将军饮水解析

将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小------初三丏题复习之将军饮马 page 1 of3 小马成群 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，丐AE=2，求EM+EC的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， A A ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， E E 则EH=AH–AE=3–2=1， M H BH= BC2-CH2= 62-32=3 3 M 在直角△BHE中，BE= BH2+HE2 B C B C D D = (3 3)2+12=2 7 2．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E=4CB'M FDANEB3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MNCMB'N的长就是MB+MN的最小值则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=90°，∠B'=30°。∴AN=1在直角△AB'N中，根据勾股定理 A 30° 2 B N B' B'N=3 C M A 30° N 2 B ------初三数学丏题复习之将军饮马 page 2 of3小马成群Part2、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０A DN MB C2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．23 B．26 C．3 D．6 A D 解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小 E 点D关于直线AC的对称点是点B， 连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE， P BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=2 3 B C 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小 A D ∵点B关于AC的对称点是D点， ∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点 DQ=PD+PQ=PB+PQ P 故DQ的长就是PB+PQ的最小值 在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2 B Q C 根据勾股定理，得，DQ=5 4．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为55A DB E C------初三数学丏题复习之将军饮马 page 3 of3