冲刺2009线性代数串讲讲义 吕洪波 版权所有 翻录必究
一 子式、余子式、代数余子式、顺序主子式
二
三 矩阵的运算
注:几个运算规律
注:关于初等变换
四 可逆矩阵
注:
(2)矩阵可逆的充要条件是可以写成初等矩阵的乘积.
五 矩阵的秩
注:(1) 求秩方法:初等变换法,定义法,公式法.
(3) 结合点:向量组的线性关系,基础解系,有解判定,同解方程组.
六 矩阵的三大关系
结合点: (1) 矩阵等价与向量组等价: 同阶矩阵等价的充要条件秩同; 但秩同仅是向量组等价的必要条件.(2) 相似的必要条件: 略
七 矩阵的特征值与特征向量
注:特征值常用结论:
(1) 属于特征值
的特征向量不唯一;但一个特征向量只能属于一个特征值.
(2)
与
有相同的特征值.
(3) 若
可逆,
是
的特征值,则
,且
是
的特征值.
(4) 若
是
的非零特征值,则
是
的特征值.
(5) 若
是
的特征值,
是
的矩阵多项式,则
是f(
)的特征值.
(6) 若
是幂零阵,则特征值为( ).
(7) 若
是幂等阵,则特征值为( ).
(8) 若
是对合阵,则特征值为( ).
(9) 属于不同特征值的特征向量线性无关.
(10)
的最高次项是( ),常数项是( ).
(11)
(12) 设
,
个特征值为
,则
[1]
[2]
八 判别向量组的线性关系
注: 常见判别方法: (1) 定义法 (2) 矩阵秩法 (3) 行列式法
提示:定义法,“设等式,看系数”
九 线性关系与线性方程组
十 线性方程组的求解
命题规律与结合点: (1) 解的结构与矩阵的秩: 选择题
(2) 基础解系的判定与向量组的线性关系: 证明 (01)
(3) 方程组求解与行列式(02,04,08),与线性
示(02,),与秩(06): 计算题
(4) 同解与矩阵的秩, 公共解问题: 选择题或计算题 (02,05,07)
(5)
问题 选择题或计算题 (97,98,05)
(6) 非齐次唯一解的问题 (03,04)
(7) 多个方程组同时求解与矩阵方程与线性表示 (05)
十一 相似对角化
结合点:相似的必要条件;实对称矩阵的性质;特征值和特征向量的求解.
本题为2005年数学4真题,
略。
本题为2006年真题,答案略。
十二 正定矩阵
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