两个不等价的级数问题

两个不等价的级数问题 与绝对收敛和条件收敛的概念有关 龚成通 http://blog.sina.com.cn/slsq 【10考研朋友疯狂的机器人同学的问题】： 龚老师：我前天搞到你在2007的一份模拟试卷，你在其中的一道选择题里面说“级数 的收敛性能够保证级数 的收敛性；如果级数 的收敛性却不能保证级数 的收敛性”，但是没有说具体道理？这里希望你能说一说。 【龚成通老师的回答】：谢谢你对我以往的模拟试卷的关注，这个问题并不很复杂，我不是“没有说具体道理”，因为详细道理我在课堂里已经详细讲过了，所以后来形成的书面表达就比较简单了一些。下面给你详细说说。 这两个问题从形式是看不出他们之间的区别，但是仔细观察，在“通项幂次”上，还是有一点细微的差别：一个是小偶数（2006）在前，大奇数（2007）在后，另一个是小奇数（2007）在前，大偶数（2008）在后。就是这个奇偶的差别，使两个问题产生了本质上的不等价的天地差别。 【问题1】若级数 收敛，试级数 也一定收敛，且为绝对收敛。 【证明】若级数 收敛，则 。所以一定存在 ，当 时，有 ，即 。于是当 时，有 收敛。这就证明了级数 一定收敛，即级数 一定收敛，而且是绝对收敛。 【问题2】若级数 收敛，能不能断定级数 也一定收敛。 【结论】不一定。 （1）如果级数 绝对收敛，与上面的证明一样，可以断定级数 也一定收敛。 （2）如果级数 条件收敛，那么问题就比较复杂了。“收敛”与“发散”都有可能。举下面两个例子来。 ① ，因为 ，所以级数 条件收敛；而 ，所以级数 发散。 ② ，因为 ，所以级数 条件收敛；而 ，所以级数 是一个收敛的正项级数（注意正项级数只有收敛和发散的概念，没有条件收敛和绝对收敛的概念，所以有的书上称其为“绝对收敛”纯属“画蛇添足”。） 请在转帖引用本文的内容时，务必注明出处 http://blog.sina.com.cn/slsq 相关链接： 10-064．单调有界数列的又一个例子 10-063．典型问题推荐：数列单调有界性的证明 10-062．关于定积分的“翻折变换”换元法 10-061．不连续的函数就一定没有原函数吗？ 10-060．一个与傅里叶级数有关的问题 10-059．偏微分方程经换元后的新方程 10-058．绝对收敛级数和条件收敛级数及其线性组合 10-057．典型例题推介之二 10-056．形形色色的“罗尔定理”极其证明 10-055．利用“柯西中值定理”证明的一个综合性问题 10-054．“函数有界性”与“导数有界性”之间的关系 10-053．关于含绝对值记号的函数的积分问题 10-052．关于含绝对值记号的函数的求导问题 10-051．关于非初等形式反函数的积分问题 10-050．关于极坐标系下曲线的切线问题 10-049．关于非初等形式反函数的极限问题 10-048．关于极坐标系下曲线的渐近线问题 10-047．高等数学 考研复习 超纲典例集锦 10-046．如何逐次交换三次积分的积分次序 10-045．无穷小量都有“阶数”的概念吗？ 10-044．“局部非零极限”能不能随便先行计算 10-043．考研数学：二元泰勒公式的复习与运用（续） 10-042．考研数学“二元泰勒公式”怎么复习与运用 10-041．典型例题推介之一 10-040．利用循环递推法计算定积分问题（续） 10-039．积分值与积分变量记号无关（续） 10-038．积分值与积分变量记号无关 10-037．导函数没有局部保号性 10-036．利用循环递推法计算定积分的一个例子 10-035．关于积分中值定理问题 10-034．一道综合性的曲面积分问题 _1317884337.unknown _1317884401.unknown _1317884655.unknown _1317898500.unknown _1317898743.unknown _1317898854.unknown _1317898695.unknown _1317885551.unknown _1317885613.unknown _1317884453.unknown _1317884626.unknown _1317884422.unknown _1317884381.unknown _1317792058.unknown _1317792073.unknown _1317792087.unknown _1317792043.unknown