北半球斜上抛体的运动方程

北半球斜上抛体的运动方程 教学 研究 北半球斜上抛体的运动方程 1 1 2 1 崔宝欣,王本军,郝宪孝,张燕伟 ( )烟台师范学院 ,11 物理与电子工程学院 ,21 交通学院 ;山东 烟台 264025 摘要 :给出了同时考虑地球自转和空气阻力两种影响并当空气阻力与抛体速度的一次方成正比时北半球斜 上抛体运动方程的精确解. 关键词 :地球自转 ;空气阻力 ;抛体 ;运动方程 () 文章编号 :100424930 20050320200203 中图分类号 :O311 文献标识码 :A 空气阻力和地球自转对抛体的运动皆会产生影响. 在现行的教科书中 ,空气阻力和地球自转对抛体 的影响总是分别考虑的 ,而且大多只阐述空气阻力的影响. 已有的研究文章对只考虑地球自转时自由落 体的运动问题讨论较多 ,对于抛体的讨论则比较少见. 本文讨论了同时考虑两种影响 ,并设空气阻力与 抛体速度的一次方成正比时 ,北半球斜上抛体运动方程的精确解. 1 运动方程 ( ) λα设一物体在北半球纬度为 的地方 , 以仰角 , 初速度 v 自地面向东被抛出 图 1, 运动中受到的 0 ( ) 空气阻力为 f = - m kv k 为常数. 选取固联在地面上的坐标系 o2x y z , 坐标原点在地面 , x 轴切于经线 向南 , y 轴切于纬线向东 , z 轴沿地球径向 ,则质点的运动微分方程为 ωλ ?x = 2y sin- k x , ω( λ λ) ( )y ? = - 2 x sin+ z co s- ky , 1 ωλ z ? = - g + 2y co s- kz . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )代入初始条件 t = 0 时 , x 0= y 0= z 0= 0 , x 0= 0 , y 0= () αα v co s, z = v co s, 对 1式积分一次得0 0 ωλ x = 2y sin- k x , ω( λ λ) α ky + v co s,y = - 2x sin+ z co s- ( )0 2 ωλ α k z + v co s. z = - gt + 2y co s-0 图 1 () 方程组 2为一阶常系数非齐次微分方程组 ,其通解为 λωλω 1 x sinsin 2t- sinco s 2t - kt - kt - kt ωωy ( )Ce + Ce co s 2t + Ce sin 2t = 0 . 3 123 λλωλωz - tanco ssin 2t- co sco s 2t () 根据拉格朗日常数变易法 ,与非齐次方程组 2相对应的特解为 3 x λωλω 1 sinsin 2t- sinco s 2t - kt - kt- kt3 ( ( ( )) ) ω+ Ce ω. = Ct e 0 + Ct e 4 co s 2t sin 2t y 31 2 3 λλωλω - tanco ssin 2t- co sco s 2tz () () 将 4式代入 2式得 收稿日期 :2005202228 ( ) ( ) 作者简介 :崔宝欣 1948 —,女 ,大学 ,教授 ,主要从事理论物理教学与技术物理应用研究 , Tel6672926 . α v si n λ g sin 2 0 kt ( ) t λ C= t - sin 2e , 1 2 2 kt ( )( λωαωαλω) Ct = - gt co ssin 2t + v co sco s 2t + v sinco ssin 2t e , 2 0 0 kt ( )( λωαωαλω) Ct = gt co ssin 2t + v co ssin 2t - v sinco sco s 2t e . 3 0 0 积分上式得 α v si n 1 0 t kt kt ( )λλt Cg sin 2e - sin 2e , = - 1 2 k 2 k 2 k 2 kt (ω ωω) t + k co s 2t 2 sin 2 ekt ( ( ωω) λα )Ct = - B sin 2t + D co s 2t g co se + v co s+ 2 0 2 2ω4+ k kt (ω ωω)k sin 2 t + 2 et co s 2t αλ v sinco s, 0 2 2ω4+ k kt (ω ωω)ek sin 2 t - 2 co s 2t kt ( ) ( ωω) λα Ct = B co s 2t + D sin 2t g co se + v co s- 3 0 2 2ω4+ k kt ω)ω(ω e2 sin 2 t + k co s 2t αλ v sinco s. 0 2 2ω4+ k 3 2 2 2 2 3 ωω ω ωω 4k 4k t + 4 - k k t + 2k t + 8k t - ( )式中 B . 从而得与非齐次方程组 2= , D= 2 2 22 2 2( ω) ( ω) 4+ k 4+ k 的特解为 2 ααλωαλkvsinsin2vcossin vsin t 1 1 0 0 0 22 2 λλλg sin s - B g sin++in - - 2 2 2 2 2 k 2 k 2 2 k ω(ω) + k + k242 43 x α ωαλ kvcos 2vsincos 0 0 3 λ Dg cos+ -y = . 2 22 2ωω4+ k 4+ k 3 z 2 αλαkvsincos ωαλ vsin 2vcoscos 0 1 t 0 0 2 2 2 λ λ λ g sin +sin - B g cos +- + 2 22 22 k k ω4+ k ω4+ kk ( ) ( ) ( ) 利用初始条件 t = 0 时 , x 0= y 0= z 0确定系数 C, C, C. 1 2 3 α v si n g 0 λ λC = sin 2+sin 2,122 k 2 k ωαλα 2v si nco s k v co s ω 4 0 0 kλ C= g co s+- , 22 22 2 2 2ω( ω)ω4+ k 4+ k 4+ k 2 2 ααλω k v si nco s 2v co sω 4 0 0 k - λ = + . Cg co s+ 32 2 22 22 2( ω) ωω4+ k 4+ k 4+ k 从而得斜上抛体的运动方程为 1 x α v sing 0 - kt λ λ sin 2+ sin 2e = + y 0 2 k 2 k 2λ z - t g λω sinsin 2t ωαλα 2v si nco sk v co sω 4k 0 0 - kt λ ωe co s 2t + - g co s+2 2 22 22 2( ω) ωω4+ k 4+ k 4+ k λω co ssin 2t λω - sinco s 2t2 2ωααλ 2v co s k v sinco s ωk - 4 0 0 - kt λ ωg co s+e sin 2t + + 2 2 22 22 2( ω) ωω4+ k 4+ k 4+ k λω - co sco s 2t ()202 第 21 卷 烟台师范学院学报 自然科学版 αωαλαλ v si n 2v co ssi nk v sinsin 2 t 1 0 1 0 0 λ λ λ g sin 2 - sin 2 - B g sin 2 +- + 2 2 2 2 2 2 k 2 k2 k ( ω)ω2 4+ k 4+ k 2 αωαλ k v co s 2v si nco s 0 0 λ )( D g co s+ . 9 - 2 22 2ωω4+ k 4+ k 2 ααλωαλ v si n v si nco s 2v co sco s k 0 0 1 t 0 2 2 2 λ λ λ -g sin +sin - B g co s ++ 2 22 22 k k ωω4+ k 4+ kk 讨论2 () ) ω 1当 ?0 时 , 即只考虑空气阻力 ,式 9变为 0 , = x α v co s 0 - kt ( ) , y = 1 - e ( )k 10 αv sin g 0 gt - kt ( )z = + 1 - - .e 2 k k k 与文献 1 的结论相同. - kt ) () 2当 k ?0 时 , 即只考虑地球自转 , 将 e 泰勒展开并略去 k 的一次方及一次方以上的项式 9变 为 αλαλαλvcossin vsinsin 2vsinsin 2λ λ g sin 2 g sin 20 0 0 2 22 (ω) (ωω)sin t+= t-sin t+ sin 2t ,x t - 2ωω 4 2 4ω4 αλαvsincos vcos λ λ g cos 0 g cos0 2 (ωωω))(11 y = - sin t+ t + sin 2t -sin 2t ,2ωωω 22ω4 2 2 αα vcos vsin λg cos 0 0 gt 22222(ω) λ(ω) λωλ αλ sin t+ cossin t+ cos 2t . z = - sin + vt sinsin - 0 2ωω 2 2ω2 2(ω) ωω 将 sin t 、sin 2t 进行泰勒级数展开并根据近似保留的一次项 、二次项 、三次项 ,可得文献 4 的各级近似解 ,并可用文献 4 的讨论下落过程中的偏离. 参考文献 : 周衍柏 . 理论力学教程 M . 北京 :高等教育出版社 ,1985 ,33 —35 ,253 —257 . 1 () 周永平 . 北半球自由落体南偏的一种精确解法 J . 大学物理 ,1994 ,13 6:1 . 2 郭士 . 理论力学 M . 北京 :人民教育出版社 ,1983 . 199 . 3 () () 崔宝欣 ,等 . 用逐次逼近法求解北半球斜上抛体问题 J . 烟台师范学院 自然科学版,2005 ,21 1:42 —43 . 4 The Kinemat ical Equat ion of a Obl igue Project ile in the Northern Hemisphere 1 2 1 1CU I Bao2xin, HAO Xian2xiao,WAN G Ben2jun, ZHAN G Yan2wei ( )11School of Physics and Elect ro nic Engineering ,21School of Traffic ; Yantai No r mal U niversit y ; Yantai 264025 ,China Abstract : The eart h rotatio n and t he air drag fo rce are bot h influencing to t he kinematics of a p rojectile . This paper gives t he kinematical equatio n and t he exp ressio n of a p rojectile w hen t he air drag fo rce is p ro2 po rtio nal to t he p rojectile′s velocit y. Key words :rotatio n of t he eart h ; air drag fo rce ; o bligue p rojectile ; kinematical equatio n ()责任编辑 迟玉华