数学题型专题--解答题的解法

解答的解法 1.内容概要： 在高考中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。 纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点： ①对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。 ②对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。 ③对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。 ④在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。 ⑤出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势. 高考解答题基本题型说明： 高考解答题为６个，一般排列于17～22题，其中： 17、18题为基础题，平均理科得分为9～10分，难度系数0.7～0.8，可由教材例题或习题改编，或重新编拟； 19、20题为中档题，平均得分5～8分，难度系数0.4～0.6，多在知识交汇点、学生易错点出题，题源广泛； 21、22题为难题，21题平均得分3～6分，22题平均得分2～4分，主要由较难内容，或与高等数学相关问题，或由高数学竞赛题改编； 20、21、22三题内容可以相互调整，调整时，相应难度也应作调整。 高考解答题具体要求如下： 第17题：①三角函数式化简、求值；②三角函数或化简，求周期，单调区间，最值；③三角式待定系数计算，求相关量；④与三角形、正余弦定理相关的三角化简问题；⑤与向量相关的三角函数化简问题；⑥解斜三角形；⑦三角函数的应用问题。 第18题：①古典概率 + 随机概率分布列 + 数学期望；② 二项分布 + 分布列 + 数学期望；③由条件求出概率P + 分布列 + 数学期望；④由期望、方差求待定系数 + 由分布列求相关问题；⑤互斥、独立事件概率 + 分布列 + 期望。 第19题：①以正方体为载体；②以长方体为载体；③以三棱锥、四棱锥为载体；④以三棱柱为载体；⑤以多面体为载体；⑥图形翻折；⑦以二面角为载体等解答下列问题：①求证：线线、线面、面面平行与垂直关系；②计算：异面直线所成角、二面角；③计算：距离、体积等。 第20题：①求椭圆方程 + 直线截椭圆弦长 + 三角形的面积问题；②向量 + 椭圆方程 + 弦长 + 三角形的面积；③ 椭圆方程 + 对称问题+范围；④椭圆方程 + 范围 + 最值（几何问题）；⑤ 双曲线方程 + 几何问题 + 最值；⑥抛物线方程 + 焦点弦 + 三角形的面积；⑦抛物线方程 + 切线 + 三角形的面积；⑧抛物线方程 + 对称问题 + 范围；⑨求曲线轨迹问题（→圆、椭圆、抛物线、双曲线）+ 其它问题。 第21题：①等差、等比数列性质、求 ， 等；②递归数列→等差、等比问题→求 ， ；③函数→递归数列→……或几何图形→递归数列→……；④数列 + 概率；⑤数列 + 数学归纳法 + 不等式或数列求和 + 证明不等式；⑥数列 + 二项式定理 + 不等式；⑦数列 + 三角函数 +……；⑧由高等数学改编数列问题。 第22题：①求函数的单调区间、最值 + 不等式或含参数的函数单调区间、最值；②求函数的单调区间 + 线性规划；③函数的单调性 + 二项式定理+不等式；④函数的单调区间、最值 + 参数取值范围；⑤含三角函数的复合函数单调区间 + 最值；⑥ 函数 + 组合恒等式 + 不等式；⑦二次函数+含绝对值不等式 + 函数单调区间；⑧由高等数学改编问题（函数问题）。 2.典例精析： 例1.（08年全国卷Ⅰ）设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最大值． 【解析】（Ⅰ）在 中，由正弦定理及 ，得 即 ，则 ； （Ⅱ）由 得 当且仅当 ， ， 时，等号成立， 故当 ， 时， 的最大值为 . 【点评】一道貌似普通的题目既考查了三角恒等变形、解三角形，又考查了利用均值定理求最值等知识．知识点“跨度”不算太小，感觉既在情理之中，又在预料之外．本道试题的解法很多，为培养学生的发散思维提供了一个很好的机会． 例2.（08江苏）已知函数 ， （ ， ， 为常数）．函数 定义为：对每个给定的实数 ， . （1）求 对所有实数 成立的充分必要条件（用 ， 表示）； （2）设 是两个实数，满足 ，且 ．若 ，求证：函数 在区间 上的单调增区间的长度之和为 （闭区间 的长度定义为 ）. 【解析】（1）由 的定义可知， （对所有实数 ）等价于 （对所有实数 ）这又等价于 ，即 对所有实数 均成立. （*） 由于 的最大值为 ， 故（*）等价于 ，即 ，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论 （i）当 时，由（1）知 （对所有实数 ） 则由 及 易知 ， 再由 的单调性可知， 函数 在区间 上的单调增区间的长度 为 （参见示意图1） （ii） 时，不妨设 ，则 ，于是 当 时，有 ，从而 ； 当 时，有 从而 ； 当 时， ，及 ，由方程 解得 图象交点的横坐标为 ⑴ 显然 ， 这表明 在 与 之间。由⑴易知 综上可知，在区间 上， （参见示意图2） 故由函数 及 的单调性可知， 在区间 上的单调增区间的长度之和为 ，由于 ，即 ，得 ⑵ 故由⑴、⑵得 综合（i）（ii）可知， 在区间 上的单调增区间的长度和为 . 【点评】本题考查考生阅读理解能力及综合运用函数、不等式、简易逻辑等知识进行推理论证的能力．第(1)问注重考查学生数学语言的翻译能力以及等价转化能力，本小题事实上就是考查学生对 定义的理解，将问题等价转化为 恒成立，进而等价转化为求函数 的最大值. 第(2)问重点考查了学生分类讨论和数形结合的能力．例如对 与 大小的讨论，来源于对第(1)问的认识．又如在(2)中当 时，对“ ”，“ ”，“ ”的分类讨论，考查学生对含绝对值函数的基本处理思想和技能的掌握程度，通过对含绝对值函数转变为分段函数进行分析.本题以函数知识综合为载体，在初等解法中追求完美地体现数形结合、等价转化、分类讨论等思想． 例3.（０８年陕西）已知数列 的首项 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式；全 品 高 考网 （Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ； （Ⅲ）证明： ． 【解析】（Ⅰ） ，∴ ，即 ， 又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列． 则 ，∴ ． （Ⅱ）令 ，则 ，于是作差： 所以对任意的 ， ， ； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的 ，有 EMBED Equation.DSMT4 ． ∴取 ， 则 ． ∴原不等式成立． 【点评】数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能. 从参考答案提供的解答方法来看，第（Ⅰ）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（Ⅱ）题是用证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法求解的；而第（Ⅲ）题是借助（Ⅱ）的结论，对 取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的. 例４.（０７年江西）设动点 到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得 ． （1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程； （2）过点 作直线交双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 ，其中点 为坐标原点． 【解析】（1）在 中， ，即 ， ，即 （常数）， 所以点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线． 方程为： ． （2）设 ， ，直线 的方程为： ，代入 ，得 ， ∴ ， 从而 ， ∴ ∵ ，∴ ，则 ， ∴ ∵点 在双曲线的右支上，∴ ，即 . 注意到 ，解得 . 【点评】：这是一道解析几何与三角的综合题．在第(Ⅱ)小题中，应用直线 的方程： ，一是避免了对直线 的斜率是否存在的讨论；二是直接由 建立了关于 的不等式，回避了对曲线范围的讨论．在解析几何的复习中，对于学有余力的学生，适当进行一些加深拓宽，有助于减少解析几何的运算量，提高学生的解题能力． 3.跟踪练习： 练习1.已知 的三个内角 所对的边分别为 ,且 . (Ⅰ)求角 的大小； (Ⅱ)现给出三个条件：① ；② ；③ . 试从中选择两个条件求 的面积(注：只需选择一个答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分). 练习2.如图，已知 平面 ， 平面 ，三角形 为等边三角形，学科网 ， 为 的中点 （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ； （3）求二面角 的大小。 练习3.已知函数. （Ⅰ）写出的单调区间； （Ⅱ）解不等式； （Ⅲ）设，求在上的最大值. 练习4.已知点P在曲线 上，设曲线C在点P处的切线为 ，若 与函数 的图像交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，设A、B的横坐标分别为 、 （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）设数列 数列 满足 ，求 和 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当 练习5.已知 , 且 . (Ⅰ)当 时,求 在 处的切线方程； (Ⅱ)当 时,设 所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间 的长度定义为 ),试求 的最大值； (Ⅲ)是否存在这样的 ，使得当 时, ?若存在,求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 练习6.圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的方程为 .圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线： “已知直线 与曲线 ： 交于 两点， 的中点为 ，若直线 和 ( 为坐标原点)的斜率都存在，则 ”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. （Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”； （Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题： 1 过点 作直线 与椭圆 交于 两点，求 的中点 的轨迹 的方程； 2 过点 作直线 与有心圆锥曲线 交于 两点，是否存在这样的直线 使点 为线段 的中点？若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由. 参考答案 1.(Ⅰ)由 ,得 ,所以 则 ,所以 (Ⅱ)方案一：选择①③. ∵A=30°,a=1,2c-( +1)b=0，所以 ，则根据余弦定理， 得 ，解得b= ,则c= ∴ . 方案二：选择②③. 可转化为选择①③解决,类似给分(注：选择①②不能确定三角形). 2.（1）证明：取 的中点 ，连 ， ∵ 为 的中点 ∴ ，而 平面 ， 平面 ， 故 ，又 ， ∴四边形 为平行四边形 ∴ ,又 所以 平面 （2）∵ 为等边三角形，∴ ，而 故 平面 ∵ ，∴ 平面 所以平面 平面 （3）在平面 内作 交 于 ，在平面 内作 交 于 ，连 ∵平面 平面 ∴ 平面 ，由三垂线定理得 ∴ 为二面角 的平面角 设 ，则 ， ∴ 又 ，其中 ∴ ∴ 所以二面角 的大小为 （或 ）. 方法二： 设 ，则 ；由已知得 建立如图所示的坐标系， 则： ∵ 为 的中点，∴ （1）证明： ∵ ，A不在平面 内，∴ 平面 （2）∵ ∴ ，∴ ∴ 平面 ，又 平面 ∴平面 平面 （3）设平面 的法向量为 由 可得： 设平面 的法向量为 由 可得： ∴ ∴二面角 的大小为 . 3.（Ⅰ） 的单调递增区间是； 单调递减区间是. （Ⅱ）解： 学 · 不等式的解集为 · （Ⅲ）（1）当时，是上的增函数，此时在上的最大值是； · （2）当时，在上是增函数，在上是减函数，此时在上的最大值是 ； （3）当时，令， 解得. ①当时，此时，在上的最大值是； ②当时，此时，在上的最大值是. 综上，当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是. 4.（Ⅰ） ，又点P的坐标为 ， ∴曲线C在P点的切线斜率为， 则该切线方程为 ， 由 因此， （Ⅱ） 即 ①当 ； ②当 为公比等比数列， 综合①、②得 （Ⅲ） EMBED Equation.3 故不等式 5. (Ⅰ)当时, . 因为当 时, , , 且 , 所以当 时, ,且 ， 由于 ,所以 ,又 , 故所求切线方程为 , 即 . (Ⅱ) 因为 ,所以 ,则 当 时,因为 , , 所以由 ,解得 , 从而当 时, 当 时,因为 , , 所以由 ,解得 , 从而当 时, ③当 时,因为 , 从而 一定不成立 综上得,当且仅当 时, , 故 从而当时, 取得最大值为 (Ⅲ)“当 时, ”等价于“ 对 恒成立”, 即“ (*)对 恒成立” 1 当 时, ,则当 时, ,则(*)可化为 ,即 ,而当 时, , 所以 ,从而 适合题意。 2 当 时, . 1 当 时,(*)可化为 ,即 ,而 , 所以 ,此时要求 当 时,(*)可化为 , 所以 ,此时只要求 ， (3)当 时,(*)可化为 ,即 ,而 , 所以 ,此时要求 ， 由⑴⑵⑶,得 符合题意要求. 综合①②知,满足题意的存在,且 的取值范围是 . 6.（Ⅰ）证明 设 相减得 注意到 有 即 （Ⅱ）①设 由垂径定理， 即 化简得 当 与 轴平行时， 的坐标也满足方程. 故所求 的中点 的轨迹 的方程为 ； 2 假设过点P(1,1) 作直线 与有心圆锥曲线 交于 两点，且P为 的中点，则 由于 直线 ，即 ，代入曲线 的方程得 即 由 得 . 故当 时，存在这样的直线，其直线方程为 ； 当时，这样的直线不存在. O y x (a,f(a)) (b,f(b)) 图1 O y x (a,f(a)) (b,f(b)) (x0,y0) (p2,2) (p1,1) 图2 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� _1274500504.unknown _1299219241.unknown _1300127678.unknown _1300169816.unknown _1300806950.unknown _1300807041.unknown _1300807049.unknown _1300807057.unknown _1300807061.unknown _1301496153.unknown _1301497117.unknown _1300807063.unknown _1300807064.unknown _1300807065.unknown _1300807062.unknown _1300807059.unknown _1300807060.unknown _1300807058.unknown _1300807053.unknown _1300807055.unknown _1300807056.unknown _1300807054.unknown _1300807051.unknown _1300807052.unknown _1300807050.unknown _1300807045.unknown _1300807047.unknown _1300807048.unknown _1300807046.unknown _1300807043.unknown _1300807044.unknown _1300807042.unknown _1300807033.unknown _1300807037.unknown _1300807039.unknown _1300807040.unknown _1300807038.unknown _1300807035.unknown _1300807036.unknown _1300807034.unknown _1300806954.unknown _1300807031.unknown _1300807032.unknown _1300806955.unknown _1300806952.unknown _1300806953.unknown _1300806951.unknown _1300806933.unknown _1300806942.unknown _1300806946.unknown _1300806948.unknown _1300806949.unknown _1300806947.unknown _1300806944.unknown _1300806945.unknown _1300806943.unknown _1300806937.unknown _1300806940.unknown _1300806941.unknown _1300806938.unknown _1300806935.unknown _1300806936.unknown _1300806934.unknown _1300170657.unknown _1300806929.unknown _1300806931.unknown _1300806932.unknown _1300806930.unknown _1300170997.unknown _1300171037.unknown _1300170969.unknown _1300170440.unknown _1300170580.unknown _1300170376.unknown _1300170408.unknown _1300170361.unknown _1300170257.unknown _1300128872.unknown _1300130359.unknown _1300131392.unknown _1300169673.unknown _1300169793.unknown _1300169505.unknown _1300130858.unknown _1300130883.unknown _1300130379.unknown _1300130260.unknown _1300130282.unknown _1300130307.unknown _1300129028.unknown _1300129055.unknown _1300130163.unknown _1300129013.unknown _1300128385.unknown _1300128695.unknown _1300128841.unknown _1300128552.unknown _1300127706.unknown _1300127871.unknown _1300127696.unknown _1299556512.unknown _1299643487.unknown _1300091934.unknown _1300127033.unknown _1300127197.unknown _1300127638.unknown _1300127046.unknown _1300127013.unknown _1300127026.unknown _1300126991.unknown _1299643812.unknown _1299644417.unknown _1299661632.unknown _1300091913.unknown _1300091933.unknown _1300091893.unknown _1299644496.unknown _1299644569.unknown _1299644664.unknown _1299645059.unknown _1299644520.unknown _1299644448.unknown _1299644459.unknown _1299644437.unknown _1299644289.unknown _1299644387.unknown _1299644395.unknown _1299644318.unknown _1299644035.unknown _1299643699.unknown _1299643727.unknown _1299643744.unknown _1299643713.unknown _1299643626.unknown 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