问
: 某植物园中一种植物的基因型为AA,AB和BB.现
采用AB型植物与每种基因型植物相结合的
培育植物后代,试预测,若干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布情况.
问题分析:
按问题分析,后代从上一代亲体中继承基因A或B是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如下表:
下一代基因型(n代)
上一代父-母基因型(n-1代)
AB-AA
AB-AB
AB-BB
AA
1/2
1/4
0
AB
1/2
1/2
1/2
BB
0
1/4
1/2
(2)以
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ,
和
分别表示第n代植物中基因型为AA,AB和BB的植物总数的百分率,表示第n代植物的基因分布,即有:
当n=0时,则表示植物基因型的初始分布,
显然有: (2)
模型建立:
首先考虑第n代中的AA型,按上表所给数据,第n代AA型所占百分率为:
即第n-1代的AB与AA型结合有1/2进入第n代的AA型,第n-1代的AB型与AB型结合只有1/4进入第n代AA型,第n-1代的AB型与BB型结合没有一个成为AA型而进入第n代AA型;
故有:
同理,第n代的AB型和BB型所占有比率分别为:
将(3),(4),(5)式联立,并用矩阵形式表示,得到
其中:
利用(6)进行递推,便可获得第n代基因型分布的数学模型:
式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布与矩阵M确定.
模型求解:
要的到所求分布,首先得求出,为计算简便,先将M对角化,即求出可逆阵P,使得:
,即:
.
从而计算:
,(n=1,2...)
其中B为对角阵,其对应元素为A的特征值,
为A特征值所对应的特征向量。
应用Matlab软件进行求解,
得出:
所以:
即:
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ,
于是:
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ,
从而知若干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布情况为:
由上式可知,当
时,
,
,
;
即当培育足够多代时,后代基因型为:AB型植物占一半,而AA和BB型植物各占1/4。
相关的matlab程序:
>> A=[1/2,1/4,0;1/2,1/2,1/2;0,1/4,1/2];
>> [P,B]=eig(A)
P =
-0.4082 0.7071 0.4082
-0.8165 -0.0000 -0.8165
-0.4082 -0.7071 0.4082
B =
1.0000 0 0
0 0.5000 0
0 0 -0.0000
>> inv(P)
ans =
-0.6124 -0.6124 -0.6124
0.7071 -0.0000 -0.7071
0.6124 -0.6124 0.6124
>> S=[-1,1,1;-2,0,-2;-1,-1,1];
>> T=inv(S)
T =
-0.2500 -0.2500 -0.2500
0.5000 0 -0.5000
0.2500 -0.2500 0.2500
>> syms n
>> BN=[1,0,0;0,1/2.^n,0;0,0,0];
>> AN=S*BN*T
AN =
[ 1/4+1/2/(2^n), 1/4, 1/4-1/2/(2^n)]
[ 1/2, 1/2, 1/2]
[ 1/4-1/2/(2^n), 1/4, 1/4+1/2/(2^n)]
>>
_1234567897.unknown
_1234567901.unknown
_1234567905.unknown
_1234567907.unknown
_1234567909.unknown
_1234567910.unknown
_1234567908.unknown
_1234567906.unknown
_1234567903.unknown
_1234567904.unknown
_1234567902.unknown
_1234567899.unknown
_1234567900.unknown
_1234567898.unknown
_1234567893.unknown
_1234567895.unknown
_1234567896.unknown
_1234567894.unknown
_1234567891.unknown
_1234567892.unknown
_1234567890.unknown