圆锥曲线定点定值问题

18.设平面直角坐标系 中，设二次数 的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。 （1）​ 求实数 的取值范围； （1）​ 求圆 的方程； （1）​ 问圆 是否经过某定点（其坐标与 无关）？请证明你的结论。 【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。 （1） （1）​ 设所求圆的方程为 。 令 得 又 时 ，从而 。 所以圆的方程为 。 （3） 整理为 ，过曲线 与 的交点，即过定点 与 。 （2009江苏卷）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 . （1）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线 的方程为： ，即 由垂径定理，得：圆心 到直线 的距离 ， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线 的方程为： 或 ，即 或 (2) 设点P坐标为 ，直线 、 的方程分别为：21世纪教育网 ，即： 因为直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心 到直线 与 直线 的距离相等。 故有： ， 化简得： 关于 的方程有无穷多解，有： 21世纪教育网 解之得：点P坐标为 或 。 18、（本小题满分16分） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（ ）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M 、 ，其中m>0, 。 （1）设动点P满足 ,求点P的轨迹； （2）设 ，求点T的坐标； （3）设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。 （1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由 ，得 化简得 。 故所求点P的轨迹为直线 。 （2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ） 直线MTA方程为： ，即 ， 直线NTB 方程为： ，即 。 联立方程组，解得： ， 所以点T的坐标为 。 （3）点T的坐标为 直线MTA方程为： ，即 ， 直线NTB 方程为： ，即 。 分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， 解得： 、 。 （一）当 时，直线MN方程为： 令 ，解得： 。此时必过点D（1，0）； 当 时，直线MN方程为： ，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。 （方法二）若 ，则由 及 ，得 ， 此时直线MN的方程为 ，过点D（1，0）。 若 ，则 ，直线MD的斜率 ， 直线ND的斜率 ，得 ，所以直线MN过D点。 因此，直线MN必过 轴上的点（1，0）。 8、设圆C1： ，动圆C2： ， （1）求证：圆C1、圆C2相交于两个定点； （2）设点P是椭圆 上的点，过点P作圆C1的一条切线，切点为T1，过点P作圆C2的一条切线，切点为T2，问：是否存在点P，使无穷多个圆C2，满足PT1＝PT2？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由． 解（1）将方程 化为 ，令 得 或 ，所以圆 过定点 和 ，……………4分 将 代入 ，左边＝ 右边 故点 在圆 上，同理可得点 也在圆 上， 所以圆 、圆 相交于两个定点 和 ；……………6分 （2）设 ，则 ，………………………8分 ， ………………………………10分 即 ，整理得 （*）…………………………………………………………12分 存在无穷多个圆 ，满足 的充要条件为 有解，解此方程组得 ，……………………………………………………………14分 故存在点P，使无穷多个圆 ，满足 ，点P的坐标 ．……16分 （上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）（本题满分16分 ，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分） 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴两个端点为 ，且四边形 是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程； （2）若 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于 点 。证明： 为定值；[来源:学|科|网] （3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 22、解：（1） ， ， 椭圆方程为 。 …………………………………………………………4分 （2） ，设 ，则 。 直线 ： ，即 ，……………………………6分 代入椭圆 得 。……………………………………………8分 ， 。 ，………………………………………………10 分 （定值）。 …………………………………………………………12分 （3）设存在 满足条件，则 。 ， ，…………………………14分 则由 得 ，从而得 。 存在 满足条件。………………………… 2.已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 . （Ⅰ）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的斜率； （Ⅱ）设 为抛物线上两点，且 不与 轴重合，若线段 的垂直平分线恰过点 ，求证：线段 中点的横坐标为定值. 解：（Ⅰ）由已知， 不合题意.设直线 的方程为 ， 由已知，抛物线 的焦点坐标为 ， …………………1分 因为点 到直线 的距离为 ，所以 ， …………………3分 解得 ，所以直线 的斜率为 . …………………5分 （Ⅱ）设线段 中点的坐标为 ， ， 因为 不垂直于 轴， 则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， …………………7分 直线 的方程为 ， …………………8分 联立方程 消去 得 ， …………………10分 所以 ， …………………11分 因为 为 中点，所以 ，即 ， …………………13分 所以 .即线段 中点的横坐标为定值 . …………………14分 18、（本题满分16分） 在平面直角坐标系xoy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线低斜率之积为 。 （1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为 。 （Ⅰ）求圆M的方程； （Ⅱ）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如 果不存在，说明理由。 18．（16分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 ，设椭圆的右准线 与 轴的交点为 ，椭圆的上顶点为 ，直线 被以原点为圆心的圆 所截得的弦长为 ． ⑴求椭圆 的方程及圆 的方程； ⑵若 是准线 上纵坐标为 的点，求证：存在一个异于 的点 ，对于圆 上任意一点 ，有 为定值；且当 在直线 上运动时，点 在一个定圆上． 18．⑴椭圆方程： 圆的方程： ⑵定值为： ， 在圆心 ，半径为 的定圆上 过定点P作斜率为k,-k的直线，求证kAB为定值。 1.​ 已知椭圆3x2 + y2 = 6 中有一内接△PAB ，过OP的直线与x轴正向成60○角，且直线PA 、PB的斜率之和k1 + K2 = 0   （1） 求证：直线AB的斜率为定值 （2） 求△PAB面积的最大值 解：设 ， ，直线AB的方程为 ，将其代入椭圆方程并消去 得 ，所以 ， 直线OP的方程为 ，将其代入椭圆方程，解得 ， 因为 ，所以 ，所以 所以 所以 ， 所以 整理得 ，即 所以 或 。 当 时，直线AB的方程为 ，即 ，所以当 ， 时，不论 为何值方程均成立，所以直线过定点 ，即过定点 ，这与实际不符， 所以 ，即直线AB的斜率为正值。 （2） ， ，点P到直线AB 的距离为 线段 所以， 过定点P作斜率为k, 的直线，求证直线AB过定点。 20．（本小题满分16分) 椭圆 的焦点在 轴上,中心是坐标原点 ,且与椭圆 的离心率相同,长轴长是 长轴长的一半. 为 上一点, 交 于 点, 关于 轴的对称点为 点, 过 作 的两条互相垂直的动弦 ,分别交 于 两点,如图. （1）求椭圆 的标准方程; （2）求 点坐标; （3）求证: 三点共线. 20．解：（1）由椭圆 标准方程可得：长轴长是 ，离心率是 .……2分 ∴椭圆 ,……3分 椭圆 的标准方程： .……4分 （2）设 , 第一象限点 ,∴ .……6分 （3）当 ∥ 轴， 轴时， . , 三点共线. ……7分 当直线 存在斜率时，可设 , 由 .……9分 得 ……10分 ,……11分 ，……12分 同理,以 替换上式中的 ，得 ，……14分 .……15分 故 ，即 三点共线 . 综上： 三点共线. ……16分 求证： 为定值 ．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为2，且过点 . （1）​ 求椭圆 的方程； （2）​ 若点 ， 分别是椭圆 的左、右顶点，直线 经过点 且垂直于 轴，点 是椭圆上异于 ， 的任意一点，直线 交 于点 （ⅰ）设直线 的斜率为 直线 的斜率为 ，求证： 为定值； （ⅱ）设过点 垂直于 的直线为 .求证：直线 过定点，并求出定点的坐标. 19．（本小题满分12分） 如图，曲线 的方程为 ．以原点为圆心．以 为半径的圆分别与曲线 和 轴的正半轴相交于点 与点 ．直线 与 轴相交于点 ． （Ⅰ）求点 的横坐标 与点 的横坐标 的关系式 （Ⅱ）设曲线 上点 的横坐标为 ， 求证：直线 的斜率为定值． 19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分． 解：（Ⅰ）由题意知， ． 因为 ，所以 ． 由于 ，故有 ．　（1） 由点 的坐标知， 直线 的方程为 ． 又因点 在直线 上，故有 ， 将（1）代入上式，得 ， 解得 ． （Ⅱ）因为 ，所以直线 的斜率为 ． 所以直线 的斜率为定值． 22。设椭圆 过点 ，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在某定直线上 解 (1)由题意： ，解得 ，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为 。 由题设知 均不为零，记 ,则 且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ， （1） ， （2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点 总在定直线 上 方法二 设点 ，由题设， 均不为零。 且 又 四点共线，可设 ,于是 （1） （2） 由于 在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点 总在定直线 上 （20）（本小题满分12分） 已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（-1，0），（1，0）。 （1）​ 求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）​ E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （20）解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，解得 ， （舍去） 所以椭圆方程为 。 ……………4分 （Ⅱ）设直线AE方程为： ，代入 得 设 , ,因为点 在椭圆上，所以 ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为 。 ……12分