如何处理绝对值问题

如何处理绝对值问题 知识要点:1定义2非负性3结合数轴4 0点分区间法 5今后可以用的完全平方法 绝对值的意义与性质: aa(0),,2 ? ? 非负性 ||a,(||0,0)aa,,,,,aa(0), ? 非负数的性质: i)非负数的和仍为非负数。 ii)几个非负数的和为0，则他们都为0。 任何难题最后还是需要回到定义的，对概念的深入理解和灵活应用是很重要的。 在这里首先谈谈0点分区间法 什么叫0点,如何进行0点分区间法 0点未必是原点。0点是使得绝对值为0的未知数的值。有些题可能出现多个0点或出现多个绝对值出现的时候0点个数会增加。优点:思路直截了当。缺点:情况繁琐类似奥赛的枚举法。 例题化简:,3x+1,+,2x-1,( 分析 本题是两个绝对值和的问题(解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号(若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事(例如，化简,3x+1,，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号(这里我们 为三个部分(如图1,2所示)，即 这样我们就可以分类讨论化简了( 原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x; 原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2; 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x( 即 说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”( 基本步骤:1找出0点2在数轴上标出0点3分类讨论 注意:包含所有数。两种情况的临界点一个带等号一个不带 0点分区间法在很多题可以谈的上通法思路干脆但比较麻烦 已知y=,2x+6,+,x-1,-4,x+1,，求y的最大值( 分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再 加以比较，从中选出最大者( 解 有三个分界点:-3，1，-1( (1)当x?-3时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于x?-3，所以y=x-1?-4，y的最大值是-4( (2)当-3?x?-1时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3?x?-1，所以-4?5x+11?6，y的最大值是6( (3)当-1?x?1时， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于-1?x?1，所以0?-3x+3?6，y的最大值是6( (4)当x?1时， y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于x?1，所以1-x?0，y的最大值是0( 综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6( 反思是否有更好的方法。我们发现很多时候端点是取得最值的地方只要把-1，1，3代入得 到的y分别为-4，0，6 请你先思考求y=的最大值和最小值 xx,,,31 此题用零点法特别快的能做出y的最大值为2最小值为-2但要分三种情况能否有更好的方法呢, 被减数的几何意义是代x与3的距离，减数代表x与1的距离。Y的意义代表距离差。X在1的左边的时候通过数轴明显2，在3的右边答案是-2，x在1-3之间的时候到3的距离越来越小到1的距离越来越大差最大的时候2不断减小到-2 由此题的经验我们是否可以不讨论化归到思考题模型解题呢,答案是肯定的。 我们再次应用配对的思路得到y= 2(31)(11)1xxxxx，,，，,,，,， 三组中得到每个括号结果分别不大于4，2，0y不超过6借助上题的分析方法。以及配对的观点第一组 x不小于-1取得等号，第二组是不大于-1取得等号，第三个是x=-1取得等号。有些时候出现麻烦就是不能同时取得等号但此题可以x=-1 y取得最大值6 练习求的最小值是 yxxx,,，,,,123 xx,,,，121 分析初看要零点区间2种情况但注意到x不能超过0.5，所以左边的绝对值只能是相反数 1-x=-2x+1 X=0 发散训练,,1+x,-1,=3x(提示利用非负性立刻判断x非负其实每个绝对值的正负唯一确定了) 例 2121xxx,，,,， 分析0点法3个零点4种情况 注意 2x-1-(x-2)=x+1 abab，,,其实说明ab积不大于0再处理就容易的多 1,,x2很快就能得到 (21)2)0xx,,,(2 xx,，,,154练习(注意到结合数轴左边最小为4取等号的条件介于1-5之间) 例已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。 ab,||1abab,，,ab, 分析:注意两人非负整数和为1只能一个为1一个为0 =1,ab=0时候这是第一个大||ab, 情况 a=0的时候b=1,同理b=0的时候a=1当=0，ab=1的时候显然a=b=1 ||ab, 所以三种情况a=1,b=0;a=1,b=1;a=0,b=1 20012001a,b，c,a,1c,a，a,b，b,c练习若a,b,c为整数，且，计算的值( xxxn,，,，，,12...y=的最小值(提示应用配对原则解决，结合数轴采用中间靠近原 2n[]则注意分奇数和偶数讨论)可以类比小学学的中位数答案4