切线问题

切线问题 切线问题 编辑：张亚萍 ㈠ 知切点，求切线 例1：(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x []　A [解析]　y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3， ∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1. 例2：设函数 ，则 在 处的切线斜率为 （A）0 （B）-1 （C）3 （D）-6 【答案】D 【解析】 在x=0处的切线斜率为 （二） 知斜率，求切线。 例：与直线 2x－y＋4 ＝0 的平行的抛物线y＝x2的切线方程是 【答案】 2x－y－1=0 【解析】：设P（x，y）为切点，则切点的斜率为y′=2x=2，∴x=1． 由此得到切点(1，1)，．故切线方程为y－1=2（x－1），即2x－y－1=0． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为y=2x+b，代入y=x2，得x2−2x−b=0，又因为∆=0，得b=−1.故切线方程为2x－y－1=0 （三） 过曲线上一点，求切线 过曲线上一点求切线，该点未必是切点。故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例 求过曲线y＝x3−2x上的点(1，－1)的切线方程． 解：设想P（x0，y0）为切点，则切线的斜率为y′=3x02−2． ∴切线方程为y－y0=（3x02−2）（x−x0）。 即y－（x03−2x0）＝（3x02−2）（x−x0）。 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得x0=1，或x0=− . 故所求切线方程为x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0 （四）过曲线外一点，求切线 待定切点法求解。 例：求过点A(2，0)，且与曲线y＝ 相切的直线方程。 解; ：设P（x0，y0）为切点，则切线的斜率为y′＝－ ∴切线方程为：y－y ＝－ （x−x0） ,即y－ ＝－ （x−x0），又已知切线过点A(2，0)，把它代入上述方程，得x0＝1，y0＝1.即x＋y－2＝0. 注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点． （五）不同曲线的相同切线问题。 例：已知函数f ＝ ，g（x）＝alnx，a R。若曲线y＝f（x）与曲线y＝g (x) 相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程。 解：设交点P（x0，y0），则f′ ＝g′（x ）.即 ＝ .则a＝ . 又有f（x ）＝g（x ）. lnx ＝ .则x ＝e 则切线为y－e＝ （x－e ） 注：公共点处切线相同等价于. f′（x ）＝g′（x ） f（x ）＝g（x ） （六）综合类问题。 例1; 已知函数f（x）=x3﹣3x. 若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围、 【解析】先将过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围． 【解】过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0） 则y0=x03﹣3x0，k=f'（x ）=3x 2﹣3． 则切线方程为y﹣（x03﹣3x ）=（3 x 2﹣3）（x﹣x ） 将A（1，m）代入上式，整理得2 x03﹣3 x 2+m+3=0． ∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线 ∴方程2 x3﹣3 x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、 记g（x）=2 x3﹣3 x2+m+3，g'（x）=6 x2﹣6x=6x（x﹣1）、 令g'（x）=0，x=0或1、 则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表 X （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） g'（x） + 0 — 0 + g（x） 递增 极大 递减 极小 递增 当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、 由题意有，当且仅当g（0）﹥0且g（1）﹤0.即 —3﹤m﹤－2 时， 函数g（x）有三个不同零点、 此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（﹣3，﹣2） 例2：已知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ． （1）设 ，试求函数 的表达式； （2）是否存在 ，使得 、 与 三点共线．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】由题意点P在曲线外，故求切线 、 的方程，须设出 、 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的 或导出矛盾。 【解】（1）设 、 两点的横坐标分别为 、 ， ， 切线 的方程为： ， 又 切线 过点 ， 有 ，即 ， 同理，由切线 也过点 ，得 ． 由（1）、（2），可得 是方程 的两根， （ * ） ， 把（ * ）式代入,得 , 因此，函数 的表达式为 ． （2）当点 、 与 共线时， ， ＝ ， 即 ＝ ，化简，得 ， ， ． 把（*）式代入，解得 ． 存在 ，使得点 、 与 三点共线，且 ． 例3（2007年全国卷Ⅱ理22题）已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ． 【解析】本题第一问，由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问难点在于由条件“过点 可作曲线 的三条切线”找到解题的切入点，关键是先把问题转化为方程问题来求解。 【解】（1）求函数 的导数； ． 曲线 在点 处的切线方程为： ， 即 ． （2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ． 于是，若过点 可作曲线 的三条切线， 则方程 有三个相异的实数根．记 ，则 ．当 变化时， 变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根； 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根； 当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根． 综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 ．