攀枝花学院大学物理第八章 磁场

攀枝花学院大学物理第八章 磁场 1 第八章 磁场 8-1一个静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场一个线电流元是否也能够在它的周围空间任一点激起磁场 提示不能。由毕奥——沙伐尔定律可知在电流元所在的直线上各点电流元不激起磁场。 8-2在下面三种情况下能否用安培环路定理求磁感强度B为什么 1有限长载流直导线产生的磁场 2圆电流产生的磁场 3两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场。 提示 安培环路定律只能适用于恒定电流所产生的磁场情况即涉及到的载流导线必须是闭合的否则不能使用。所以1和2不能安培环路定理求磁感强度B但3可以。 8-3在一载流螺线管外做一平面圆回路L且其平面垂直于螺线管的轴圆心在轴上。则环路积分LdBl等于多少有人说0LdBl有人根据安培环路定理认为0LdIBl究竟哪种说法正确 提示可分为两种情况 1密绕的无限长螺旋管这是一个理想化的模型可认为螺旋管是由一个个相同的圆电流彼此紧靠在一起组成此时外部磁感应强度0B外管内磁场均匀0BnI内此时L0dBl2实际上的长直螺旋管外部磁感应强度0B外此时应有0LdIBl。 8-4将空螺线管通以正弦交流电由其空心螺线管的一端沿中心轴线射入一束电子流如8-4题图所示。则电子在空心螺线管内的运动情况是 B A、简谐运动 B、匀速直线运动 C、匀加速直线运动D、匀减速直线运动 提示由洛伦兹力判别qfB磁力线与螺线管轴线平行。 8-5一电量为q的粒子在均匀磁场中运动下列哪些说法是正确的 1只要速度大小相同所受的洛伦兹力就一定相同 2速度相同电量分别为q和-q的两个粒子它们受磁场力的方向相反大小相等 3质量为m电量为q的带电粒子受洛伦兹力作用其动能和动量都不变 4洛伦兹力总与速度方向垂直所以带电粒子运动的轨迹必定是圆。 提示1不正确因为qfB故f不仅与的大小有关还与的方向有关。 2正确因为qfB所以q-fB。即它所受的力反向而大小则不变以。 3动能不变而动量发生变化。由dPqdtdfBmdt可知只要0f则0dPdt。即动量发生变化若以粒子速度点乘等式两边则有dPqdtB即0kdEdt这说明粒子的动能不变。 4不正确只有当带电粒子初速度的方向与B方向垂直时带电粒子运动的轨迹才必定是圆。 8-6 如8-6题图所示一个载流线圈绕组中通有电流I3A。分别写出 8-4题图 8-6题图 2 1____LdHl2____LdHl 3____LdHl4____LdHl 提示16LdAHl212LdAHl 315LdAHl43LdAHl 8-7试说明B与H的联系和区别。 提示H是矢量的环流只和传导电流有关因此在分布具有高度对称时能够使我们比较方便地处理有介质存在时的磁场问题而B矢量的环流不仅与传导电流有关还与磁化电流有关。 联系磁介质中任一点的磁感应强度B磁场强度H和磁化强度M之间有如下关系 00BHM 8-8安培定律dIdFlB中有三个矢量哪些矢量始终是正交的哪些矢量之间可以有任意角度 提示安培力始终与电流元Idl和磁感应强正交电流元Idl与磁感应强度B之间可以有任意角度。 8-9一有限长的载流直导线在均匀磁场中沿着磁感应线移动磁力对它是否作功什么情况下磁力作功什么情况下磁力不作功 提示有限长载流直导线在均匀磁场中受到的磁力IdFlB显然F的方向与B垂直导线沿磁力线移动时磁力不作功。 8-10两根长直导线互相平行地放置导线内电流大小相等均为I10A方向相同如8-10题图左所示。求图中M、N两点的磁感强度B的大小和方向。已知图中的00.020rm。 解因无限长直流载导线在距离a处的磁感应强度为02IBa。则由题可知两长直导线在M处产生的磁感强度大小均为01202IBBr但方向相反在N处产生的磁感强度均为012022IBBr方向如8-10题图右所示由图可知1B和2B合成的方向沿水平向左。即 M处的磁感强度为001200022MIIBBBrr N处的磁感强度为 4012120coscoscos1.0104442NIBBBBBTr 方向沿水平向左。 8-10题图 3 8-11 如8-11 题图所示有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点并与很远处的电源相接。求环心O的磁感强度。 解设图中圆弧的半径为R。由题可知ef距o点很远故 0efBo点在eb和fa的延长线上故0ebfaBB又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为000222224IIIllBRRRR其中l为圆弧长故1acbl弧和2adbl弧在o点产生的磁感强度分别为 011124IlBR022224IlBR 又由于导线的电阻与导线的长度成正比且圆弧acb和圆弧adb构成并联电路所以有 1122IlIl 根据叠加原理可得o点的磁感强度为 2011022122044efebfaIlIlBBBBBBRR 8-12 如8-12题图所示几种载流导线在平面内分布电流均为I它们在点O的磁感强度各为多少 解因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为000222224IIIllBRRRR无限长载流直导线在距离a处的磁感应强度为02IBa故由叠加原理可得 a图中将流导线看作14圆电流和两段半无限长载流直导线则 0000088IIBBBBRR圆弧长直导线长直导线方向垂直纸面向外。 b图中将载流导线看作圆电流和长直电流则 8-12题图 8-11题图 4 00022IIBRR 0B的方向垂直纸面向里。 C图中将载流导线看作12圆电流和两段半无限长直电流则 00000044424IIIIIBRRRRR 0B的方向垂直纸面向外。 8-13 如8-13题图a所示一宽为b的薄金属板其电流为I。试求在薄板的平面上距板的一边为r的点P的磁感强度。 解建立8-13题图b所示的坐标系将金属板分成无限多份宽度为dx的载流长直导线。现在距O点x处取一载流长直导线其电流为IdxdIb在p点处产生的磁感应强度为02dIdBx由叠加原理可知载流薄板在p点处产生的磁感应强度为 00ln22rbrbrrIIrbBdBdxbxbr 方向垂直纸面向里。 8-14在磁感强度为B的均匀磁场中有一半径为R的半球面B与半球面轴线的夹角为。求通过该半球面的磁通量。 解设有一半径为R的圆面与半径为R的半球面构成封闭曲面则由磁场的高斯定理可知 0BdsBdsBds圆面封闭曲面半球面SSS 所以2--RBcosBdsBdsa圆面半球面SS 8-15电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线试计算单位长度导线通过8-15题图中所示剖面的磁通量。 解将导线视为长直圆柱体由于电流沿轴向均匀流过导体8-14题图 8-13题图 8-15题图 5 故其磁场呈轴对称分布即在与导线同轴的圆柱面上各点B大小相等方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路L使其绕向与电流成右手螺旋关系根据安培环路定理0dIBl可求得导线内部距轴线r处的磁感强度。 22000222LIrIdlrIrRRBB 022IrBR 如图所示在距轴线r处的剖面上取一宽度dr很窄的面元dsldr该面元上各点的B相同由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为 022IrdBdsldrR 故 002024RsIrIldlRdr 单位长度的磁通量为004Il 8-16 如8-16题图所示两平行长直导线相距40cm每条通有电流I200A求 1两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度 2通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。已知r1r310cmr220cml25cm。 解1解因长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为02IBa由磁场的叠加原理可知两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度为 74000124102004.010220.2IIIBBBTaaa 方向垂直纸面向里。0022IIBxdx 2建立如图8—16b所示的坐标穿过线圈的总磁通总等于一条电流产生磁通的两倍即2总。 8-16题图a 8-16题图b 6 一在中距原点0为x处取一很窄的面积元dSldx穿过该面积的磁通量为012IdBdSldxx。穿过线圈的总磁通为 2115022.2102rrrIldxWbx 方法二设两电流相距为d则由两电流产生的磁感应强度为 故 1212115002.21022rrrrrrIIBdSldxWbxdx总 8-17已知102mm裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热电流在导线横截面上均匀分布。求 1导线内、外磁感强度的分布 2导线表面的磁感强度。 解1将导线视为长直圆柱体由于电流沿轴向均匀流过导 体故其磁场呈轴对称分布即在与导线同轴的圆柱面上各点B大小相等方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路L使其绕向与电流成右手螺旋关系根据安培环路定理0ldIBl可知 02LdlrIBB 当rR时2222IIrIrRR所以 022IrBR 当rR时II所以 02IBr 2在导线表面由题可知50IA31.7810SRm则由1问可得 305.6102IBTR 磁感强度的分布曲线如图8-17题图所示。 8-18 有一同轴电缆其尺寸如8-18题图a所示。两导体中的电流均为I但电流的流向相反导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度 1rR1 2RlrR2 3R2rR3 4rR3画出B一r图线。 8-17题图 7 解由题可知同轴导体内的电流均匀分布其磁场呈轴对称分布取半径为r的同心圆为积分路径根据安培环路定理0dIBl有 1当1rR时有210212IBrrR 01212IrBR 2 当12RrR时有202BrI 022IBr 3 当23RrR时有2223022322rRBrIIRR 203322322IRrBrRR 4 当3rR时有4020BrII 40B 磁感强度Br图线如8-18题图b所示。 8-19 如8-19题图所示N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上。求通入电流I后环内外磁场的分布。 解由右手螺旋法则可知螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆若取半径为r的圆周为积分路径则由安培环路定理0dIBl可知 当1rR时120Br 10B 当21RrR时202BrNI 022NIBr 当2rR时320Br 30B 8-20 测定离子质量的质谱仪如图所示。离子源S产生质量为m电荷为q的离子离子的初速很小可看作是静止的经电势差V加速后离子进入磁感强度为B的均匀磁场并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光底片上。试证明该离子的质量为 228BqmxV 证明根据动能定理有 212mqU 1 离子以速率进入磁场后作圆周运动所需的向心力为其所受的洛伦兹力作圆周运动的半径为2xr即 8-19题图 8-20题图 8-18题图 8 2/2qBmx 2 由1、2可得 228BqmxU 821 在一真空室中的电子通过一个电势差0V被加速然后进入两个带电平行金属板之间的空间两金属板之间的电势差为300V。 1如果电子进入两板之间的空间时的速率为616.010ms则该个电子是通过多大的电势差0V被加速的 2如果两板间还有一匀强磁场其方向与纸面垂直则磁场B必须多大才能使电子无偏转地在两板间运动。 解1根据动能定理有20012mVe即 2001022mVVq 2电子在两板间运动时同时受到洛伦兹力和电场力的作用要使电子不偏转则洛伦兹力和电场力应相等即eeBE结合VdE有 35.010EVBTd 8-22 已知地面上空某处地磁场的磁感强度40.410BT方向向北。若宇宙射线中有一速率715.010mS的质子垂直地通过该处。求1洛伦兹力的方向2洛伦兹力的大小并与该质子受到的万有引力相比较。 解1洛伦兹力的方向为B的方向 2B故质子所受的洛伦兹力为 163.210FqBN 质子在地球表面所受的万有引力为 261.6410GpFmg 101.9510GFF 由此可见质子所受的洛伦兹力远大于重力。 8-23 如8-23题图所示。设有一质量为em的电子射入磁感强度为B的均匀磁场中当它位于点M时具有与磁场方向成角的速度它沿螺旋线运动一周到达点N。试证M、N两点间的距离为 2cosemMNeB 解将入射电子的速度沿磁场方向和垂直磁场方向分解为//和电子在垂直磁场的平面内在洛伦兹力的作用下作匀速圆周运动在沿磁场方向电子不受磁场力作用作匀速运动。电子在磁场内同时参与上述两种运动其运动轨迹是等距螺旋线。则由//MNT可得入射电子在磁场方向前进一螺距MN所需的时间为 8-21题图 9 //cosMNMNTa 1 在垂直磁场方向的平面内电子作匀速圆周运动的周期为 22emRTeB 2 根据电子前进一个螺距所需的时间与电子作匀速圆周运动所经历的时间相等可得 2cosemaMNeB 8-24 一通有电流为I的导线弯成如8-24题图a所示的形状放在磁感强度为B的均匀磁场中B的方向垂直纸面向里问此导线受到的安培力为多少 解将导线分解成两段直线和一 段半圆弧三部分。由于两段导线所受的安培力大小相等但方向相反由安培定律可知 0F两段导线 如8-24题图b所示在半圆弧上与x轴成角处任取一圆弧dlRd该圆弧所受的力为dId1FlBIRBd方向如图所示。由对称性可知整个半圆弧在x轴上所受的合力为零。故有 110sin2yFdFBIRdBIR 由叠加原理可知所求导线的安培力为 2FFFBIRj两段导线圆弧 8-25 如8-25题图a所示一根长直导线载有电流130IA矩形回路载有电流220IA试计算作用在回路上的合力。已知1.0dcm8.0bcm0.12lm。 解设上、下两段导线所受的力分别为1F和2F左右两段导线所受的力分别为3F和4F如8-25题图b所示。由安培定律和叠加原理可知1F和2F大小相等方向相反即120FF整个矩形回路所受的力为34FFF。即 3012012341.281022IIlIIlFFFNddb 合力的方向向左。 8-23题图 8-24题图 8-25题图 10 8-26 一个正方形线圈每边长度为0.6m载有0.1A的稳恒电流放在一个强度为410T的匀强磁场中。求 1线圈平面平行于磁场时求线圈所受到的力矩 2线圈平面垂直于磁场时求线圈所受到的力矩 3当线圈的法线与磁场方向之间的夹角从0变到时画出力矩随角度变化的曲线。 解由教材8.2.5节均匀磁场对载流线圈的磁力矩公式sinMBIS有 1线圈平面平行于磁场时即263.610MBISNm 2 线圈平面垂直于磁场时00M 3 因6sin3.610sinMBIS力矩随角度变化的曲线如8-26题所示。 8-27 如8-27题图所示一根长直同轴电缆内、外导体之间充满磁介质磁介质的相对磁导率为rr1导体的磁化可以忽略不计。沿轴向有稳桓电流 I通过电缆内、外导体上电流的方向相反。求 1空间各区域内的磁感强度和磁化强度 2磁介质表面的磁化电流。 解1由题可知电流分布呈轴对称依照右手定则磁感应线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆。取与电缆轴同心的圆为积分路径。根据磁介质中的安培环路定理LdIHl有 2HrI 当1rR时221IIrR 1212IrHR 当21RrR时II 22IHr 当32RrR时2222232IIIrRRR 223322322IRrHrRR 当3rR时0III 40H 由BH1rMH可分别得 10M导体的相对磁导率为1r 01212IrBR 8-27题图 8-26题图 11 212rIMr 022rIBr 30M 2203323322IRrBrRR 40M 40B 2由2IMr磁化电流可分别得磁介质内、外表面的磁化电流大小为 12121sirIRMRI 22221serIRMRI 对抗磁质1r在磁介质内表面1rR磁化电流与内导体传导电流力向相反在磁介质外表面2rR磁化电流与外导体传导电流方向相反。顺磁质的情况与抗磁质相反Hr和Br分布曲线分别如8-27题图 b和c。 8-28 在实验室为了测试某种磁性材料的相对磁导率r。常将这种材料做成截面为矩形的环形样品然后用漆包线绕成一环形螺线管。设圆环的平均周长为0.10m横截面积为420.5010m线圈的匝数为200匝。当线圈通以0.10A的电流时测得穿过圆环横截面积的磁通量为56.010Wb求此时该材料的相对磁导率r。 解根据右手定则磁感线与电流相互环连磁场沿环型螺线管分布当环形螺线管中通以电流I时由安培环路定理LdIHl得磁介质内部的磁场强度为 NIHL 又BS和0rBHH有 304.7810rLNIS 8-29 一个截面为正方形的环形铁心其磁导率为。若在此环形铁心上绕有N匝线圈线圈中的电流为I环的平均半径为r。求此铁心的磁化强度。 解如图8—29题图所示选取闭合回路C由安培环路定理LdIHl有 2HrNI 即铁心内磁场强度为2NIHr 又由磁场强度和磁化强度的关系得 112rrNIMHr 8-29题图