对象在坐标系(由点A、B、C确定的坐标系，其中点A对应坐标原点，点B对应于横轴的单位坐标，点C对应纵轴的单位坐标)下的坐标在新坐标系(由点D、E、F确定的坐标系，其中点D对应坐标原点，点E对应于横轴的单位坐标，点F对应纵轴的单位坐标)下对应的图形。也许你会发现其实第1种情况就是该情况的特殊情况，只是前三个点默认的是(0，0)、(1，0)、(0，1)。如图8-6，设定仿射变换为[三角形ABC->三角形DEF]，点G、H分别为线段AB、AC的中点，选取点G、线段GH、点H，单击菜单命令“变换| 几何对象的仿射变换”，则得到点I、线段IJ、点J，注意G对应I、H对应J;而且通过测量你会发现点I、J同样也是线段DE、DF的中点。 图8-6 仿射变换2 你会发现从三角形ABC到三角形DEF也许是件容易的事，那么ABC到ABD呢,这怎么班呢,下面先看一个例子。 1(任意作一线段AB，并任取一点C，作点C关于线段AB的对称图形，得到点D，在线段CD上任取一点E。任意插入一可变换文本“GOOD”，并作其关于AB的对称图形。结果如图8-7。 图8-7 作图 2(依次选取点A、B、C，单击菜单命令“变换| 指定仿射变换”。 3(依次选取点A、B、E，单击菜单命令“变换|仿射变换:[三角形(0,0)(1,0)(0,1)->三角形ABC]”。此时仿射变换为:[三角形ABC->三角形ABE] 4(选取可变换文本“GOOD”，单击菜单命令“变换| 反射变换”。结果如图8-8。 - 190 - 超级画板用户指南 图8-8 仿射变换结果 5(在线段CD上，拖动点E从点C到点D，你会发现刚好是可变换文本对称到其关于线段AB的对称图形的动态过程。 从上面的例子，也许已经发现，若每次选取的是三个点进行仿射变换设定，那么仿射变换总是把当前的仿射变换的前一个去掉，把第二个往前移，而当前选取的三点做为第二。假设当前变换为1->2，若选取3设定，则变换为2->3，再选取4设定，则变换为3->4，以次类推。若不选取任何点，进行仿射变换的设定的话，则取消当前的仿射变换，菜单命令将变成原始的“变换|指定仿射变换”的形式了。 没有设定任何仿射变换，选取若干几何对象，单击菜单命令“变换| 几何对象的仿射变换”，则弹出如图8-9的对话框，在这个对话框中填写仿射变换代数形式的系数。 图8-9 填写系数 在其中输入仿射变换公式，即是仿射变换的规则，这些几何对象将依照这个变换规则进行仿射变换。 例如我选择了一个点E(3，2)，仿射变换公式中a1=2，b1=3，x0=4;a2=2，b2=2，y0=3。系统就会这样计算仿射变换得到的点的坐标:x=2*3+3*2+4;y=2*3+2*2+3，也就是说新点的坐标是(16，13)。