矩阵位移法

null第6章 矩阵位移法第6章 矩阵位移法§6- 1 概述 §6- 2 单元刚度方程 §6- 3 坐标转换问题 §6- 4 整体分析 §6- 5 元素的速算方法 §6- 6 主程序框图及算例 §6- 7 结论与讨论供选小论文题null1. 概 述结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也 取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。 单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为 单元。编码：黑的结点编号称整体码。 红的1、2局限于单元，称 局部码。坐标：兰的坐标称 整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标 将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需做下面称为离散化的工作null 对于如下所示的结构，离散化时需先做以下的工作null2.单元刚度方程基本原理：在弹性小变形条件下，叠加原理成立。已有知识：转角位移方程、单跨梁形常数和载常数。目的：像位移法一样，通过“一拆、 一合”来解决结构分析。为此，必须 首先掌握单元的特性。null利用叠加原理单元刚度方程平面拉压-(桁架)单元null连续梁单元利用叠加原理单元刚度方程null不考虑轴向变形的平面梁柱单元根据形、载常数，利用叠加原理可得梁柱单元的单元刚度方程为null单元刚度矩阵(应熟记)是转角位移方程的矩阵示单元杆端位移矩阵null单元等效结点荷载矩阵向上满跨均布荷载 q 作用逆时针满跨均布力偶 m 作用根据单跨梁的载常数，可得null计轴向变形的平面自由式梁柱单元单元刚度矩阵可根据叠加原理得到拉压梁柱这一结果对应的杆端位移矩阵如何？单元等效结点荷载可同理叠加得到To 50 叠加也可由拉压、不计轴变组合而成null单元刚度矩阵的性质 根据反力互等定理，单元刚度矩阵一定是对称矩阵。 除连续梁单元刚度矩阵外，其它三种单元刚度矩阵是奇异的。 解释一：从数学上看，因为存在相关的行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不可逆。 解释二：从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。 刚度矩阵元素kij的物理意义为：单元仅发生第个j杆端单位位移时，在第个i杆端位移对应的约束上所需施加的杆端力。null3. 坐标转换问题 在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位移的方程，这是下一节将讨论的内容。 除连续梁外，一般结构单元不全同方位，为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁单元的转换问题。null第三、六两个量不存在转换问题。null如果记结点位移坐标转换矩阵为单元杆端位移坐标转换矩阵为因此null刚度方程的转换力转换刚度方程位移转换如果记整体坐标单元刚度矩阵为则整体坐标单元刚度方程为null连续梁单元需要 进行坐标转换吗？连续梁的局部坐标与整体坐标一致，所以不需要转换。null桁架单元如何 进行坐标转换？第一种做法null第二种做法null局部坐标与整体 坐标成900时，局部单 刚和整体单刚间 有何关系？To 47null4. 整体分析以图示简例来说明 图中有两套编号，红的 是单元杆端编号，黑的是 结构整体编号。4-1) 结点示意null4-2) 结点平衡 由示意图可见，结构结点的平衡方程为null若记则平衡方程为式中(I)、0 分别为单位和零矩阵。null若引入矩阵记号则结点平衡方程可改写作 这一结论虽然是由一个例子得到的，但是显然对一切结构都是成立的。问题在于不同结构，(A) 矩阵是不同的。①②③null4-3) 杆端位移用结点位移来表示仍以上述简单例子来说明若记 由结点、杆端位移的协调条件，可得( )、( ) 的对应关系为 式中 (A)T是前面力关系(A)的转置，因此(A)T称为位移转换矩阵。null4-4) 整体刚度方程——结点平衡若记引入位移转换关系，则null 这就是整体刚度方程，它的物理实质是结点平衡。(K) 称作结构刚度矩阵（或整体刚度矩阵），(P) 称作综合等效结点荷载矩阵，它由两部分组成: Pd 直接结点荷载矩阵 由结点荷载组成 PE 等效结点荷载矩阵 由单元荷载组成null③②①4-5) 整体刚度矩阵的建立 若将(A)按单元分成图示三个子矩阵 则null 由此可见，整体刚度矩阵可由各单元整体刚度矩阵装配累加得到。为说明如何装配，先将单元刚度矩阵进行分割 则由矩阵乘法可，(A)I(k)I(A)iT的结果是，将刚度矩阵子矩阵按整体结点码 r 、s 送整体刚度矩阵相应位置。这一装配规则称为“对号入座”。nullnull4-6) 任意结构情况 上面结论是通过具体例子（全刚结点平面刚架）得到的，由理论分析可证明，任意结构其结论同此例。1) 结点位移编号 如果按结点顺序，对结点非零位移进行依次编号，这一序号称作结点位移码。为便于计算机处理并减少结构刚度矩阵的阶次，将零位移的号码变为零。 对图示三铰刚架，当仅 用一种单元（梁柱自由是 单元）时结点位移编号如 图所示。2) 单元定位向量 按单元局部结点码顺序，将结点位移码排成的向量，称作单元的定位向量。null 对图示刚架各单元的定位向量为① (0,0,1,3,4,5)② (0,0,2,10,11,12)③ (3,4,5,6,7,8)④ (6,7,9,10,11,12) 如果如图所示采用各种不同的单元（一端有铰），则定位向量为① (0,0,1,2,3)② (0,0,,6,7,8)③ (1,2,3,4,5)④ (4,5,6,7,8)如何获得 带铰的单元刚 度矩阵和等 效荷载矩阵null一端带铰的单元如下图所示 其单元刚度矩阵和等效结点荷载矩阵可有两种方法获得： 直接用形、载常数叠加来的到； 由自由式单元刚度方程，以铰结端弯矩为零为约束条件，从这个方程解出铰结端的转角位移（用其它位移表示），代回其它刚度方程，整理后即可得到。这类单元的单元 刚度矩阵可在 (Ⅱ) P. 40找到null定位向量1) 刚度集装(以 ④ 单元为例)定位向量4-7) 按单元定位向量集装刚度矩阵和综合荷载 前面说明的是分块子矩阵集装,下面说明如何按定位向量来集装. 根据单元局部位移码和定位向量的对应关系，用定位向量位移码送元素。null总 荷111213141522232425333444354555对称第④单元集装后的“总刚”小结null2) 荷载集装 以 ② 单元为例来说明此结论同样适 用于刚度集装根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时不送。null整体分析小结1) 对局部坐标和整体坐标不一致的单元，要对刚 度、荷载进行坐标转换。2) 需对“结构”进行结点、位移的局部和整体编 号。4) 整体刚度矩阵是对称、带状稀疏矩阵，支撑条 件能限制刚体位移时，矩阵非奇异。3) 根据单元局部位移码和定位向量的对应关系用 定位向量位移码送元素，定位向量元素为零时 不送。据此可集装、累加得到整体刚度矩阵。null 5) 综合荷载由两部分组成，因此首先要将直接作 用结点的荷载按结点位移码送入，如果还有单 元等效荷载，再按定位向量集装、累加。★8) 如果有某位移码方向弹性支撑，需进行将弹簧 刚度送入位移码对应的对角线元素位置累加。★9) 如果有某位移码方向已知支撑位移，需进行将 “边界条件处理”。具体做法以后介绍。7) 整体刚度方程实质是全部结点的平衡条件。6) 刚度矩阵带状稀疏，其带宽取决于结点、位移 编码。 最大半带宽=定位向量中最大元素差+1。整体分析小结null4-8） 边界条件的处理1) 乘大数法2) 置换法(划零置1) 设第 i 个位移为已知值 a 。设第 i 个位移为已知值 a ，N =108 或更大的数。乘大数法是将刚度矩阵Kii改为 NKii，将Pi改为 Na。 当按子矩阵(后处理法)集装形成整体刚度方程时，整体刚度矩阵是奇异的。此外，当需分析的结构有已知支座位移时，上述两情况均需进行边界条件处理。请考虑为什麽这样做能 使边界条件得到满足？null刚度方程为：上述置换工作量大一些，显然可看出边界条件得到精确满足。null★ 3) 关于斜边界的处理 如图示意的斜支座情况，有多种处理。3-1) 通过单元的坐标转换来处理3-2) 通过增加一个单元来处理3-3) 对整体刚度矩阵进行处理(参见有关教材) 图示有斜支座单元，r 结点处以倾角 -  来进行坐标转换，也即在r 结点处整体坐标为图示 xy 。图示有斜支座单元，r 结点处沿 y 方向增加一个刚结的单元，此单元有“无穷大”的抗拉刚度、但没有抗弯刚度。单元长度可任意。null5. 刚度与荷载元素的速算方法目的：为调试程序准备测试数据。元素Kij的物理意义：仅j位移码处单位位移，i位移码处所需施加的力。举例 试求图示结构的整体刚度矩阵元素K11。根据元素物理意义，求K11的计算简图如有所示。因为仅j位移码处单位位移，故可改为5-1）“总刚”元素null根据形常数，取隔离体如图，由此可得根据元素物理意义，由图示计算简图还可求得结论：根据整体刚度矩阵元素的物理意义，在熟记形常数的前提下，取相关部分为对象，即可方便地求得刚度元素。null求K22、 K23、 K25、 K26应取什么样的 隔离体做计算简图？求K33、 K35、 K36应取什么样的 隔离体做计算简图？null5-2）“总荷”元素 综合结点荷载包含两部分：直接结点荷载和单元荷载等效的结点荷载。 因为在固端力正向和杆端力正向规定相同时，有 所以如图所示，将实际的固端力反向等效作用于结点，由集装规则可得null 试求图示结构在所示编码下的综合结点荷载矩阵null5-3）任一截面的内力计算 在求解整体刚度方程，获得结构位移矩阵后，根据定位向量，可得到各单元的杆端位移矩阵，由单元刚度方程可得到单元杆端力。 需注意：如图所示，单元杆端力和前几章单元杆端内力的正向规定是不同的。 求得单元杆端力后，如图取隔离体，由平衡条件可得nullnullnull供 选 小 论 文 题 试参考随书光盘所给的平面与 空间桁架计算程序（F90） 自行编制空间刚架静力计算程序返 首null单元杆端位移示意图示量均是正的null单元杆端力示意图示量均是正的null单一位移时的单元杆端力null单一位移时的单元杆端力null单一位移时的单元杆端力null单一位移时的单元杆端力null有单元荷载时的固端力图示量均是正的当单元既有杆端位移，又有单元荷载时，根据叠加原理可得null称为局部坐标单元杆端力矩阵。式中称为局部坐标单元固端力矩阵。 但必须注意：这里固端力正方向规定和前面所定义的固端内力正向规定不全相同。null式中将杆端位移和杆端力联系起来的矩阵，称为局部坐标单元刚度矩阵，记为(k)e。该方程称为局部坐标单元刚度方程，他是单元分析的结果。局部坐标单元杆端位移矩阵。局部坐标单元刚度方程也可如下改写称单元等效结点荷载矩阵null单元刚度矩阵具体形式和元素为null当为桁架单元时单元刚度方程改为null当单元有零位移约束时单元刚度方程仍为但是单元刚度据阵中应该划去零位移约束所对应的行和列。 位移和力的矩阵中只包含未知位移及对应的项。null如不考虑轴向变形的单元由6×6刚度矩阵划去1、4行和列后可得null局部坐标与整体 坐标成900时，局部单 刚和整体单刚间 有何关系？6.1 主程序框图6.1 主程序框图开始变量和数据说明部分读入输入和数出文件名打开输入和数出文件调用数据输入子程序调用坐标等数据输入子程序调用直线上坐标插入子程序调用结点荷载生成子程序调用单元信息输入子程序调用形成刚度子程序调用形成荷载子程序调用约束处理子程序调用方程求解子程序调用位移输出子程序调用杆端力计算和输出子程序调用矩阵乘法子程序调用单元刚度生成子程序调用坐标转换子程序调用固端内力生成子程序结束6. 2 光盘程序的使用方法6. 2 光盘程序的使用方法哈尔滨工业大学 王焕定帮 助null静力分析程序所包含的单元类型null静力分析程序不同单元类型杆端位移数null静力分析程序所包含的单元荷载类型平面杆件单元 null静力分析程序所包含的单元荷载类型空间杆件单元 null静力分析程序数据化说明 进行桁架、刚架和组合结构计算时要首先说明如下几点 零约束类数——无位移的支座类型相同，同类支座结点的号码之差相等时归为一类。 控制结点——用于生成其它结点的直线两端结点，称为控制结点。 生成结点类数——当结点位于同一直线、结点的位移数相同且相邻结点的点号差相同时，只要已知两端结点坐标，即可用线性插值生成两点间的各点坐标，故归为一类。null静力分析程序数据化说明 相等位移类数——当一些结点某位移码的位移相同时，这些结点的位移归为一类（结点数应小于等于100）。 非零位移数——有非零支座位移分量的总数。 非结点最大荷载个数——程序能算多种荷载工作情况，此时每工作情况单元荷载数可能是不同的，这里只个情况中最多的数目。 弹性支座数——有弹性支座约束的位移码的总数。null静力分析程序数据化举例(之一)试用光盘静力分析程序计算图示结构。已知：E、A、I=0.03A,各楼层均布荷载集度为q=30 kN/m。屋盖的q=20 kN/m。计轴变。单元数66，结点数42零约束 1，控制结点14生成类 8，相等位移 0显示结果根据图示编码等可得:非零位移 0，弹性支座 0，非结点荷载数 28null静力分析程序数据化举例(之二)试用光盘静力分析程序计算图示结构。已知：E、A、I=0.03A,各楼层均布荷载集度为q=30 kN/m。屋盖的q=20 kN/m。不计轴变。单元数66，结点数42零约束 1，控制结点14生成类 8，相等位移 14显示结果控制参数仅相等位移变非零位移 0，弹性支座 0，非结点荷载数 28null为用程序计算，设q=10 kN/m，l=4 m。 E、A、I=0.03A 。静 力 分 析计算简图离散化如图所示。静力分析程序数据化举例(之三)试用光盘静力分析程序计算图示结构。null为用程序计算，设q=10 kN/m，l=4 m。 E、A、I=0.03A 。计算简图离散化如图所示。静力分析程序数据化举例(之四)试用光盘静力分析程序计算图示结构。静 力 分 析