三角函数的积分
12-1 三角函數之積分
當結合一些有用的三角恒等式及代換法時,可以求出更多含有三角函數型式的積
分,以下是幾種常見的類型:
型 1. 及 ∫ xdxnsin ∫ xdxncos
(1)n為正奇數:可利用變數變換,提出 或xsin xcos 後,再利用恒等式
或 。 xx 22 cos1sin −= xx 22 sin1cos −=
( 為正整數) ∫∫∫ == + xdxxxdxxdx kkn sinsinsinsin 212 k
化簡得 ( ) ( )...
12-1 三角函數之積分
當結合一些有用的三角恒等式及代換法時,可以求出更多含有三角函數型式的積
分,以下是幾種常見的類型:
型 1. 及 ∫ xdxnsin ∫ xdxncos
(1)n為正奇數:可利用變數變換,提出 或xsin xcos 後,再利用恒等式
或 。 xx 22 cos1sin −= xx 22 sin1cos −=
( 為正整數) ∫∫∫ == + xdxxxdxxdx kkn sinsinsinsin 212 k
化簡得 ( ) ( )∫∫ −−= xdxxdx kn coscos1sin 2
令 xu cos= ,得 ( )∫∫ −−= duuxdx kn 21sin
再利用羃函數之積分公式即可。
1. 求 。 ∫ xdx5sin
解答:
∫ xdx5sin 提出 xsin
∫= xdxxsinsin4 用 對 作轉換 xx 22 cos1sin −= x2sin
( )∫ −= xdxx sincos1 22 將 ( )22cos1 x− 展開
提出負號,將 改寫成 (∫ +−= xdxxx sincoscos21 42 )
)
xdxsin xdxsin−
( )(∫ −+−−= xdxxx sincoscos21 42 利用變數變換 xdxduxu sincos −=⇒= (∫ +−−= duuu 4221 ) 將不定積分求出
cuuu +−+−= 53
5
1
3
2 將 xu cos= 代回式子
cxxx +−+−= 53 cos
5
1cos
3
2cos
(2)n為正偶數:利用三角函數半角公式
2
2cos1sin2 xx −= ;
2
2cos1cos2 xx +=
已知 ( )∫∫∫ == dxxxdxxdx kkn 22 sinsinsin
代入
2
2cos1sin2 xx −=
得 ∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−= dxxxdx
k
n
2
2cos1sin
2. 求 xdx∫ 4sin
解答:
解: ∫ xdx4sin
( )∫= dxx 22sin 利用半角公式 2 2cos1sin2 xx −=
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−= dxx
2
2
2cos1 將
2
2
2cos1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − x 展開
(∫ +−= dxxx 2cos2cos2141 2 ) 再用一次半角公式 2 4cos12cos2 xx +=
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
++−= dxxx
2
4cos12cos21
4
1 將被積分式化簡
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−= dx
xx
2
4cos2cos2
2
3
4
1 將被積分式提出
2
1
(∫ +−= dxxx 4cos2cos4381 ) 計算不定積分
cxxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
4
4sin2sin23
8
1
型 2. ∫ xdxx nm cossin
(1)若 或 為奇數:
可利用變數變換,將奇次方提出 或
m n
xsin xcos 後,再利用恒等式
或 。
xx 22 cos1sin −= xx 22 sin1cos −=
3. 求 xdxx 43 cossin −∫
解答:
xdxx 43 cossin −∫ 提出 xsin
xdxxx sincossin 42 ⋅⋅= −∫ 用 對 作轉換 xx 22 cos1sin −= x2sin( )∫ ⋅−= − xdxxx sincoscos1 42 將 ( ) xx 42 coscos1 −− 展開 ( )∫ ⋅−= −− xdxxx sincoscos 24 提出負號,將 改寫成 xdxsin xdxsin−( ) ( )∫ −⋅−−= −− dxxxx sincoscos 24 利用變數變換 xdxduxu sincos −=⇒= (∫ −− −−= duuu 24 ) 計算不定積分
Cuu +−= −− 13
3
1 將 x
x
u sec
cos
11 ==− 代回式子
Cxx +−= secsec
3
1 3
(2)若 、 皆為偶數:
利用三角函數半角公式
m n
2
2cos1sin2 xx −= ;
2
2cos1cos2 xx +=
4. 求 xdxx 42 cossin∫
解答:
xdxx 42 cossin∫ 利用半角公式
dxxx
2
2
2cos1
2
2cos1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−= ∫ 將 2 2cos1 x−
2
2
2cos1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − x 展開
( )( )( )dxxxx∫ ++−= 8 2cos12cos12cos1 將 81 提出
( )( )(∫ ++−= dxxxx 2cos12cos12cos181 ) ( )( ) ( )xxx 2cos12cos12cos1 −=+−
( )(∫ +−= dxxx 2cos12cos181 2 ) 利用三角恒等式 xx 2sin2cos1 22 =−
( )(∫ += dxxx 2cos12sin81 2 ) 將被積分式展開
( ) ( )( )∫∫ += dxxxdxx 2cos2sin812sin81 22 計算不定積分
Cxxx +⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
3
2sin
16
14sin
4
1
16
1 3
型 3. ∫ 、 、⋅ nxdxmx cossin ∫ ⋅ nxdxmx sinsin ∫ ⋅ nxdxmx coscos
利用積化和差公式:
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ sinsin
2
1cossin
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −−+−=⋅ coscos
2
1sinsin
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ coscos
2
1coscos
5. 求 xdxx 3cos2sin∫
解答:
利用xdxx 3cos2sin∫ ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ sinsin21cossin
[ dxxx∫ −+= )sin(5sin21 ] 計算不定積分
Cxx +−−= cos
2
15cos
10
1
型 4. 、dxxn∫ tan dxxn∫cot
利用三角函數恒等式 、 1sectan 22 −= xx 1csccot 22 −= xx
6. 求 ∫ xdx2tan
解答:
∫ xdx2tan 利用三角函數恒等式 1sectan 22 −= xx
(∫ −= dxx 1sec2 ) 計算不定積分
cxx +−= tan
7. 求 ∫ xdx3tan
解答:
∫ xdx3tan 利用三角函數恒等式 1sectan 22 −= xx
(∫ −= dxxx 1sectan 2 ) 將被積分式展開
( )dxxxx∫ −= tansectan 2
∫∫ −= xdxxdxx tansectan 2 變數變換令 xdxduxu 2sectan =⇒=
∫∫ −= xdxudu tan 將不定積分求出
= Cxu ++= cosln
2
1 2 將 xu tan= 代回式子
Cxx ++= coslntan
2
1 2
型 5. ( 為偶數或 為奇數)
(1)當 為偶數時, 型可先分出 ,及
變數變換
dxxx nm∫ ⋅sectan n m
n dxxx nm∫ ⋅sectan 1tansec 22 += xx
xu tan= 、 再化簡 xdxdu 2sec=
8. 求 ∫ xdxx 42 sectan
解答:
∫ xdxx 42 sectan 將 改寫成xdx4sec ( )( )xdxx 22 secsec
( )(∫= xdxxx 222 secsectan )
)
利用 1tansec 22 += xx
( )(∫ −= xdxxx 222 sectan1tan 將 ( )xx 22 tan1tan − 展開
( )( )∫ −= xdxxx 242 sectantan 變數變換,令 xdxduxu 2sectan =⇒=
( )∫ −= duuu 42 求出不定積分
Cuu +−= 53
5
1
3
1 將 xu tan= 代回式子
Cxx +−= 53 tan
5
1tan
3
1
(2)當 為奇數時, 型可先分出m dxxx nm∫ ⋅sectan xxsectan ,
及變數變換 xu sec= 、 xdxxdu tansec= 再化簡
9. 求 ∫ xdxx 53 sectan
解答:
∫ xdxx 53 sectan 先分出 xxsectan
(∫= xdxxxx tansecsectan 42 )
)
利用三角恒等式 1sectan 22 −= xx
( ) (∫ −= xdxxxx tansecsec1sec 42 變數變換 xu sec= 、 xdxxdu tansec= ( )∫ −= duuu 124 將被積分式展開 ( )∫ −= duuu 46 將不定積分求出
Cuu +−= 57
5
1
7
1 將 xu sec= 代回式子
Cxx +−= 57 sec
5
1sec
7
1
型 6 、
令 , ;或
∫ axdxxn sin ∫ axdxxn cos
nxu = bxdxdv cos= bxdxdv sin= 。
再代入分部積分公式,即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xduxvxvxuxdvxu
10. 求 ∫ xdxx 2sin
解答:
令 xu = , xdxdv 2sin=
則 ,dxdu = xv 2cos
2
1−=
∫ xdxx 2sin 利用分部積分
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−= dxxx
x 2cos
2
12cos
2
求出不定積分 ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛− dxx2cos2
1
cxxx ++−= 2sin
4
12cos
2
練習題 1. 求 ∫ xdxx 2sin
解答:
提出 ∫ xdx3sin xsin
用 對 作轉換 ∫= xdxxsinsin2 xx 22 cos1sin −= x2sin
提出負號,將 改寫成( )∫ −= xdxx sincos1 2 xdxsin xdxsin−
( )( )∫ −−−= xdxx sincos1 2 令 xdxduxu sincos −=⇒=
將不定積分求出 ( )∫ −−= duu 21
Cuu ++−=
3
3
將 xu cos= 代回式子
Cxx ++−=
3
coscos
3
練習題 2. 求 ( ) ( )dxxx∫ − 2cos3cos
解答:
( ) ( )dxxx∫ − 2cos3cos 三角函數性質 ( ) xx 2cos2cos =−
( ) ( )dxxx∫= 2cos3cos 積化和差 ( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx −++=⋅ coscos21coscos
( ) ( )[ dxxx∫ += cos5cos21 ] 求出不定積分
( ) ( ) Cxx +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += sin
5
15sin
25
1
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