三角函数的积分

三角函数的积分 8.3.2 三角有理函数的积分法 sin,cosxx 称由函数与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角 Rxx(sin,cos)有理函数，记作。 tan,cot,secxxxsin,cosxxcscx由于与都是由与常数所构成，所以六个三角 Rxx(sin,cos)函数有理式都可化为的形式。 关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得 到以下规律: Rxxdxsincos，，,ux,sin(?)，令; Rxxdxcossin，，,ux,cos ，令; 2Rxxdxtansec，，,ux,tan ，令。 334sincos5sincossinxxdxxxdx,,,,例3.4、(1) 322357sin(1sin)sin(sin2sinsin)xxdxxxxdx,,,，,,, 111448sinsinsinxxxC,，，438 (2) 4222secsec1tan1tantanxdxxxdxxdx,，,，,，，，，,,, 13tantanxxC，，3 RxxRxx(sin,cos)(sin,cos),,,(?) Rxx(tan,cos)Rxx(tan,cos),RxxRxxx(sin,cos)(tancos,cos),11由于=，且 Rxx(tan,cos)Rxxx(tan(cos),cos),,Rxx(sin,cos),,Rxx(sin,cos)1==== 2Rtanxcosx1知，必为与的有理函数，即可设 2Rxx(tan,cos)Rxx(tan,cos)Rxx(sin,cos)12== dudx,2ux,tanxu,arctan1，u于是，令，则，，从而积分 1duRxxdxRu(sin,cos)(,),222,,11，，uu 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的。 2cosxdx2,2sin,x例3.5、计算。 2211tanxu22uxxx,,,,,tan,cos,sin22221tan11tan1，，，，xuxu解:令， dudx,21，u，于是 122cosxdudu1，udx,,,2,,,2222u2sin1,，xu12，，uu，，，，2,21，u 111u()arctanarctan,,,，,duuC22,12，，uu22 1tanxxC,，arctan 22 xu,tanRxx(sin,cos)2(?)对任意的三角有理函数，可作万能代换，将其 x2u,tandx,2xu,2arctan21，u变为有理函数，事实上令，，，而 xxx2sincos2tan2u222sinx,,,2xxx1，u222sincos1tan，，222 xxx222cossin1tan,,21,u222cosx,,,2xxx1，u222sincos1tan，，222 2212uuu,RxxdxRdu(sin,cos)(,),,,222111，，，uuu于是 12du,2,xdx2uu,tan1，u212，,212sin，x,1，u例3.6、(1) 2(2)dudu，,,222,,2uu，，41u，,23，，，， 123u，,ln，,C 323u，， xtan23，,12ln，Cx3tan23，，2 xu,tan2dxdx,,,,sin22sin2sin(cos1)，，xxxx(2) 1211duudu,，,()22,,21uu,14，uu2(1)，22uu，，11 2111uxx2(ln)[lntan(tan)]uCC，，,，，424222