谷歌0301

orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 16 本文引用的涂鸦几乎都来自谷歌涂鸦档案库 1，感兴趣 的读者可去该档案库欣赏更多涂鸦。另外，这里所使用的涂 鸦发表时间也来自于该档案库给出的时间。有可能因时区原 因，这里的时间与涂鸦发表地区的时间不一致。 1 谷歌涂鸦简介 谷歌（Google）是目前互联网上最知名的搜索引擎之一。 谷歌公司在搜索领域之外提供的免费邮箱、谷歌地图、谷歌 图书、语言、浏览器、云存储、输入法和操作系统等 也都深受用户喜爱，同时谷歌还研发与谷歌搜索、谷歌地图 等密切相关的无人驾驶汽车、眼镜等软硬件。谷歌虽然年仅 14 岁，却雄心壮志，正如其对外所宣称的，自己的使命是“组 织全球信息，让人人皆可接触和使用”。 谷歌的成功源于其浓厚的人性化特点及其追求和热爱创 新的精神。谷歌搜索主页上常常以涂鸦（doodle）形式所表 现的谷歌徽标（logo）“Google”就是对该特色一个很好的诠释。 涂鸦以纪念各个国家、民族的节假日，名人的纪念日， 重大发现或发明，或一些有意义的事件而具有强烈的文化 谷歌数学涂鸦赏析（上） 欧阳顺湘 谷歌涂鸦是谷歌的一个文化传统，其中有不少与数学 相关的内容，这对数学传播起着很好的作用。例如，我将介 绍，纪念朱利亚的涂鸦发布后，涂鸦上漂亮的分形立即引起 网民兴趣，导致一个分形介绍网站两次被摧垮。这里简要介 绍与这些数学涂鸦相关的人物和故事，以助读者欣赏。 本文结构如下：在对谷歌涂鸦进行一般介绍后，我将 先按涂鸦出现的时间先后顺序介绍一些主要的数学涂鸦，最 后介绍几个与数学教育有关的涂鸦。纪念的人物按先后有： 爱因斯坦、埃舍尔、朱利亚、达 • 芬奇、罗威尔、惠更斯、 祖冲之、陈景润、牛顿、阿尔夫、孟德尔、费马、哈雷、华 罗庚、赫兹、海亚姆、图灵、拉齐、比鲁尼、洛夫莱斯、拉 马努金与托里斯等。在人物介绍中还穿插了一些与数学事件 相关涂鸦的介绍：Unix 时间特殊秒、条形码的发明、圆周 率日、折纸艺术纪念（日本折纸大师吉泽章诞辰 101 周年） 与玛雅历法等。鉴于曾经做出过重要贡献的穆斯林数学家往 往不太为人所熟悉，我用了相对较长的篇幅来介绍海亚姆和 比鲁尼。而罗威尔和拉齐与数学关系不大（虽然他们都曾学 习数学，且谷歌涂鸦也贴有标签“数学”），因此介绍较简略。 本文的写作过程也是笔者的学习过程。我既特别赞赏 谷歌美不胜收的众多涂鸦，同时也深感知识海洋的无穷。不 用说对很多被纪念人物、事件的完全无知，即使对一些原自 以为有点了解的名人，实际上也是知之甚少。他们有如令人 仰止的高山，深邃幽远的大海，值得认真学习了解。因此虽 然很明显，但值得强调的是，本文对每个涂鸦背后人物等简 短的介绍，是远非全面的。有兴趣的读者宜进一步去了解。 1 http://www.google.com/doodles 图 1 马克 •吐温诞辰 176周年纪念（2011年 11月 30日，全球。此 图为创作图，搜索引擎当日显示的只是该图中央一部分。图中粉刷 栅栏的故事取材自马克 •吐温名著《汤姆 •索亚历险记》） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 17 特色。如 2012 年谷歌涂鸦就已庆祝了新年、春节、女儿节、 父亲节、植树节、匈牙利国庆日等节假日和纪念日，也纪念 了马丁 • 路德 • 金和查尔斯 • 狄更斯等名人的诞辰。纪念的 事件有如 2012 年 1 月 18 日，谷歌涂鸦用黑盒遮挡谷歌徽标 的方式抗议美国国会将讨论表决的《阻止网络盗版法案》以 及《保护知识产权法案》2。另外，2012 年伦敦奥运会期间， 谷歌涂鸦每日一更新，生动展现了开闭幕式以及击剑、体操、 撑杆跳、乒乓球、跨栏、足球和艺术体操等体育运动。谷歌 涂鸦纪念的发明既有中国的四大发明，也有如水果冰激凌和 拉链等看似微小但却影响重大的发明。 谷歌涂鸦常以与被纪念内容关联的图画、动画或视频 等充满创意的形式出现。有很多特别有趣的例子常为人津津 乐道，下面是轻易举出的一些例子： 1. 2005 年 3 月 29 日，谷歌涂鸦纪念了著名画家文森特 • 梵高（Vicent Van Gogh）诞辰 152 周年。该涂鸦取材 自他的名画《星空》。 2. 2010 年 5 月 21 日为了纪念吃豆人（PAC-MAN）游戏 发行 30 周年，谷歌推出网页版吃豆人游戏，这是谷歌 首款涂鸦互动游戏，在谷歌页面就可以玩这个游戏。 3. 2011 年 6 月 9 日，谷歌涂鸦发布了可弹出电吉他乐声 的音乐涂鸦。这是为了纪念美国电吉他大师莱斯 • 保 罗（Les Paul）诞辰 96 周年。实心琴体的电吉他就是 他在 1952 年发明的。用鼠标滑过涂鸦中琴弦时可见 到琴弦的震动，并听到相应音符的乐声，玩家可以获 得真实的吉他弹奏体验，而且还可以录制所弹奏曲子。 涂鸦发布后的 48 小时之内，仅在美国，人们就利用该 图 2 2010年春节纪念（2010年 2月 14日，新加坡、马来西亚、 越南、中国、泰国、韩国、香港、台湾） 图 3 狄更斯诞辰 200周年纪念（2012年 2月 7日，全球） 图 4 伦敦奥运艺术体操（2012年 8月 11日，全球） 图 5 拉链发明人吉德昂 •逊德巴克（Gideon Sundback）诞辰 132周 年纪念（2012年 4月 24日，全球） 图 6 点击拉链主题图就会像拉开衣服一样跳转到关键词“吉德昂 • 逊德巴克”的搜索页面 2 即 Stop Online Piracy Act（简称 SOPA）以及 Protect Intellectual Property Act（简称 PIPA）。 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 18 电吉他录制了 4000 万首曲子， 4. 2012 年 2 月 18 日谷歌中国的涂鸦为孙悟空大闹天宫 的动画（偷吃仙桃、猴子尾巴变旗杆等），这是为了 纪念创作出中国经典动画《大闹天宫》的导演万籁鸣、 万古蟾兄弟诞辰 112 周年。谷歌中国还纪念过端午节、 七夕、中秋节和元宵节等具有民族特色的节日以及梅 兰芳、张大千、鲁迅、钱学森和李小龙等名人诞辰。 好的徽标是一个公司的无形资产，有助于提升公司的整 体形象。一般而言，任何公司都应该保持品牌形象的连贯统 一，严肃对待其徽标。“涂鸦”的字面意思是随意涂抹色彩， 胡乱书写。在涂鸦初创时期，确实引发了一些争议。然而谷 歌却以涂鸦这种看似不严肃、多变的方式赢得了很好的效果。 事实上谷歌对待每一个涂鸦都是认真的，要做很多研究工作， 比如查阅资料、咨询专家等。有的涂鸦制作更是花费了上百 天的功夫。即使如此，也有时会出错，但出错了都及时更改。 Google 涂鸦设计师黄正穆（又名丹尼斯 • 黄，Dennis Hwang）曾经讲述 DNA 双螺旋结构发现 50 周年纪念涂鸦 发布的故事，也可以看出涂鸦与用户的互动。在双螺旋涂鸦 刚刚发布几分钟之内，涂鸦设计组就收到了世界各地的基因 专家发来的电子邮件和打来的电话，称“这不是双螺旋结 构”、“非常紧急”等。在涂鸦设计组意识到是那些小彩条出 错了之后，迅速更正并重新发布涂鸦。 谷歌涂鸦经历了从无到有，从简单到丰富的发展。 1998 年，刚刚创立谷歌公司的斯坦福大学博士生拉里 • 佩 奇（Larry Page）和谢尔盖 • 布林（Sergey Brin）在准备和 员工去参加内华达州的火人节（Burning Man Festival）时突 发奇想，决定在谷歌搜索主页的徽标上加上一个火人的图像 以表达若系统崩溃不能及时修复是因为主人外出了。第一个 涂鸦形式的徽标就这样诞生了！ 1998 年还有两个涂鸦分别 纪念谷歌 Beta 版和感恩节。1999 年也只有 5 个涂鸦作品。 图 7 梵高诞辰 152周年纪念（2005年 3月 29日，全球） 图 8 梵高作品《星空》 图 9 吃豆人游戏发行 30年纪念（2010年 5月 21日，全球） 图 10 保罗诞辰 96周年纪念（2011年 6月 9日，全球） 图 11 万籁鸣、万古蟾诞辰 112周年（2012年 2月 18日，日本、台湾、 澳大利亚、中国和香港） 图 12 七夕纪念（2011年 8月 6日，文莱、台湾、新加坡、中国和香港） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 19 但 2000 年当佩奇、布林邀请黄正穆为法国国庆日（Bastille Day）设计的节日徽标发布之后，由于大受欢迎，谷歌成立 了以黄为涂鸦长的涂鸦小组。接下来的几年，不但涂鸦数量 增加（现在每年发布 200 多个涂鸦），而且内容也更加丰富， 表现形式更加精彩。自第一个涂鸦出现 10 来年之后，谷歌 涂鸦作为“一个可以诱惑用户访问一个网站的系统和办法” 终于在 2011 年获得专利。 到 2012 年底，谷歌就已经发布了大约 1800 个涂鸦作品。 谷歌搜索在许多国家和地区都有各自的本地版本，相应地， 涂鸦除了一部分是全球通用的外，还有不少本地化涂鸦。 谷歌涂鸦的设计也很开放，其设计小组乐于收到用户 的创意。2004 年纪念金星凌日的涂鸦（人们可以在这个涂 鸦中看到一个仿佛绕太阳缓缓移动的黑点）就是在一位用户 的建议下赶制出来的。这位用户告诉谷歌，金星凌日现象大 约 122 年出现一次，不容错过（实际上，2012 年也出现了金 星凌日现象，但此现象下次出现确实要等上百年，直到 2117 年）。涂鸦发布后的 6 月 9 日，黄正穆还在谷歌官方博客 （http://googleblog.blogspot.de）上特别写了一篇名为“Oodles of doodles”的短文，记载了这一个故事，鼓励人们向他们提 出好的主意。 特别，为提升谷歌涂鸦的创新意识，自 2008 年开始谷 歌每年组织涂鸦设计比赛──“Doodle 4 Google”（“4”的 英文“four”与表示“为了”意义的英文“for”同音）。这 是一项面向世界各国中小学生的绘画创意大赛，比赛获奖作 品将在该国谷歌搜索首页展示 24 小时。 2011 年 5 月 20 日谷歌美国的涂鸦即为 2011 年度美国区 “Doodle 4 Google”涂鸦大赛获奖作品，作者为来自南旧金山年 仅 7 岁的小朋友 Matteo Lopez。该作品描绘了人们在未来宇航、 在月球上行走、与外星人成为好朋友的情景。作者因此而赢得 图 13 DNA双螺旋结构发现 50周年纪念（2003年 4月 25日，全球， 上图为修改后的版本，下图为最初将双螺旋结构画反了的版本） 图 14 火人节（1998年 8月 30日，全球） 图 15 金星凌日纪念（2004年 6月 7日，美国） 图 16 太空生活（Space Life，2011年 5月 20日，美国） 图 17 我的六一（2012年 6月 1日，中国） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 20 了 15,000 美元奖学金和一个上网本，而他所在的蒙特韦尔德 小学（Monte Verde Elementary School）也获得了 25,000 美元奖金。 2012 年谷歌中国“Doodle 4 Google”的比赛主题是“我 的六一”，获得金奖的是深圳患有自闭症的 13 岁少年刘冠泽。 他的作品中有汽车、孩子、树木、青草地等。就如他所述说， 作品表达了“想和学校的伙伴们一起去郊游，或者去动物园 看猴子、大象、老虎……。我们是一群残障的孩子，我们也 想要和其他孩子一样，出去玩一玩，看看外面的世界！”刘 冠泽的作品很有创意地用车窗、车门等来示意“Google”这 几个字母，这是他获奖的一个原因。2012 年“六一”儿童 节期间，这幅作品在中国的搜索首页显示。 谷歌涂鸦的初衷是为了装饰简单的搜索框，给用户带 来不同的体验。现在谷歌涂鸦已经成了谷歌的传统，吸引了 众多爱好者。涂鸦不仅有数亿谷歌搜索引擎使用者浏览，也 (a)居里夫人诞辰 144周年纪念（2011年 11月 7日，全球） (b)尼尔斯 •玻尔（Niels Bohr）诞辰 127周年纪念（2012年 10月 7 日，全球） (c)查尔斯 •达尔文（Charles Darwin）诞辰 200周年纪念（2009年 2月 12日，全球） (d)大型强子对撞器正式开始运作纪念（2008年 9月 10日，全球） (e)庆祝巴克球（碳 60）发现 25周年（2010年 9月 4日，全球） (f)“血月”月全食（2011年 6月 16日，全球） (g)美国宇航局成功发射哈勃太空望远镜 20周年纪念（2010年 4月 24日，全球） (h)新年和 TCP/IP协议使用 25周年纪念（2008年 1月 1日，全球） 图 18 谷歌涂鸦中部分科技相关涂鸦 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 21 如同邮票一样因其寓知识于艺术中的独特魅力而吸引着网 民的眼球。同时，谷歌涂鸦还比静态的邮票具有如动画、互 动游戏等更多的表现手法。如果浏览者不太了解涂鸦的背 景，还可以通过点击涂鸦而用谷歌自动搜索相关关键词。谷 歌还因势推出徽标商店，出售印有涂鸦作品的水杯、卡片以 及 T 恤等物品。 每当一个新的涂鸦发布，总是会引起人们的关注，并 且撰文转载分享。人们也常以自己喜欢的人或物能作为谷歌 涂鸦的内容出现而激动，一些团体（如女性主义者）甚至列 出人物清单，希望得到谷歌涂鸦纪念。谷歌美国在 2009 年 以前因从未纪念过美国阵亡将士纪念日还曾引起过争议。当 然这也与谷歌的态度有关。 与我们将介绍的众多谷歌数学涂鸦一致的是，谷歌有很 多纪念科技事件和科学家的涂鸦。黄正穆说：“我们喜欢把谷 歌品牌与发现和科技联系起来，因此我们要纪念詹姆斯 •沃 森（James Watson）博士发现 DNA 结构 50 周年。”谷歌搜索 的影响力使得这些涂鸦在无形中成了很好的知识普及方式。 涂鸦上被纪念过的科学家不但有我们将介绍的爱因斯 坦、牛顿等，还有如两次获得诺贝尔奖的化学家居里夫人、 电话的发明人贝尔、俄罗斯博学家罗蒙诺索夫、进化论提出 者达尔文、原子结构学说之父和量子力学家玻尔、发明家爱 迪生以及航天学家钱学森等。被纪念的科学事件有如月全 食、大型强子对撞器（Large Hadron Collider, LHC）正式开 始运作、DNA 双螺旋链、巴克球（碳 60 球）的发现以及哈 伯太空望远镜（Hubble Space Telescope，缩写为 HST）成功 发射 20 周年纪念等科技事件。 这些科技涂鸦也都充满趣味。例如随着鼠标的挪动， 巴克球会快速旋转。2011 年 6 月 16 日表现月食现象的涂 鸦也是动态的，不同地区的用户在打开谷歌首页时即可看 到实时的月食进程。2008 年 1 月 1 日的谷歌涂鸦既纪念了 TCP/IP 协议使用 25 周年，同时也用涂鸦画面中的五彩纸 屑，隐藏了“SYN SYN/ACK and ACK”。这些文字在 TCP 协议中表示三次握手（“TCP handshake”），是用来实现虚 拟连接的方式。因为篇幅关系，我们这里就不详细介绍这 些涂鸦了。 类似于谷歌涂鸦，有道、搜狗、必应、雅虎和百度等 搜索引擎也在各自搜索首页放置特殊图片来纪念重要节日 或事件。如有不少中文搜索引擎纪念过植树节、清明节、端 午节、母亲节、父亲节、儿童节、元宵节等节日以及汶川地震、 伦敦奥运等事件。但与谷歌涂鸦相比，毕竟起步晚，影响小， 特殊图片的数量也少了许多。虽然我们见到搜狗搜索有纪念 钱学森、陈景润的特色徽标，但科学家被纪念的例子还是不 多。作为对比，当谷歌纪念图灵时，有道、百度和搜狗等纷 纷纪念中国传统佳节端午节；在谷歌纪念华罗庚时，搜狗纪 念孙中山诞辰 145 周年。我们无意议论孰轻孰重，但还是期 待更多的搜索引擎，特别是中文搜索引擎，可以利用其搜索 主页来宣传普及科学知识，这也是搜索引擎提高自身影响力 的一种途径，正如谷歌业已证明的。 谷歌对数学的品味，或许和谷歌先天与数学分不开“有 关”。不用提谷歌搜索背后的算法主要是数学应用，谷歌的 徽标“Google”一词也和数学有联系。原来谷歌最先是想使 用“Googol”一词，表示 10 的 100 次幂（方）10100，写出 来即为数字 1 后跟 100 个零，显示公司想征服网上无穷无 尽资料的雄心。Googol 是美国数学家 Edward Kasner 九岁的 侄子 Milton Sirotta 发明的，后来在数学家 Edward Kasner 和 James Newman 的著作 Mathematics and the Imagination 中被 引用。只是由于误拼而成就了谷歌现在的徽标。 图 19 2011年 6月 19日百度徽标纪念父亲节 图 20 2011年 12月 11日搜狗徽标纪念中国“航天之父”钱学森诞 辰 100周年（该涂鸦设计类似于谷歌中国在 2009年 12月 11日纪 念钱学森诞辰 98周年的涂鸦） 图 21 2012年 5月 22日搜狗徽标纪念陈景润诞辰 79周年 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 22 2003 年 6 月 17 日是荷兰画家莫里茨 • 科内利斯 • 埃舍 尔（Maurits Cornelis Escher, 1898-1972）诞辰 105 周年纪 念。埃舍尔自称“图形艺术家”，专门从事于木版画和平版 画，但他的作品中包含了不少几何图形，表现了分形、对称、 不可能物件、密铺平面和多面体等数学内容。谷歌涂鸦使 用了他著名的《画手》（Drawing Hands）来呈现两个字母“o”。 《画手》中有两只都正在执笔画画的手，一只右手正执笔画 左手 ；同时，左手也正执笔描绘右手，亦将结束。 曾获得普利策奖的名著《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集 异璧之大成》（Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid） 就引用了埃舍尔的作品，讲述了逻辑学家哥德尔、艺术家埃 舍尔和作曲家巴赫如何用不同的方式表达相同的本质。 埃舍尔其它著名的画作有表现非欧几里得几何的《圆 极限》，以及表现当时刚刚兴起的拓扑学的《莫比乌斯带》等。 《圆极限》明显源自庞加莱的圆盘模型。“天使或魔鬼”生活 在看起来有限但实际上无限的世界。它们能感知圆盘中心温 度最高，随着与中心距离的增大，温度减小至边缘的绝对零 度。《莫比乌斯带》上的蚂蚁则永远爬行在同一面上。 埃舍尔的四位兄长都是科学家，这或许影响了他对数 学的兴趣。埃舍尔自己也确实对数学还有一定的研究，与数 学家有所交往。埃舍尔曾说：“虽然我绝无精确科学的训练 与知识，但我常常看起来与数学家而不是我的艺术同行有更 多共同点。” 1954 年在阿姆斯特丹举行的“国际数学家大会”是埃 舍尔在数学界出名的重要契机。此前在荷兰之外只有少数数 学家注意到埃舍尔。在这次大会期间 N. G. de Bruijin 安排了 一个埃舍尔的画展，获得很大成功。特别是著名数学家彭罗 斯（Roger Penrose）被埃舍尔的画作《相对论（Relativity）》 图 22 爱因斯坦诞辰 124周年纪念（2003年 3月 13日，全球） 图 23 埃舍尔诞辰 105周年纪念（2003年 6月 17日，全球） 图 24 画手 2 爱因斯坦诞辰 124 周年 2003 年 3 月 14 日是 20 世纪杰出的理论物理学家阿尔 伯特 • 爱因斯坦（Albert Einstein, 1879 年 3 月 14 日 -1955 年 4 月 18 日）诞辰 124 周年。涂鸦中有爱因斯坦经典的头像 和著名的质能方程 E ＝ mc2, 其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个公式来自 1905 年爱因斯坦创立的狭义相对论，揭示了质量与能量的 关系，可以用来解释核反应所释放的巨大能量。 1905 年是爱因斯坦“奇迹年”，爱因斯坦不但提出了狭 义相对论，以及使得他获得 1926 年度诺贝尔物理学奖的光 电效应，还研究了布朗运动。 虽然爱因斯坦不是真正意义上的数学家，但爱因斯坦 的工作对随机数学与黎曼几何这两个数学分支的发展有重 要的推动作用。 1. 1915 年爱因斯坦创立了广义相对论，用到了黎曼几何 和张量，使得黎曼几何成了广义相对论的数学基 础，引起了人们对黎曼几何的重视。 2. 1905 年爱因斯坦研究了布朗微粒满足的扩散方程，提 出了分子热运动规律，说明了布朗微粒在一段时间内 的位移是服从正态分布的。布朗运动可以说是现代随 机分析学的基石。 3 埃舍尔诞辰 105 周年 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 23 图 28 朱利亚诞辰 111周年（2004年 2月 2日，全球） 阶梯 ：盗梦小队的成员亚瑟在酒店中，利用了彭罗斯阶梯 欺骗一个追逐他的防御者。Cobb 的助手 Arthur 向 Ariadne 演示了一个无限的楼梯。Ariadne 走了 4 段，一直感觉向上， 实际上走了一个死圈，这其实便是借鉴了画家埃舍尔著名 的旋转楼梯。 埃舍尔的作品中有不少作品（如《骑士》）表现了高超 的密铺技巧。在他的本中也出现了可以用于密铺的数学 内容，被后人命名为埃舍尔定理： 1. 假设三角形 A'B'C' 为等边三角形，B 为任意一点。设 点 C 使得 A'B=A'C 且∠ CA'B=120° ，点 A 使得 B'A=B'C 且 ∠ CB'A=120°。则 C'A=C'B 且∠ AC'B=120°。 2. 六边形 AC'BA'CB' 的相同拷贝可以密铺平面。 3. 直线 AA', BB', CC' 共点。 4 朱利亚诞辰 111 周年 2004 年 2 月 2 日谷歌涂鸦纪念法国数学家加斯顿 • 朱 利 亚（Gaston Julia, 1893 年 2 月 3 日 -1978 年 3 月 19 日 ） 诞辰 111 周年。这个涂鸦曾经导致一次网络事故。原来该涂 鸦链接至了“Julia Fractal（朱利亚分形）”的谷歌图像搜索 的结果页面，而结果中排在前面的是澳大利亚斯文伯恩大学 Paul Bourke 的个人主页 3，因此谷歌发布该涂鸦当天，这个 吸引了。回到英国的彭罗斯构造了现在著名的彭罗斯三角 形。后来又与其身为著名遗传学家的父亲设计了“无尽的 阶梯”。彭罗斯将这些发现寄给埃舍尔，后者用之于著名的 画作“瀑布”和“上升与下降”。2010 年有影响的电影《盗 梦空间》中有不少数学元素，其中就有彭罗斯 / 埃舍尔的 (a)圆极限 (b)莫比乌斯带 图 25 埃舍尔作品中的数学 图 26 埃舍尔的作品《上升与下降》 图 27 （a）埃舍尔定理 （b）埃舍尔作品《骑士》中的密铺 3http://paulbourke.net A′ B′C ′ B C A (a) (b) orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 24 网站瞬间就被从谷歌涌来的流量所挤垮。为了恢复服务器功 能，Bourke 无奈删除了被请求的页面，并代之以一个说明 页面。但 Slashdot 网站对此事件的报道再次导致了无数网民 的注意，Bourke 的网站又一次被摧垮。 这个涂鸦以称为朱利亚集的分形构造了黄色字母 o，同 时用芒德勃罗（Mandelbrot）分形等图形来装饰字母 G 和 l。 背景中还可以见到构造分形的迭代方程： Zn+1 ＝ Z 2 n ＋ C, 其中 C 为复常数。根据这个简单的二次迭代，从复平面上 任意一个初值 Z0 出发可以得到序列 {Zn, n ≥ 0}，该序列称 为 Z0 的轨迹。朱利亚集是使得上述迭代序列有界的所有初 值的集合。而芒德勃罗集则是使得轨迹有界的所有复数 C 的集合。 芒德勃罗在他的文章中将 C ＝－ 3/4 时的抛物朱利亚 集（Parabolic Julia Set）称为巴西利卡（Basilica）或圣马可 分形（San Marco Fractal），因其形状类似于水城威尼斯圣马 可教堂及其在溢水的广场上的倒影。而 C ＝－ 0.123+0.745i 时的朱利亚集则因其形似兔子而常被称为 Douady 兔子分形 （Douady's Rabbit Fractal）。 1914 年，第一次世界大战爆发，许多数学家和数学学 生也都参与了战争。例如法国著名数学家保罗 •莱维以及埃 米尔 • 博雷尔曾在炮兵部队中服役，莫里斯 •弗雷歇则在前 线为英军做翻译。受伤甚至献出生命的数学家也很多。以加 托导数知名的年轻数学家勒内 • 加托（René Eugène Gateaux, 1889-1914）在 1914 年 10 月 3 日就牺牲了。值得一提的是， 敌对方的德国也有数学家参与并做出牺牲。例如著名数学家 柯朗曾在一战中应征入伍并负伤。 1914 年的朱利亚年仅 21 岁，刚刚结束在巴黎高等师 范学院（Ecole Normale Superieure，简称高师）的学习。 在爱国主义的召唤下，朱利亚也参战了。但 1915 年 1 月， 作为步兵中尉，他的脸部正中心严重受伤而失去了鼻子， 不得不终身戴着皮革面具。朱利亚算是不幸中的万幸，高 师有许多人献出了生命。在巴黎高师可以见到一面 1923 年 12 月 9 日落成的战争纪念碑，这是为了纪念高师的众 多牺牲者。 受伤后的朱利亚没有停止数学研究。1915年12月27日， 法国科学院设立了一个奖金为 3000 法郎，截止到 1918 年的 大奖赛，奖励函数迭代性质的研究。 法国同时在对函数迭代进行研究的还有天文学家法图 （Pierre Fatou, 1878-1929）。学过实分析或测度论的读者都会 学习到的法图引理即是以他的名字命名的。但法图没有参 图 29 朱利亚手绘朱利亚集（图片来自 Audin的书） 图 30 圣马可教堂及其水中影像 (a) (b) 图 31 受伤前后的朱利亚 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 25 图 33 达 •芬奇诞辰 553周年（2005年 4月 14日，意大利） 5 达 • 芬奇诞辰 553 周年 2005 年 4 月 14 日谷歌意大利涂鸦纪念列奥纳多 •达 • 芬奇（Leonardo da Vinci, 1452 年 4 月 15 日 -1519 年 5 月 2 日） 诞辰 553 周年。 我们对达 •芬奇并不陌生。我们知道少年达 •芬奇刻苦 画蛋的故事，也知道他的名画《最后的晚餐》以及分别构成 第一个、第二个字母 "o" 的《维特鲁威人》（Vitruvian Man） 以及《蒙娜丽莎》（Mona Lisa）。 如同文艺复兴时代中许多人一样，达 •芬奇是通才。他 与竞争。1918 年，25 岁的朱利亚凭借发表在《纯粹数学与 应用数学杂志》上长达 199 页的 Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles（《有理函数迭代论》）而轻松获奖。 朱利亚的工作虽然引起了很大的轰动，但遗憾的是，拥有众 多学生的朱利亚并没有引导任何学生继续这方面的研究。而 法图却根本没有学生。德国的豪斯多夫对此也有一些相关的 研究，但因为战争带来的仇恨而导致两国数学家的交流终 止。此外，计算设备的落后也是一个重要原因。朱利亚曾经 手绘过朱利亚集轮廓。直到 1975 年，芒德勃罗在朱利亚的 研究基础上，开创分形这一全新的领域，朱利亚的工作才得 以受到重视。 朱利亚曾获得过很多荣誉，如五次法国科学院奖励， 两次主持法国 Peccot 课程（Peccot Course），1932 年苏黎世 国际数学家大会上的特邀报告等。 2011 年法国数学家、数学历史学家 Audin 在斯普 林格出版的一本专著 Fatou, Julia, Montel: The Great Prize of Mathematical Sciences of 1918, and Beyond 中 对这位现代动力系统的先驱有很多介绍。有兴趣的读者 可以阅读。 我们以谷歌与分形相关的一些题外话来结束本节。 分形的研究得益于现代计算机的发展，也反过来推动 计算机的应用。现在谷歌为了测试新的 HTML5 技术，有 一个实验项目使得我们可以通过浏览器得到朱利亚集合 4。 谷歌涂鸦后来另有一个与分形有联系的涂鸦。谷歌日 本在 2010 年 10 月 31 日发布了一个涂鸦用以纪念日本江户 时代浮世绘派大师葛饰北斋（1760 年 10 月 31 日－ 1849 年 5 月 10 日）诞辰 250 周年。这个涂鸦所用的背景是北斋的 名作《神奈川冲浪里》。 一般认为北斋这幅画里的巨浪具有分形的特征。确实， 芒德勃罗在其 1977 年出版的《大自然的分形几何》一书中， 曾经给出过由计算机模拟的北斋“巨浪”分形图形。 图 32 葛饰北斋诞辰 250周年（2010年 10月 31日，日本） 4 即 http://juliamap.googlelabs.com 图 34 年轻版蒙娜丽莎 《艾尔沃斯 •蒙娜丽莎》 （Isleworth Mona Lisa）与 《蒙娜丽莎》 （2013 年 2 月，瑞士“蒙娜丽莎基金 会”表示，经过最新几何 学及碳测定分析，可提供 新证据证明 2012年 9月首次曝光的《艾尔沃斯 •蒙娜丽莎》是达 • 芬奇的真迹，符合他绘画人体的黄金比例） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 26 虽然没发表任何科学论文，但从他长达 7000 多页的手稿中 （现存约 5000 多页）中可以看出他对光学、建筑学、解剖学、 机械设计、飞行理论等都有很深刻的研究。达 •芬奇也常被 看做是数学家，而且师出名门——他的朋友兼数学老师为意 大利著名数学家帕乔利（Luca Pacioli, 约 1445-1517）。他曾 为帕乔利 1509 年出版的《神圣比例》（Divina Proportione） 一书作插图。 达 • 芬奇和丢勒是透视画法的杰出代表，这需要他们 熟悉几何学。实际上，以他们为代表的透视画法是后来射影 几何发展的直接推动力。达 •芬奇甚至曾说“欣赏我的作品 的人，没有一个不是数学家”。 涂鸦引用的画作《维特鲁威人》和《蒙娜丽莎》中所 蕴含的精准比例，也依赖于精确的数学计算。特别是其中 人体各部位的黄金分割比例充满魅力，这也是《蒙娜丽莎》 特别吸引人的一个原因。而《维特鲁威人》（Vitruvian Man） 原本就是根据古罗马杰出的建筑家马可 •维特鲁威（Marcus Vitruvius Pollio）在他的名著《建筑十书》中对人体比例和 黄金分割的赞美而作。这个的人体像被广泛使用，例如 它就出现在意大利一欧元硬币上，也出现在德国最大的公立 健康保险 TK 卡上。 所谓黄金分割比是指 5 −1 2 :1≈ 0.6180339887. 它在美学上有很多应用。例如五角星中一些线段长度关 系符合黄金分割比。笔记本流行的宽屏液晶显示屏长宽 比一般为 16:9 或 16:10，近似于所谓的黄金矩形，即其 长宽比近似为 1:0.618 的矩形。这样的比例在视觉上使人 很舒服。 请让我举一个书法上应用黄金分割的例子。现代已故 著名书法家，北京师范大学教授启功的书法精美，遒劲有 力。他常常讲述黄金分割在结字，或说字的间架结构方面 的应用。 间架结构历来为书家所重。如赵子昂（元代书法家赵 图 35 达 •芬奇绘菱方八面体（Rhombicuboctahedron），见于帕乔利 的《神圣比例》 图 36 意大利一欧元硬币上的“维特鲁威人” C A B D 0 5 8 13 5 8 13 图 37 启功“黄金律”示意图——图中 A, B, C, D为字之重点 图 38 启功“黄金律”写字实例（摘自启功著《启功丛稿：艺论卷》 之“论书随笔”） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 27 6 罗威尔诞辰 151 周年 2006 年 3 月 13 日谷歌发布涂鸦纪念美国天文学家帕西 瓦尔 •劳伦斯 •罗威尔（Percival Lawrence Lowell, 1855 年 3 月 13 日 -1916 年 11 月 12 日）诞辰 151 周年。 涂鸦中有望远镜以及火星、火星人等元素。罗威尔于 1876 年毕业于哈佛大学数学专业。他在读过卡米伊 • 弗拉 马利翁（Camille Flammarion）的著作《火星》后对火星产 生了极大的兴趣，于是利用个人的财富和影响力在美国亚利 桑那州弗来格斯塔夫（Flagstaff, Arizona Territory ）建立了 罗威尔天文台，专门研究火星。他绘制了大量火星表面图， 提出火星上有外星生物（火星人）的假说。 在这个涂鸦发布当日，谷歌把谷歌地图技术和到当时为止 一些最详尽的火星表面资料图整合了起来，发布了谷歌火星 6。 罗威尔在晚年将他的兴趣转向寻找海王星外的太阳系 第九颗行星。在罗威尔死后，天文台继续这项工作，终于在 1930 年找到了冥王星（Pluto）。 7 Unix 时间特殊秒 2009 年 2 月 14 日谷歌搜索主页出现了一个延续仅约半 小时的简单涂鸦以纪念 Unix 时间特殊秒。严格来说，这不 算涂鸦，在谷歌的涂鸦档案库中没有收藏它。 Unix 时间（Unix epoch, Unix time, POSIX time 或 Unix 孟頫）说“书法以用笔为上，而结字亦须用功”。唐代大书 法家欧阳询就总结有楷书间架结构三十六法（后来的黄自元 推广为九十二法）。 对于初学者，启功更以“结字所关，尤甚于用笔”来 强调结字的重要。启功对结字又引入五八分之“黄金分割 之理”5 ：“将一个大方格纵横各画十三小方格，中间三小 格纵横成十字路，每行小格为五三五。自左上一交叉点言， 其上其左俱为五，其下其右俱为八。此十字路中四交叉点， 各为五比八之位置，合乎黄金分割之理焉。”启功认为“字 中重点，并不在中心一处”，而这四个符合黄金分割比例 的交叉点都可以为重点。这和世俗通行用来辅助书写的九 宫格和米字格不同。启功在其《论书绝句》之九九中总结道： 用笔何如结字难，纵横聚散最相关。 一从证得黄金律，顿觉全牛骨隙宽。 5 启功关于结字与黄金律的谈话可以参考中华书局出版启功著的《启 功丛稿：艺论卷》（2004）或《启功给你讲书法》（2005）。 6 http://www.google.com/mars 图 39 《论书绝句》之九七至九九 图 40 罗威尔诞辰 151周年（2006年 3月 13日，全球） 图 41 Unix时间特殊秒（2009年 2月 14日，全球） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 28 timestamp）是 UNIX 或类 UNIX 系统使用的时间表示方式。 它记录从世界标准时（Coordinated Universal Time，简称 UTC）1970 年 1 月 1 日 0 时 0 分 0 秒起至现在不包括闰秒 的总秒数。世界标准时 2009 年 2 月 13 日 23 时 31 分 30 秒 （即北京时间 2009 年 2 月 14 日 07 时 31 分 30 秒）的 Unix 时间恰为“1234567890”。这个涂鸦提示，在某个恰当的时间， 在Unix终端上输入命令“date +%s” 可以得到这个特殊表示。 8 惠更斯诞辰 380 周年 2009 年 4 月 16 日的谷歌荷兰涂鸦纪念的是荷兰数学家、 物理学家、天文学家和钟表学家克里斯蒂安 •惠更斯（Christiaan Huygens, 1629年04月14日 -1695年07月08日）诞辰380周年。 涂鸦用一个钟表元素纪念他在钟表设计方面的贡献。 1583 时，19 岁的伽利略发现了摆的等时性，即摆动所经历 的时间独立于摆幅。这为设计摆钟提供了基础。惠更斯分别 在 1657 和 1673 年先后发表《摆钟》和《摆式时钟或用于时 钟上的摆的运动的几何证明》。著名的单摆周期公式就是由 他提出来的。 惠更斯研究过圆、二次曲线、复杂曲线、悬链线等平 面曲线。他在数学上最出名的贡献是 1657 年发表的《论赌 博中的计算》（Tractatus de ratiociniis in aleae ludo）。这是概 率论的第一本著作。概率论源于法国数学家帕斯卡与费马对 赌博中产生的问题的讨论。在此启发下，惠更斯经研究而写 出这本著作。因而惠更斯和帕斯卡、费马被认为是概率论先 驱。惠更斯最知名的数学“学生”是莱布尼兹。1672 年惠 更斯与莱布尼兹在巴黎相遇，好学的莱布尼兹从惠更斯那里 学到了不少数学知识，从此开始了对数学的研究。 惠更斯终身未婚，研究成果丰硕，涉及数学、光学、 天文学和力学等众多领域。我第一次在图书馆见到共有 22 卷，摆了两层书架的《惠更斯全集》（Oeuvres complètes de Christiaan Huygens）时，就深切地感受到何谓著作等身。 介绍一件轶事。这个涂鸦的原设计者在其设计的此涂 鸦以及一些其它涂鸦中暗藏了一个有特殊含义的三角记号。 后来被发现而删除。 9 祖冲之诞辰 1580 周年 图 42 惠更斯诞辰 380周年纪念（2009年 4月 16日，荷兰） 图 43 惠更斯手稿中的悬链线 图 44 惠更斯 图 45 祖冲之诞辰 1580周年纪念（2009年 4月 20日，中国大陆） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 29 图 48 陈景润诞辰 76周年纪念（2009年 5月 22日，中国） 密率的计算是一个用有理数最佳逼近实数的问题。祖 冲之的密率的特点就在于分母比 113 小的分数中（夏道行在 其《π 与 e》中证明分母比 8000 小的分数中），没有比它更 接近圆周率的分数的了。华罗庚曾说：“（密率）孕育着不 少道理，这道理可以用来推算天文上很多现象，无怪乎祖 冲之祖孙三代都是算历的专家。” 祖冲之在天文学上的主要 成就有：编制《大明历》，第一次将“岁差”引进历法，提 出在 391 年中设置 144 个闰月，推算出一回归年的长度为 365.24281481 日，误差只有 50 秒左右。 祖冲之曾出任娄县（现为昆山市）令，为官清正，很 受百姓爱戴。2012 年 3 月 14 日，昆山举行了盛大的纪念活 动。不但将昆山蓬朗中心小学天文台正式命名为祖冲之天文 台，而且昆山将从 2012 年起将每年的３月 14 日确定为祖冲 之纪念日。 有兴趣的读者可以进一步阅读夏道行著《π 与 e》以及 华罗庚著《从祖冲之的圆周率谈起》（可见《华罗庚科普著 作选集》）。 10 陈景润诞辰 76 周年 2009 年 5 月 22 日谷歌中国的涂鸦很简洁，纪念的是我 国著名数学家陈景润（1933 年 5 月 22 日 -1996 年 3 月 19 日） 诞辰 76 周年。涂鸦中有方程“1+2”，散落的稿纸，以及厚 2009 年 4 月 20 日谷歌中国纪念我国杰出的数学家和天 文学家祖冲之（429 年 4 月 20 日 -500 年）诞辰 1580 周年。 祖冲之是在谷歌涂鸦上出现的第一个中国古代名人，也是迄 今仅有的几个中国古代名人之一（另有李白、孔子等的纪念 涂鸦）。 这个涂鸦作品用圆周长 C 与直径 d 以及涂鸦下方所附 近似等式 π ≈ 355/113 揭示祖在圆周率 π = C/d 方面的贡献：第一次将圆周率 π 的 值精确到小数点后六位，得出 π 介于 3.1415926 到 3.1415927 之间，并且首次提出密率 355/113（他另外提出约率 22/7）。 密率值 355/113 ≈ 3.14159292 准确到六位小数，令人惊奇地接近圆周率，而且比欧洲早 1100 年。 理论上，利用刘徽的割圆术，祖冲之是可以得到这个 结果。但计算量会很大。现存有关祖冲之的这两项结果的唯 一历史记载见于《隋书》（律历上，志第十一，隋书一六）： “古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、 张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋 末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈， 圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈 一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密 率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周 二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密， 算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥， 是故废而不理。” 图 47 昆山亭林公园内祖冲之像 图 46 百衲本二十四史《隋书》中有关祖冲之圆周率的记载 orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 30 图 51 条形码发明 57周年纪念（2009年 10月 7日，全球） 与不超过两个奇素数的乘积之和。简言之，即“1+2”。 陈景润是中国家喻户晓的“科学英雄”，全民偶像。他 也得到了邓小平等的关心。邓小平曾说：“中国要是有一千 个陈景润就不得了，对他要爱护、赞扬。” 陈景润的名望一定程度上归功于徐迟于 1978 年发表在 《人民文学》的报告文学作品《哥德巴赫猜想》。这篇文章的 时代背景是人们对“科学的春天”的强烈渴望，曾激起了 很多人投身数学的热情。2007 年出版的《巨人不死的密码》 介绍了当代商界名人史玉柱是如何受陈景润的事迹鼓励而 在 1980 年上大学时选择浙江大学数学系的。 今日读起徐迟的这篇作品，我们仍能感受到其中的力 量： “他废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴，进行 了大量的运算。” “一张又一张的运算稿纸，像漫天大雪似的飞舞，铺满 了大地。数字、符号、引理、公式、逻辑、推理，积在楼板上， 有三尺深。忽然化为膝下群山，雪莲万千。他终于登上了攀 登顶峰的必由之路，登上了（1+2）的台阶。” 2003 年福建电视台、中央电视台播放了十四集电视连 续剧《陈景润》，再次感动了亿万观众。 陈景润的工作在国际上也得到普遍赞扬，美国著名数 学家韦伊（André Weil）曾称赞道：“陈景润的每一项工作， 都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”虽然陈景润的数学论 文对于一般读者是难的，但陈景润写有普及性的书籍，如《数 学趣味谈》、《组合数学》 与《初等数论》，有兴趣的读者可 以阅读。 11 条形码的发明 2009 年 10 月 7 日的涂鸦纪念的是条形码发明 57 周年。 1952 年的这一天，伯纳德 •席尔瓦（Bernard Silver）和诺曼 • 约瑟夫 •伍德兰德（Norman Joseph Woodland）获得该项专利。 条形码是一组宽度不等，按照一定的编码规则平行排 列，用来表达一组信息的多个黑白条纹。条形码的下端常常 厚的一叠文稿及其上的一副眼镜。这自然使人浮想起一位戴 着眼睛，埋头执笔孜孜不倦地进行演算的数学家形象来。 陈景润出生于福建福州，从厦门大学数学系毕业后分 配到北京四中任教。但他不善讲课，而且体弱多病，患有结 核病。在北京一年，住医院六次，做了三次手术。最后陈景 润被迫回到家乡摆书摊。厦大校长王亚南听说他的情况后， 将其调回厦大当了一名图书馆资料员。 陈景润利用工作之暇，研读华罗庚的著作，在数论方 面取得了很好的结果。这引起了与陈景润有过类似经历的华 罗庚的重视，从而得以调到科学院工作。 陈景润在 1966 年发表《表达偶数为一个素数及一个不 超过两个素数的乘积之和》。其中的主要结果被称为“陈氏 定理”：任何一个足够大的偶数，都可以表示成一个奇素数 图 49 厦门大学海韵园内数学科学学院前的陈景润纪念雕像（笔者 摄于 2012年 10月 29日） 图 50 1999年中国发行纪念陈景润邮票（邮票中央为陈的头像剪影， 上方为“陈氏定理”公式，背景为其论文手稿） orld of Mathematics 数学烟云W 数学文化/第4卷第1期 31 和“000”来分别编码，假设每个编码中有两位或更多的码 元同时发生错误的概率很小（按此假设“111”几乎不会误 为“100”），则若收到“100”，我们可以认定原码为“000”， 因此我们仍可以将“100”“看作“000”，从而纠正错误。这 只是一个玩具模型，对复杂的情况，要获得有效的纠错码， 需更多的数学。 目前通行各种各样的编码方式。谷歌的这个涂鸦是用 128 码（Code 128）来编码“Google”。这种编码是一种长 度可变、连续性的字母数字条码，可以提供标准 ASCII 中 128 个字元的编码。 在智能手机普及的今天，另外一种应用日益广泛的编 码方式是 QR 码 7。这是一种二维码，广泛用于存储网址、 谷歌地图地址等信息。例如，越来越多的报纸、杂志，张 贴的海报和通知，甚至有的校园导游指示牌（如厦门大学） 等，都印出 QR 码以表示网站信息、地址等内容，读者利 用智能手机拍照，用相应的软件解码就可以直接用手机上 网购物、使用谷歌地图查找路线了。 有兴趣的读者可以通过网站 on line barcode reader8 上 传条形码图片而获取条形码的编码方式以及所包含的信息。 也可以通过网站 free online barcode generator9 选取编码方式 对信息进行编码以得到条形码。 谷歌涂鸦此前另有两个与编码有关的涂鸦。 2009 年 4 月 27 日用摩尔斯码编码了“Google”。这 是为了纪念美国发明家、摩尔斯电码的创立者萨缪尔 • 摩尔斯（Samuel Morse, 1791 年 4 月 27 日 -1872 年 4 月 2 日）诞辰 218 周年。席尔瓦与伍德兰德的条形码最早是 用同心圈来编码，后来在摩尔斯码的启发下而改用不等 宽线条。 2006 年的 1 月 4 日，谷歌用布莱叶点字法编码了 “Google”这六个字母 10，这是为了纪念法国发明世界通用 又有数字编码。在超市大多数物品的包装、出版物的封底、 火车票和机票、某些