三角函数的积分

12-1 三角函數之積分 當結合一些有用的三角恒等式及代換法時，可以求出更多含有三角函數型式的積 分，以下是幾種常見的類型： 型 1. 及 ∫ xdxnsin ∫ xdxncos （1）n為正奇數：可利用變數變換，提出 或xsin xcos 後，再利用恒等式 或 。 xx 22 cos1sin −= xx 22 sin1cos −= （ 為正整數） ∫∫∫ == + xdxxxdxxdx kkn sinsinsinsin 212 k 化簡得 ( ) ( )∫∫ −−= xdxxdx kn coscos1sin 2 令 xu cos= ，得 ( )∫∫ −−= duuxdx kn 21sin 再利用羃函數之積分公式即可。 1. 求 。 ∫ xdx5sin 解答： ∫ xdx5sin 提出 xsin ∫= xdxxsinsin4 用 對 作轉換 xx 22 cos1sin −= x2sin ( )∫ −= xdxx sincos1 22 將 ( )22cos1 x− 展開 提出負號，將 改寫成 (∫ +−= xdxxx sincoscos21 42 ) ) xdxsin xdxsin− ( )(∫ −+−−= xdxxx sincoscos21 42 利用變數變換 xdxduxu sincos −=⇒= (∫ +−−= duuu 4221 ) 將不定積分求出 cuuu +−+−= 53 5 1 3 2 將 xu cos= 代回式子 cxxx +−+−= 53 cos 5 1cos 3 2cos （2）n為正偶數：利用三角函數半角公式 2 2cos1sin2 xx −= ； 2 2cos1cos2 xx += 已知 ( )∫∫∫ == dxxxdxxdx kkn 22 sinsinsin 代入 2 2cos1sin2 xx −= 得 ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= dxxxdx k n 2 2cos1sin 2. 求 xdx∫ 4sin 解答： 解： ∫ xdx4sin ( )∫= dxx 22sin 利用半角公式 2 2cos1sin2 xx −= ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= dxx 2 2 2cos1 將 2 2 2cos1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x 展開 (∫ +−= dxxx 2cos2cos2141 2 ) 再用一次半角公式 2 4cos12cos2 xx += ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++−= dxxx 2 4cos12cos21 4 1 將被積分式化簡 ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−= dx xx 2 4cos2cos2 2 3 4 1 將被積分式提出 2 1 (∫ +−= dxxx 4cos2cos4381 ) 計算不定積分 cxxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= 4 4sin2sin23 8 1 型 2. ∫ xdxx nm cossin （1）若 或 為奇數： 可利用變數變換，將奇次方提出 或 m n xsin xcos 後，再利用恒等式 或 。 xx 22 cos1sin −= xx 22 sin1cos −= 3. 求 xdxx 43 cossin −∫ 解答： xdxx 43 cossin −∫ 提出 xsin xdxxx sincossin 42 ⋅⋅= −∫ 用 對 作轉換 xx 22 cos1sin −= x2sin( )∫ ⋅−= − xdxxx sincoscos1 42 將 ( ) xx 42 coscos1 −− 展開 ( )∫ ⋅−= −− xdxxx sincoscos 24 提出負號，將 改寫成 xdxsin xdxsin−( ) ( )∫ −⋅−−= −− dxxxx sincoscos 24 利用變數變換 xdxduxu sincos −=⇒= (∫ −− −−= duuu 24 ) 計算不定積分 Cuu +−= −− 13 3 1 將 x x u sec cos 11 ==− 代回式子 Cxx +−= secsec 3 1 3 （2）若 、 皆為偶數： 利用三角函數半角公式 m n 2 2cos1sin2 xx −= ； 2 2cos1cos2 xx += 4. 求 xdxx 42 cossin∫ 解答： xdxx 42 cossin∫ 利用半角公式 dxxx 2 2 2cos1 2 2cos1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= ∫ 將 2 2cos1 x− 2 2 2cos1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x 展開 ( )( )( )dxxxx∫ ++−= 8 2cos12cos12cos1 將 81 提出 ( )( )(∫ ++−= dxxxx 2cos12cos12cos181 ) ( )( ) ( )xxx 2cos12cos12cos1 −=+− ( )(∫ +−= dxxx 2cos12cos181 2 ) 利用三角恒等式 xx 2sin2cos1 22 =− ( )(∫ += dxxx 2cos12sin81 2 ) 將被積分式展開 ( ) ( )( )∫∫ += dxxxdxx 2cos2sin812sin81 22 計算不定積分 Cxxx +⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 3 2sin 16 14sin 4 1 16 1 3 型 3. ∫ 、 、⋅ nxdxmx cossin ∫ ⋅ nxdxmx sinsin ∫ ⋅ nxdxmx coscos 利用積化和差公式： ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ sinsin 2 1cossin ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −−+−=⋅ coscos 2 1sinsin ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ coscos 2 1coscos 5. 求 xdxx 3cos2sin∫ 解答： 利用xdxx 3cos2sin∫ ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ sinsin21cossin [ dxxx∫ −+= )sin(5sin21 ] 計算不定積分 Cxx +−−= cos 2 15cos 10 1 型 4. 、dxxn∫ tan dxxn∫cot 利用三角函數恒等式 、 1sectan 22 −= xx 1csccot 22 −= xx 6. 求 ∫ xdx2tan 解答： ∫ xdx2tan 利用三角函數恒等式 1sectan 22 −= xx (∫ −= dxx 1sec2 ) 計算不定積分 cxx +−= tan 7. 求 ∫ xdx3tan 解答： ∫ xdx3tan 利用三角函數恒等式 1sectan 22 −= xx (∫ −= dxxx 1sectan 2 ) 將被積分式展開 ( )dxxxx∫ −= tansectan 2 ∫∫ −= xdxxdxx tansectan 2 變數變換令 xdxduxu 2sectan =⇒= ∫∫ −= xdxudu tan 將不定積分求出 = Cxu ++= cosln 2 1 2 將 xu tan= 代回式子 Cxx ++= coslntan 2 1 2 型 5. （ 為偶數或 為奇數） （1）當 為偶數時， 型可先分出 ，及 變數變換 dxxx nm∫ ⋅sectan n m n dxxx nm∫ ⋅sectan 1tansec 22 += xx xu tan= 、 再化簡 xdxdu 2sec= 8. 求 ∫ xdxx 42 sectan 解答： ∫ xdxx 42 sectan 將 改寫成xdx4sec ( )( )xdxx 22 secsec ( )(∫= xdxxx 222 secsectan ) ) 利用 1tansec 22 += xx ( )(∫ −= xdxxx 222 sectan1tan 將 ( )xx 22 tan1tan − 展開 ( )( )∫ −= xdxxx 242 sectantan 變數變換，令 xdxduxu 2sectan =⇒= ( )∫ −= duuu 42 求出不定積分 Cuu +−= 53 5 1 3 1 將 xu tan= 代回式子 Cxx +−= 53 tan 5 1tan 3 1 （2）當 為奇數時， 型可先分出m dxxx nm∫ ⋅sectan xxsectan ， 及變數變換 xu sec= 、 xdxxdu tansec= 再化簡 9. 求 ∫ xdxx 53 sectan 解答： ∫ xdxx 53 sectan 先分出 xxsectan (∫= xdxxxx tansecsectan 42 ) ) 利用三角恒等式 1sectan 22 −= xx ( ) (∫ −= xdxxxx tansecsec1sec 42 變數變換 xu sec= 、 xdxxdu tansec= ( )∫ −= duuu 124 將被積分式展開 ( )∫ −= duuu 46 將不定積分求出 Cuu +−= 57 5 1 7 1 將 xu sec= 代回式子 Cxx +−= 57 sec 5 1sec 7 1 型 6 、 令 ， ；或 ∫ axdxxn sin ∫ axdxxn cos nxu = bxdxdv cos= bxdxdv sin= 。 再代入分部積分公式，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xduxvxvxuxdvxu 10. 求 ∫ xdxx 2sin 解答： 令 xu = ， xdxdv 2sin= 則 ，dxdu = xv 2cos 2 1−= ∫ xdxx 2sin 利用分部積分 ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−= dxxx x 2cos 2 12cos 2 求出不定積分 ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛− dxx2cos2 1 cxxx ++−= 2sin 4 12cos 2 練習題 1. 求 ∫ xdxx 2sin 解答： 提出 ∫ xdx3sin xsin 用 對 作轉換 ∫= xdxxsinsin2 xx 22 cos1sin −= x2sin 提出負號，將 改寫成( )∫ −= xdxx sincos1 2 xdxsin xdxsin− ( )( )∫ −−−= xdxx sincos1 2 令 xdxduxu sincos −=⇒= 將不定積分求出 ( )∫ −−= duu 21 Cuu ++−= 3 3 將 xu cos= 代回式子 Cxx ++−= 3 coscos 3 練習題 2. 求 ( ) ( )dxxx∫ − 2cos3cos 解答： ( ) ( )dxxx∫ − 2cos3cos 三角函數性質 ( ) xx 2cos2cos =− ( ) ( )dxxx∫= 2cos3cos 積化和差 ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ coscos21coscos ( ) ( )[ dxxx∫ += cos5cos21 ] 求出不定積分 ( ) ( ) Cxx +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += sin 5 15sin 25 1