行程问题(1)变速问题

2009年 12月 15日数学培优房间上课内容六年级奥数 行程问专题（1） 变速问题 【例题 1】小红上学，每分钟行 60米，需要 30分钟，如果速度提高 1/5，可以提前 几分钟？ 【思路一】可以从如下方面进行来分析： 1.先算出路程。60×30＝1800米。2.再算后来的速度。60×1/5＋60＝72米/分。 3.接着算后来需要的时间。1800÷72＝25 分。4.最后算提前的时间。30－25＝5分钟。 【思路二】利用工程问题思想分析： 设原来每分钟行 1份的路程，后来每分钟行 1＋1/5＝1.2份的路程，原来 30分钟就 行 30份，提高速度后只需要 30÷（1＋1/5）＝25分。则提前 30－25＝5分钟。 【练习 1】小明乘车去公园，每小时行 45千米，需要 3.6小时，如果速度提高 1/3， 可以提前多少小时到达？ 【解答】3.6－3.6÷（1＋1/3）＝0.9小时 【例题 2】甲从A地去 B地，每小时行 15千米。返回时速度提高 1/5，结果少用 3 小时。请问 A、B两地的距离是多少千米？ 【思路一】盈亏问题思想 返回每小时多行 15×1/5＝3千米，返回每小时行 15＋3＝18千米，如果继续行 3小 时，可以多行 3×18＝54千米，说明去的时间是 54÷3＝18小时。 因此两地之间的距离是 15×18＝270千米。 【思路二】工程问题思想 去的时间看作单位 1，返回的时间是 1÷（1＋1/5）＝5/6，3小时就相当于 1－5/6＝1/6， 则去用的时间是 3÷1/6＝18小时。两地之间的距离是 15×18＝270千米。 【思路三】设数的思想 返回每小时行 15×（1＋1/5）＝18千米，往返 1千米少用 1/15－1/18＝1/90 小时， 现在少用 3小时，需要往返 3÷1/90＝270千米。 【练习 2】小芳放学回家，每分钟行 75米。原路去上学，每分钟比原来慢 1/5，结果 多用 2分钟。小芳家到学校有多少米？ 【解答】上学的速度 75×（1－1/5）＝60米/分，小芳家到学校有 2÷（1/60－1/75） ＝600米。 【例题 3】王师傅用 3.2小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时 25千米，返 回时减速 2/5，求他家到工厂相距多少千米？ 【解答】返回的速度是 25×（1－2/5）＝15千米/时，往返 1千米需要 1/25＋1/15＝8/75 小时，现在用 3.2小时可以往返 3.2÷8/75＝30千米。 【练习 3】老李早上 8：00从甲地出发去乙地，每小时行 12千米，在乙地办事用去1.5 小时，为了赶在 12：00回家吃午饭，他把速度提高了 1/2，请问甲乙两地相距多少 千米？ 【解答】返回速度是 12×（1＋1/2）＝18千米/时，共用去 4－1.5＝2.5小时，则甲 乙两地之间的距离是 2.5÷（1/12＋1/18）＝18千米。 【例题 4】甲乙两地相距 60千米，一辆汽车先用每小时 12 千米的速度行了一段路， 然后速度提高 1/4继续行驶，共用 4.4小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？ 【思路一】假设法思想。 假设全程都以 12×（1＋1/4）＝15千米/时的速度行驶，则能多行 15×4.4－60＝6千 米，前面一段路每小时少行 12×1/4＝3千米，说明前面一段路行了 6÷3＝2小时， 即出发后 2小时提速。 【思路二】工程问题思想。 原速行驶行完全程需要 60÷12＝5小时，提速后提前了 5－4.4＝0.6小时，后面一段 路的时间比原来少了 1－1÷（1＋1/4）＝1/5，原来行后面一段路的时间是 0.6÷1/5 ＝3小时，那么前一段路就是 5－3＝2小时，即出发后 2小时提速的。 【练习 4】一辆汽车从A地到 B地计划用 6小时，以原速行一段路后汽车出现故障 减速行驶，后来的速度比原来减少了 2/5，结果比计划多用 1小时到达。请问出发后 几小时减速的。 【解答】减速这段路实际用了 1÷2/5＝2.5小时，出发后 6＋1－2.5＝4.5小时开始减 速。 【例题 5】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20%，则可提前到达；如果以 原来速度行驶 100千米后，再将速度提高 30%，恰巧也可以提前同样的时间到达。 甲、乙两地相距多少千米？ 【思路一】假设提前的时间是 1份，原定时间是 1÷20％＋1＝6份，行 100千米后 提速30％，如果原速行需要 1÷30％＋1＝13/3份的时间，占总时间的 13/3÷6＝13/18， 说明 100千米占总路程的 1－13/18＝5/18，两地相距 100÷5/18＝360千米。 【思路二】如果 100千米也提速 30％来行，用和提速 20％相同的时间，可以多行 100 ×30％＝30千米。两次的路程比就是（1＋30％ ）：（ 1＋20％）＝13：12，那么全程 就是 30÷（13－12）×12＝360千米。 【练习 5】一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少 10%，那么要比原定时间迟 1小 时到达，如果以原速行驶 180千米，再把车速提高 20%，那么可比原定时间早 1小 时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 【解答】构造均提前 1小时的速度比和路程比相等的关系。 如果速度为原来的（1－10％）÷（1－10％×2）＝9/8，就会提前 1小时。 如果速度为原来的 1＋20％＝6/5，也提前 1小时能多行 180×20％＝36千米。 所以甲乙两地之间的距离是 36÷（6/5÷9/8－1）＝540千米。