15周周练

2008年江苏省侯集中学第15周周练数学试卷 2008.12. 数学试题共4页.满分160分.考试时间120分钟 命题：陈小祥 审阅：刘汝稳 班级 姓名 得分 注意事项：www.ks5u.com 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题框范围内作答，在试题卷上其它地方答题无效。 一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 1.已知函数 的定义域为， 的定义域为 ，则 2．函数 的单调递增区间是 3．已知向量 ，若 与 垂直，则 4. 已知 ，则 的最小值是 5.设集合 与集合 是直角坐标平面上 上的点集，则集合 所成图形的面积是 7 6．把直线 绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后所得的直线方程为 . 7. （理）如图，正方体AC1中， 、 分别是 、 的中点，则直线 与 所成的角余弦值是（ ） （文） 的值等于 ．0 8．若数列 满足 （ 为正常数， ），则称 为“等方差数列”． 甲：数列 是等方差数列；乙：数列 是等差数列，则甲是乙的 条件。甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9．在数列{an}中，a1 = ln2，an+1 = an + ln (1+ )，则an = ln n(n+1) 10．无论 为何值，直线 和曲线 都不可能相切，其中 ，则常数 的取值范围为 11.若不等式 对一切 及 都成立，则 的取值范围是 或 或 12．已知函数 ，且 ， 的导函数，函数 的图象如图所示. 则平面区域 所围成的面积是 . 4 13．设 ， 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离 心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为 . 2 14．对于下列四个命题： www.ks5u.com （1）若向量 ，满足 ，则向量 的夹角为钝角； （2）1+ ； （3）已知集合 正四棱柱}， {长方体}，则 ； （4）在平面直角坐标平面内，点 与 在直线 的同侧； （5）规定下式对任意 都成立 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ， 则 ； （6）函数 与函数 的图象有且只有两个交点. 其中真命题是 .（5）（6） 二、解答题：本大题共6个小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）若函数 的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为 的等差数列. （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若点 图象的对称中心，且 ，求点A的坐标. 解析：解：（1） 3分 由于y=m与 的图象相切， 则 ； 5分 （2）因为切点的横坐标依次成公差为 等差数列，所以 16．(本小题满分14分)如图，四棱锥 中， ⊥底面 ， .底面 为直角梯形， .点 在棱 上，且 .(1)求证：平面 平面 ；（2）求证： 平面 . 17.(本小题满分14分) 已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由 解:设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,则 　 消元得方程２x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1＋x2＝－（b+1）,y1+y2= x1＋x2+2b=b-1,则ＡＢ中点为 ，又弦长为 ＝ ，由题意可列式 ＝ 解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1 18．(本小题满分14分) 已知函数f (x)= x3+ ax2－bx (a, b∈R) . ⑴若y=f (x)图象上的点(1，－ )处的切线斜率为－4，求y=f (x)的极大值； ⑵若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值. 解析：(1)∵f ′(x)=x2+2ax－b , ∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)= － , ∴ 解得： …………………………4分 ∴ f (x)= x3－x2－3x。 f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）. 令f ′(x)=0，得x1=－1，x2=3， 由此可知： x (－∞,－1) －1 (－1, 3) 3 (3, +∞) f ’(x) + 0 － 0 + f (x) ↗ f (x)极大5/3 ↘ f (x) 极小 ↗ ∴ 当x=－1时, f (x)取极大值 . …………………………7分 (2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数， ∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立. 根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即： 也即 …………………11分 作出不等式组表示的平面区域如图： 当直线z=a+b经过交点P(－ , 2)时， z=a+b取得最小值z=－ +2= , ∴z=a+b取得最小值为 ……………………14分 19．（本小题满分16分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点．（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 ： （ ）与椭圆 交于 、 两点，证明直线 与直线 的交点在直线 上． （Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为 （ ）， 则 ，又点 在椭圆 上，得 ．解得 ． ∴椭圆 的方程为 ． 当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为 （ ）， 则 ，又点 在椭圆 上，得 ．解得 ，这与 矛盾． 综上可知，椭圆 的方程为 ． ……6分 解法二：设椭圆方程为 （ ）， 将 、 、 代入椭圆 的方程，得 解得 ， ．∴椭圆 的方程为 ． ……6分 （Ⅱ）证法一：将直线 ： 代入椭圆 的方程 并整理，得 ， ……8分 设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……10分 直线 的方程为： ，它与直线 的交点坐标为 ，同理可求得直线 与直线 的交点坐标为 ． ……12分 下面证明 、 两点重合，即证明 、 两点的纵坐标相等： ∵ ， ， ∴ ． 因此结论成立． 综上可知，直线 与直线 的交点在直线 上． ……16分 证法二：将直线 ： ，代入椭圆 的方程 并整理，得 ， ……8分 设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……10分 直线 的方程为： ，即 ． 直线 的方程为： ，即 ． ……12分 由直线 与直线 的方程消去 ，得 ． ∴直线 与直线 的交点在直线 上． ……16分 证法三：将直线 ： ，代入椭圆方程 并整理，得 ， ……8分 设直线 与椭圆 的交点 ， ， 由根与系数的关系，得 ， ． ……10分 消去 得， ． ……12分 直线 的方程为： ，即 ． 直线 的方程为： ，即 ． ……14分 由直线 与直线 的方程消去 得， ． ∴直线 与直线 的交点在直线 上． ……16分 20.（本小题满分16分）设A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数f(x)= +log2 图象上任意两点，且 = ( + ),点M的横坐标为 . ⑴求M点的纵坐标； ⑵若Sn= =f( )+f( )+…+f( ),n∈N*,且n≥2，求Sn; ⑶已知an= EMBED Equation.DSMT4 n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和，若 Tn<λ(Sn+1+1) 对一切n>1且n∈N*都成立，求λ的取值范围. 解:(1) ∵x1+x2=1,∴yM= = = ； 4分 (2) ∵对任意x((0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f( )+f(1- )=1,即f( )+f( )=1 而Sn= =f（ )+f( )+…+f( ), 又Sn= =f( )+f( )+…+f( ) 两式相加得2Sn=n-1,∴Sn= . 10分 (3) n≥2时，an= =4( ),Tn= < ,λ> ,而 ≤ = ，等号成立当且仅当n=2,∴λ> . 16分 � EMBED PBrush ��� 4 2 -2 z=a+b 2a+b-1=0 4a-b+4=0 P(－� EMBED Equation.3 ���, 2) b a o 2 －1 y x O � EMBED PBrush ��� _1266734612.unknown _1289296331.unknown _1289650606.unknown _1289650615.unknown _1289650629.unknown _1289650640.unknown _1289650642.unknown _1289650721.unknown _1290510881.unknown _1289650644.unknown _1289650641.unknown _1289650639.unknown _1289650625.unknown _1289650626.unknown _1289650618.unknown _1289650613.unknown _1289650614.unknown _1289650612.unknown _1289650587.unknown _1289650590.unknown _1289650602.unknown _1289650588.unknown _1289650585.unknown _1289650586.unknown _1289296597.unknown _1289650584.unknown _1289296502.unknown _1289296418.unknown _1267896736.unknown _1273143795.unknown _1281175846.unknown _1284314805.unknown _1285499306.unknown _1287300029.unknown _1289296299.unknown _1287299909.unknown _1287204795.unknown _1284314869.unknown _1284314977.unknown _1284315051.unknown _1284314949.unknown _1284314841.unknown _1281175848.unknown _1284314769.unknown _1281175917.unknown _1281175847.unknown _1280438567.unknown _1280441122.unknown _1280441147.unknown _1280441205.unknown _1281175702.unknown _1280441186.unknown _1280440869.unknown _1280441016.unknown _1280441097.unknown _1280440844.unknown _1273311312.unknown _1280438481.unknown _1273143838.unknown _1273145006.unknown _1273143823.unknown _1273142253.unknown _1273143723.unknown _1273143777.unknown _1273142284.unknown _1267897008.unknown _1273141223.unknown _1267896959.unknown _1267104196.unknown _1267104422.unknown _1267104468.unknown _1267104571.unknown _1267104599.unknown _1267104652.unknown _1267104504.unknown _1267104448.unknown _1267104252.unknown _1267104283.unknown _1267104221.unknown _1267103935.unknown _1267104040.unknown _1267104081.unknown _1267103972.unknown _1267103739.unknown _1267103915.unknown _1267103665.unknown _1237406077.unknown _1255299334.unknown _1259387103.unknown _1261226112.unknown _1266734423.unknown _1266734549.unknown _1262071986.unknown _1266734412.unknown _1262071661.unknown _1259675088.unknown _1259675113.unknown _1259692872.unknown _1261226092.unknown _1259675126.unknown _1259675099.unknown _1259387117.unknown _1259675076.unknown _1255299344.unknown _1255299346.unknown _1255299349.unknown _1259387078.unknown _1255299347.unknown _1255299345.unknown _1255299336.unknown _1255299343.unknown _1255299335.unknown _1242745614.unknown _1255299330.unknown _1255299332.unknown _1255299333.unknown _1255299331.unknown _1242745647.unknown _1255299329.unknown _1242745633.unknown _1237486743.unknown _1242745578.unknown _1242745599.unknown _1237487273.unknown _1240379103.unknown _1237487174.unknown _1237485238.unknown _1237486632.unknown _1237484474.unknown _1231220973.unknown _1234795929.unknown _1234808151.unknown _1234809179.unknown _1234809259.unknown _1237405823.unknown _1234809294.unknown _1234809479.unknown _1234809214.unknown _1234809215.unknown _1234809194.unknown _1234808713.unknown _1234809002.unknown _1234808788.unknown _1234808995.unknown _1234808175.unknown _1234808482.unknown _1234808552.unknown _1234808646.unknown _1234808523.unknown _1234808195.unknown _1234808167.unknown _1234802877.unknown _1234807902.unknown _1234808071.unknown _1234808117.unknown _1234808042.unknown _1234807919.unknown _1234807741.unknown _1234807860.unknown _1234807714.unknown _1234795953.unknown _1234802683.unknown _1234802701.unknown _1234802667.unknown _1234795936.unknown _1231222023.unknown _1231222145.unknown _1234795809.unknown _1234795836.unknown _1234795897.unknown _1231222332.unknown _1231222356.unknown _1231222667.unknown _1231222321.unknown _1231222114.unknown _1231222144.unknown _1231222105.unknown _1231221930.unknown _1231221959.unknown _1231221322.unknown _1231221492.unknown _1231221825.unknown _1231221444.unknown _1231221201.unknown _1223312217.unknown _1231142452.unknown _1231220771.unknown _1231220902.unknown _1230563843.unknown _1230563867.unknown _1230563877.unknown _1230563899.unknown _1230563851.unknown _1230563653.unknown _1230563665.unknown _1223312287.unknown _1223312246.unknown _1223312272.unknown _1223312234.unknown _1223309683.unknown _1223309759.unknown _1223309792.unknown _1223309808.unknown _1223309771.unknown _1223309748.unknown _1144787014.unknown _1198301942.unknown _1222865764.unknown _1222865794.unknown _1206001168.unknown _1144787214.unknown _1192653901.unknown _1144787197.unknown _1144786906.unknown _1144786963.unknown _1144786593.unknown