1.5独立性

nullnull§1.5 独 立 性P(AB)=P(A)P(B|A)P(A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) …P(An|A1A2…An-1)P(AB)=P(A)P(B)P(A1A2…An) =P(A1)P(A2)P(A3) …P(An)nullnull 此时，由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用P(B|A) = P(B) 或 P(A|B) = P(A) 更好,它不受P(A)>0或P(B)>0的制约.P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A) P(B)null定义　如果两个事件A与B满足等式 　　　　 P(AB)＝P(A) P(B) 则称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立. 推论1　设A与B为两个事件，P(A)>0，则A与B独立的充要条件是 P(B|A)＝P(B). 推论2 设A与B为两个事件，则下列四对事件： 中，只要有一对事件独立，其余三对也独立. A、B独立 null例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2问：事件A、B是否互不相容？null1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)练习 1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：null练习 1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 2、设A、B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)null 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率) 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.null例2 甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲乙二人至少有一人投中的概率null 设A1，A2，…，An为n个事件，如果对于任何正整数 m (2≤m≤n) 都有乘积的概率等于概率的乘积， 则称事件A1，A2，…An为相互独立的包含等式总数为：null推论1　设n(n≥2)个事件A1，A2，…，An相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也相互独立 推论2　设n个事件A1，A2，…An相互独立，则它们中的任何一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的 n个事件也是相互独立的null例3 甲乙丙三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为0.8，0.7，0.6，问密码能译出的概率是多少？ 解：设 A1， A2 ，A3分别示甲，乙，丙破译出密码null例4 上例中如果改为由n个人在同一时间内分别破译某一个密码，并假定每人能译出概率都是0.7，若要以99.9999%的把握能够译出，问n至少为几？ 解：设 Ai={第i个人破译出密码}，null注 n个独立事件和的概率公式: P(A1+…+An) 如果事件A1 ,…, An相互独立，利用对偶律，上述公式比用一般加法公式简便得多null解：设 Ai={第i个人血清中有病毒}，i=1,…,100 P(A1+A2+…+A100)null伯努利概型 把抛一枚硬币看作一次试验，试验只有两个可能的结果：正面，反面(不是正面);设 Bk={恰出现k次正面} ，②①简称伯努利试验或伯努利概型.null例1 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，且结果只有两个：次品，正品 .所以它是3重伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.解：于是，所求概率为：null例2 10台同类型的机床，每台机床的功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现只提供50千瓦电力给这10台机床，问这10台机床能正常工作的概率有多大？ 50千瓦电力可同时供给5台机床开动，所以同时 开动的台数不超过5台都可以正常工作.所以它是10重伯努利试验.nullnull练习 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104nullnullnullnull练习 甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，它们击中目标的概率分别为0.4 ,0.5 ,0.7. 假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率0.2，若有2 人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被三人击中，飞机一定坠毁. 现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率. 分析 设Ai={3个人中恰有i个人击中飞机}，i=0,1,2,3. 显然Ai构成一个完备事件组, B={飞机坠毁}. 依题意，P(B|A0)=0 , P(B|A1)=0.2 , P(B|A2)=0.6 , P(B|A3)=1 设C1，C2，C3 分别表示甲、乙、丙击中飞机，显然它们是相互独立的 .由题意可知 ，null例4 甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，它们击中目标的概率分别为0.4 ,0.5 ,0.7. 假设飞机只有一人击中时，坠毁的概率0.2，若有2 人击中，飞机坠毁的概率为0.6，而飞机被三人击中，飞机一定坠毁.现在如果发现飞机已被击中坠毁，计算它是由三人同时击中的概率.作业：1.5 7、8、9nullnull