排列组合公式/排列组合计算公式
排列 P------和顺序有关
组合 C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几
种分法. "排列"
把 5本书分给 3个人,有几种分法
"组合"
1.排列及计算公式
从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中
取出m 个元素的一个排列;从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫
做从 n 个不同元素中取出 m个元素的排列数,用符号 p(n,m)
示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).
2.组合及计算公式
从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素
的一个组合;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元
素中取出m 个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列与组合公式
从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成 k 类,每类的个数分别是 n1,n2,...nk这 n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
Administrator
下划线
Administrator
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k类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n 为下标,m为上标))
Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个 n
分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n 为下标 1 为上标)=n
组合(Cnm(n 为下标,m 为上标))
Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个 n 分别为上标和下标) =1 ;
Cn1(n 为下标 1 为上标)=n;Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式 P 是指排列,从 N个元素取 R个进行排列。
公式 C 是指组合,从 N个元素取 R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
!-阶乘 ,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从 N 倒数 r个,表达式应该为 n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从 n到(n-r+1)个数为 n-(n-r+1)=r
举例:
Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球,请问,可以组成多少个三位数?
A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排
列 P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现 988,997 之类的组
合, 我们可以这么看,百位数有 9种可能,十位数则应该有 9-1 种可能,个位
数则应该只有 9-1-1 种可能,最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式=P(3,9)
=9*8*7,(从 9 倒数 3个的乘积)
Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,
可以组合成多少个“三国联盟”?
A2: 213 组合和 312 组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即
可。即不要求顺序的,属于“组合 C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最
终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例 1 设有 3名学生和 4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每
名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同
?
解(1)由于每名学生都可以参加 4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的
人数,因此共有种不同方法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此
共有种不同方法.
点评 由于要让 3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.
例 2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种?
解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共 3类,每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出:
∴ 符合题意的不同排法共有 9种.
点评 按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是
一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.
例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.
(1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了
一次手,共握了多少次手?
(2)高二年级数学课外小组共 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不
同的选法?②从中选 2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?
(3)有 2,3,5,7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多
少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?
(4)有 8盆花:①从中选出 2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中
选出 2盆放在教室有多少种不同的选法?
分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺
序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无
关,所以是组合问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次).
(2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
(3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积.
(4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法.
例4 证明.
证明 左式
右式.
∴ 等式成立.
点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使
变形过程得以简化.
例 5 化简.
解法一 原式
解法二 原式
点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的
两个性质,都使变形过程得以简化.
例 6 解方程:(1) ;(2) .
解 (1)原方程
解得.
(2)原方程可变为
∵ ,,
∴ 原方程可化为.
即 ,解得
第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,
并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构
三、
、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排 列、
组合中有关问题提供了理论根据.
例 1 5 位高中毕业生,准备报考 3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报
名方法共有多少种?
解: 5个学生中每人都可以在 3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生
都有 3 种不同的 报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=35(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研 究
的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比
较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或填空题考查.
例 2 由数字 1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于 50 000 的
偶数共有( )
A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个
解 因为要求是偶数,个位数只能是 2或 4的排法有 P12;小于 50 000 的五位
数,万位只能是 1、3或 2、4中剩下的一个的排法有 P13;在首末两位数排定后,
中间 3 个位数的排法有 P33,得 P13P33P12=36(个)
由此可知此题应选 C.
例 3 将数字 1、2、3、4填入标号为 1、2、3、4的四个方格里,每格填一个
数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解: 将数字 1填入第 2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填
法有 3 种,即 214 3,3142,4123;同样将数字 1填入第 3方格,也对应着 3
种填法;将数字 1填入第 4方格,也对应 3种填法,因此共有填法为
3P13=9(种).
例四 例五可能有问题,等思考
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上
都是由选择题或填空题考查.
例 4 从 4台甲型和 5台乙型电视机中任意取出 3台,其中至少有甲型与乙型电
视机各 1台,则不同的取法共有( )
A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种
解: 抽出的 3台电视机中甲型 1台乙型 2台的取法有 C14·C25种;甲型 2台乙
型 1台的取法有 C24·C15种
根据加法原理可得总的取法有
C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )
可知此题应选 C.
例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8项工程,甲公司承包 3项,乙公司承包 1 项,
丙、丁公司各承包 2项,问共有多少种承包方式?
解: 甲公司从 8项工程中选出 3项工程的方式 C38种;
乙公司从甲公司挑选后余下的 5项工程中选出 1项工程的方式有 C15种;
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4项工程中选出 2项工程的方式有 C24种;
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2项工程中选出 2项工程的方式有
C22种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它是常用的
基础知识 ,从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二
项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题.
例 6 在(x- )10的展开式中,x6的系数是( )
A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410
解 设(x- )10的展开式中第γ+1 项含 x6,
因 Tγ+1=Cγ10x10-γ(- )γ,10-γ=6,γ=4
于是展开式中第 5项含 x 6,第 5项系数是 C410(- )4=9C410
故此题应选 D.
例 7 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)5的展开式中的 x2的系数等
于
解:此题可视为首项为 x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前 5项的和,则其和为
在(x-1)6中含 x3的项是 C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中 x2的系数是-2 0.
(五)综合例题赏析
例 8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解:A.
例 9 2 名医生和 4名护士被分配到 2所学校为学生体检,每校分配 1名医生和
2 名护士,不同的分配方法共有( )
A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种
解 分医生的方法有 P22=2种,分护士方法有 C24=6 种,所以共有 6×2=12 种不
同的分配方法。
应选 B.
例 10 从 4 台甲型和 5台乙型电视机中任意取出 3台,其 中至少要有甲型与乙
型电视机各 1台,则不同取法共有( ).
A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种
解:取出的 3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.
∴应选 C.
例 11 某小组共有 10 名学生,其中女生 3名,现选举 2 名代表,至少有 1名女
生当选的不同选法有( )
A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种
解:分恰有 1名女生和恰有 2名女生代表两类:
∵C13·C1 7+C23=3×7+3=24,
∴应选 D.
例 12 由数学 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 六位数,其中个位数字
小于十位数字的共有( ).
A.210 个 B.300 个
C.464 个 D.600 个
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P15·P 55=600 个.
由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.
∴有×600=300 个符合题设的六位数.
应选 B.
例 13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).
A.70 个 B.64 个
C.58 个 D.52 个
解:如图,正方体有 8个顶点,任取 4个的组合数为 C48=70 个.
其中共面四点分 3类:构成侧面的有 6组;构成垂直底面的对角面的有 2组;形
如(ADB1C1 )的有 4组.
∴能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组)
应选 C.
例 14 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱 锥的棱所在的 12 条直线
中,异面直线共有( ).
A.12 对 B.24 对
C.36 对 D.48 对
解:设正六棱锥为 O—ABCDEF.
任取一侧棱 OA(C16)则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对.
∴共有 C16×4=24 对异面直线.
应选 B.
例 15 正六边形的中心和顶点共 7个点,以其中三个点 为顶点的三角形
共 个(以数字作答).
解:7点中任取 3个则有 C37=35 组.
其中三点共线的有 3组(正六边形有 3条直径).
∴三角形个数为 35-3=32 个.
例 16 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3个元素组成的子集
数为 T,则的值为 。
解 10 个元素的集合的全部子集数有:
S=C010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024
其中,含 3个元素的子集数有 T=C310=120
故 =
例 17 例 17 在 50 件产品 n 中有 4件是次品,从中任意抽了 5件 ,至少
有 3件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解:“至少 3件次品”即“有 3件次品”或“有 4件次品”.
∴C34·C246+C44·C146=4186(种)
例 18 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2人承担,乙、 丙各需 1人承担,从 10
人中选派 4人承担这三项任务,不同的选法共有( ).
A.1260 种 B.2025 种
C.2520 种 D.5040 种
解:先从 10 人中选 2个承担任务甲(C210)
再从剩余 8人中选 1人承担任务乙(C1 8)
又从剩余 7人中选 1人承担任务乙(C1 7)
∴有 C210·C1 8C1 7=2520(种).
应选 C.
例 19 集合{1,2,3}子集总共有( ).
A.7 个 B.8 个 C.6 个 D.5 个
解 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的
子集数
C13,由二个元素组成的子集数 C23。
由 3个元素组成的子集数 C33。由加法原理可得集合子集的总个数是
C13+C23+C33+1=3+3+1+1=8
故此题应选 B.
例 20 假设在 200 件产品中有 3件是次品,现在从中任意抽取 5件,其中至少
有两件次品的抽法有( ).
A.C23C3197种 B.C23C3197 +C33C2197
C.C5200-C5197 D.C5200-C 13C4197
解:5件中恰有二件为次品的抽法为 C23C3197,
5件中恰三件为次品的抽法为 C33C2197,
∴至少有两件次品的抽法为 C23C3197+C33C2197.
应选 B.
例 21 两排座位,第一排有 3个座位,第二排有 5个座位,若 8名学生入座(每
人一个座位),则不同座法的总数是( ).
A.C58C38 B.P12C58C38 C.P58P38