高数公式大全(费了好大的劲)

高数公式大全(费了好大的劲) 高数公式大全 高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式: 和差角公式:和差化积公式:sin()sincoscossin,,,,,,,,,,,,,，,sinsin2sincos，,,,cos()coscossinsin,,,,,,,,22 tantan,，,,,,,,,tan(),, sinsin2cossin,,,,,,1tantan,22,, ，,cotcot1,,,,,,,coscos2coscos，,cot(),,,,,,22cotcot,,,，,shshchchsh(),,,,,,,coscos2sinsin,,,,,,,,,,22chchchshsh(),,,,,,,,, 积化和差公式: 1,,,,,,,，，,sincos[sin()sin()]2 1 cossin[sin()sin()],，,,,,,,,,2 1,，，,coscos[cos()cos()],,,,,,2 1sinsin[cos()cos()],，,,,,,,,,2 倍角公式: sin22sincos,,,, 2cos22cos1,,,, 222 12sincossin,,,,,,, 2tan,tan2, ,21tan,,2cot1,,cot2,,2cot,shshch22,,,,2chsh212,，,,,222 21,,,，chchsh,,, 第1 页共22 页 高数公式大全 2222sincos1;tan1sec;,,，,，,xx 2222cot1csc;1xxchxshx，,,, 半角公式: 1cos,,,sin,,　　　　　　　　　　　　 22 1cos，,,cos,,22 1cos1cossin,,,,,,tan,,,,　　21cossin1cos，，,,, 1cos1cossin，，cot,,,,,,,,21cossin1cos,, ,,,xx,ee,2::ln(1双曲正弦;反双曲正弦)shxarshxxx,,，，2 xx,ee，2 ::ln(1)双曲余弦;反双曲余弦chxarchxxx,,,，,2 xx,shxeex,，11双曲正切;反双曲正切::lnthxarthx,,,xx,21chxeex，, nnn(1)(21)，，2223322()()()ababaabb,,,，，12，，，,n 6 22nn(1)，333 12，，，,n4 2、极限 nnn, 常用极限:;aa,,1,lim1;lim1n, qq,,1,lim0,,,,,,nnn ln(1())，fxlimln(1())~()，fxfxgxfxgx()lim[()()],1/()gx若则fxgxfxee()0,(),lim[1()],,,,,,,,,,,, , , 两个重要极限 1sinsin1xxxx ,,，,,，lim1,lim0;lim(1)lim(1)ex,,,,,,xxxx00xxx , 常用等价无穷小: 112n,，,xxxxxxxx1cos~; ~sin~arcsin~arctan;11~; n2 xxaaxaexxaxxx,，，，， 1~ln; ~1;(1)~1; ln(1)~3、连续: 第2 页共22 页 高数公式大全 定义: lim0;lim()() ,,,yfxfx0,,,xxx00 ,， 极限存在或,,,lim()lim()()()fxfxfxfx00,，xxxx,,00 第二章 导数与微分 1、 基本导数公式: fxxfxfxfx()()()()，,,,,y000, ,fx()limlimlimtan,,,,0,,,,,xxxx000,,,xxxx0 ,，,,fxfx()()导数存在,, _0+0 aa,122,,,,,,Cxaxxxxxxxxx,,,,,,,0; (); (sin)cos; (cos)sin; (tan)sec; (cot)csc; xxxx,,,,(sec)sectan; (csc)csc; ()ln;();xxxxxctgxaaaee,,,,,,, 1111,,,,(log); (ln); (arcsin); (arccos);xxxx,,,,,a22xaxln11,,xx 11,,,,(arctan); (cot); ();();xarcxshxhxchxshx,,,,,2211，，xx 1111,,,,(); (); ();()thxarshxarchxarthx,,,,2222chxx,111，,xx 2、高阶导数: n!nknknnxnxnxnx()()()(), ,,,,,,()()!; ()ln()xxxnaaaee,()!nk nn1(1)!1(1)!1!,,nnn()()()nnn (); (); (),,,，，，111nnnxxxaxaaxax，，,,()() ,,()()nnnn(sin)sin(); (cos)cos();kxkkxnkxkkxn,,，,,,，, 22 (1)!1(1)!nn,,()1()(1)1nnnnn,,, [ln()](1)[ln()]()(1)axx，,,,,,,nn()axxx， , 牛顿-莱布尼兹公式: n()()(),nknkk()uvCuv,,nk,0 nnnnnk(1)(1)(1),,,，()(1)(2)()()()nnnnkkn,,,,,,,，，，，，，uvnuvuvuvuv2!!k3、微分: 第3 页共22 页 高数公式大全 ,, ,,，,,,，,,,yfxxfxdyoxdyfxxfxdx()()(); =()();0 连续极限存在收敛有界,,,;可微可导左导右导连续;,,,= 不连续不可导, 第三章 微分中值定理与微分的应用 1、基本定理 ,拉格朗日中值定理:fbfafbaab()()()(),(,),,,,,, ,fbfaf()()(),, 柯西中值定理:,,,(,)ab,,FbFaF()()(),, 当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。F()xx, 2、 ()n,,fxfx()()2n00,泰勒公式: ()()()()()()()fxfxfxxxxxxxRx,，,，,，，,，00000n2!!n n,oxx(()),0,(1)n(1)n，，,,余项: (); ((,),(0,1))Rxxx,,,,fxxx(())，,,f(),n0nn11，，00()()xxxx,,,00,(1)!(1)!nn，，, ()(1)nn，,,fffx(0)(0)(),21nn，,: ()(0)(0)()()(); ((0,1))fxffxxxx麦克劳林公式,，，，，，,,2!!(1)!nn， , 常用初等函数的展式: 2nx,xxe，xn1,，，，，，,,1();();((0,1)), exRxRxxnn2!!(1)!，nn ,sin[(21)]xm，，,3521m,xxxmm,，1212sin(1)();();((0,1))xxRxRxx,,，,，,，,,,22mm3!5!(21)!(21)!mm,， 242mxxxxmcos[(1)],,，，，mm22cos1(1)();();((0,1))xRxRxx,,，,，,，,,,，，2121mm2!4!(2)!(22)!mm， 第4 页共22 页 高数公式大全 241nnn，,,xxxxxnnn,,11ln(1)(1)()(1)(1); ，,,，,，,，,,,,xxRx,,n2!3!1，nnnnn,,10 n(1),n，1,();((0,1)),,Rxxnn，1(1)(1)，，nx, ,,,,,(1)(1)(1),,,，n,2n(1)1(); ，,，，，，，xxxxRx,n2!!n (1)(),,n,,,,,，nn11,Rxxx()(1);((0,1)),，,,,n(1)!n， ,12nnn, ,,，,,，，，,,,xxxxxln(1)1(1)(1),x，1n0,3、 2222,,,,弧微分公式:dsydxxtytdtd,，,，,，1()(),,, ,,,,平均曲率:从点到点，切线斜率的倾角变化量;KMM,,,.(:MMs:弧长),,s ,,,,,,,,ytttt()()()(),d,,,,,,,Mlim=.点的曲率:K,,,323,,s0,sds,(1)，y222,,[()()]tt，,, 1直线的曲率:半径为的圆的曲率:KRK,,0; .R 23,(1)，y1 ,M=曲线在点处的曲率半径:,,,Ky 第四章 不定积分 1、常用不定积分公式: ,,fxdxFxCfxdxfxFxdxFxC()(); (())(); ()(),，,,， ,,, ,，1x1,,，,,,，,xdxCdxxC(1); ln;,,，1x, xaxxx,，,，adxCedxeC; ;,,lna 第5 页共22 页 高数公式大全 sincos; cossin;xdxxCxdxxC,,，,，,, tanlncos; cotlnsin;xdxxCxdxxC,,，,，,, seclnsectan; xdxxxC,，，, xcsclncsccotlntanlncsccot;xdxxxCCxxC,,，,，,,，，,2 dxdx22sectan; csccot;xdxxCxdxxC,,，,,,，22,,,,cossinxx ansec; csccotcsc;xdxxCxxdxxC,，,,,，sectx,,, shxdxchxCchxdxshxC,，,，; ;,, dxdxx,，,,，,，arcsinarccos; arcsin;xCxCC,,222a1,,xax dxdxx1,，,,，,，arctanarccot; arctan; xCxCC222,,1，，xaxaa dxxadxax11,，,，,，ln; ln;CC2222,,xaaxaaxaax,，,,22 dx22,，,，ln(); xxaC,22xa, 2xa222222xadxxaxxaC,,,，，,，ln();,22 2xax2222axdxaxC,,,，，arcsin,22a2、常用凑微分公式: dxdxdx1,,,,2; (); (ln);dxddx2xxxx xdx112 ,，,,，dxdxdx(1); (1)()22xx1，x dx,dx(lntan);cossinxx 3、有特殊技巧的积分 dx11 ,(1)dx,,22,，，axbxxsincossin()，ab cxdxsincos，(2)lnsincosdxAxBaxbxC,，，， ,axbxsincos， 2x，111 ,,dx()(3)dx,,41x22x，1()(2)x,，x 第6 页共22 页 高数公式大全 第五章 定积分 1、基本概念 nnbi1b, ,,,,,,,,fxdxfxfFbFaFxFxfx()lim()lim()()()() , (()()),,iia,a,,,00nnn,,11ii 连续可积,,;有界+有限个间断点可积; 可积有界,,; 连续原函数存在 x,,,,,,()()()()xftdtxfx ,a ,()xd,,()[()]()[()](),,,,,, ftdtfxxfxx,()x,dx aaa,,，uxdvxuxvxvxdux()()()()()(),, fxdxfttdt()(())(),,,,,,,bbb, 2、常用定积分公式: aafxdxfxfxdx()[()()],，,; ,,,0a aaafxfxdxfxdx(),()2()为偶函数,fxfxdx(),()0为奇函数,; ,,,,0,aa ,,,,,,22222; fxdxfxdx(sin)(cos),xfxdxfxdxfxdx(sin)(sin)(sin),,,,,,,,000002 Tan，TTa，TT2fxdxnfxdx()(),; fxdxfxdxfxdx()()(),,T,,,,,a0a0,2 Wallis公式: ,1331nn,,,为正偶数,,,,,n,,,n,1,2242nn,nn22IxdxxdxI,,,,sincos ,,2nn,,002431nn,,n,为正奇数,,,,n,352nn,,无穷限积分: +b,fxdxfxdxFFa()lim()(+)(); ,,,,,,aab,,+ bb fxdxfxdxFFa()lim()(-)();,,,,,,a,,a,,- ，,bbfxdxfxdxfxdxFF()lim()lim()(+)(),，,,,,,,,,aa,,ba,,,,+- 瑕积分: 第7 页共22 页 高数公式大全 bbfxdxfxdxFbFt()lim()()lim();,,,,,，，at,,tata bt fxdxfxdxFtFa()lim()lim()();,,,,,,,aa,,tbtb bcbfxdxfxdxfxdx()()(),，,,,aac +,111dxpp,,收敛发散dxpp,,,收敛发散; ,1,1,01,1pp,,aaxx ，,xn1,,,()(1)!nexdxn,,,, ,,,(1)()!;(1)1;nnnn，,,,,,0 ，,21,x, ,,,edx (),,,022 第六章 定积分应用 1、平面图形的面积: bbdAfxdx,()Afxgxdx,,()()Ayydy,,,,()()直角坐标情形:;; ,,,aac ,,,Atdtttdtab,,,,,,,,,,,,()()()();(();())参数方程情形: ,,,, ,12,,,,Ad()极坐标情形: ,,2 2、空间立体的体积: bVAxdx,()由截面面积: ,a bb222VfxdxVfxgxdxx,,,,,();[()()()为积分变量,,aa旋转体:绕x轴旋转: ddVyydyVyyydyy,,,2();2()()()为积分变量,,,,,,,cc bbVxfxdxxfxgxdxx,,,2()2()();(),,为积分变量,,aa绕y轴旋转: d22Vyydyy,,[()()]()为积分变量,,,,c 3、平面曲线的弧长: ,,b22222,,,,sttdtfxdxd,，,，,，,,,,,,,()()1()()() ,,,a,, bWFxdx,()变力做功: ,a 抽水做功:克服重力做功质量高度=,，，,,,,,,,gdWdMghdVgh, 液体压力做功:压力压强面积，=，,,,,,dFpdAghdA, 第8 页共22 页 高数公式大全 第七章 向量代数与空间解析几何 两点间距离公式 : 222， MMxxyyzz,,,，,，,()()()12121212 aaaaaiajak,,，，(,,);bbbbbibjbk,,，，(,,)xyzxyzxyzxyz abababab,,,,,(,,);,,,,aaaa,(,,)xxyyzzxyz aaxxcos,,,,222a，，aaaxyz aaayy,,(cos,cos,cos),,,方向余弦: 单位向量:e cos,,,a,222aaaaa，，xyz aazzcos,,,222a，，aaaxyz 数量积: abababababab,,,，，cos(,)xxyyzz 22aaaa,,,,ijjkki,,,,,,0iijjkk,,,,,,1， ababab，，ab,xxyyyycos(,)ab,,夹角余弦: 222222abaaabbb，，，，xyzxyz ijk向量积:()()() abababiababjababkaaa，,,，,，,,yzzyzxxzxyyxxyz bbbxyz ，， abababS，,,sin(,)aa，,0平行四边形 bbbyxz//0(,)0,，,,，，,,,,,,,,空间位置关系: abababaaaxyzababababababab,,,,,，，,,，,,00 xxyyzz AxxByyCzz()()()0,，,，,,平面的方程:点法式:;一般式 :000 AxByCzD，，，,0 xyz，，,1截距式: abc 第9 页共22 页 高数公式大全 nn,12AABBCC，，121212两平面的夹角: cos,,,222222nnABCABC，，，，12111222 AxByCzD，，，000点到平面的距离: d,222ABC，， DD,12两平行平面的距离: d,222ABC，， ns,AmBnCp，，2直线与平面的夹角:sin, ,,222222nsABCmnp，，，， ,C,DC空间曲线，曲线的投影，空间立体，曲面，曲面的投影 xoyxy 2222()()()xxyyzzR,，,，,,球面: 000 2222xyxy2椭圆柱面:;双曲柱面:;抛物柱面: xpy,2，,1,,12222abab 2222222旋转曲面:圆柱面:;圆锥面:;双叶双曲面:xya，,zbxy,，()222xyz， ,,122ac 222222xyz，xyz，单叶双曲面:;旋转椭球面: ;旋转抛物面: ,,1，,12222acac22xypz，,2 二次曲面: 222xyz椭球面: ，，,,,,1 (0,0,0)abc222abc 2222xyxy抛物面:椭圆抛物面:;双曲抛物面: ，,z,,z2222abab 222222xyzxyz单叶双曲面:;双叶双曲面: ，,,1，,,,1222222abcabc 222xyz椭圆锥面: ，,222abc 第10 页共22 页 高数公式大全 求极限方法: 1、 极限定义;2、函数的连续性;3、极限存在的充要条件;4、两个准则; 5、两个重要极限;6、等价无穷小;7、导数定义;8利用微分中值定理; 9、洛必达法则;10、麦克劳林公式展开; 求导法: 1、导数的定义(求极限);2、导数存在的充要条件;3、基本求导公式; 4、导数四则运算及反函数求导;5、复合函数求导;6、参数方程确定的函数求导; 7、隐函数求导法;8、高阶导数求导法(莱布尼茨公式/常用的高阶导数); 等式与不等式的证明: 1、利用微粉中值定理;2、利用泰勒公式展开;3、函数的单调性; 4、最大最小值;5、曲线的凸凹性 第八章 多元函数微分法及其应用 一、定义: ,，,,ffxxyfxyd(,)(,),,,,lim(,)(,)(,)fxyfxyfxy (,)000(,)xyxxxy0000,,x0,,xxdxxx,0 二、 微分: ,,,,,zfxyxfxyy(,)(,)xy，， lim0,,可微偏导连续可微连续,,+偏导存在,,0, dzfxydxfxydy,，(,)(,)全微分: xy 三、 隐函数求导: Fdyox1 ,0().Fxyyfx()且,,,,,dxFy o 2 ,,0(,)Fxyzzfxy()且,,, FF,,zzyx ,,,,,,,xFyFzz 四、曲线的切线和法平面 xt,,(),()()()xxyyzz,,,,0001、曲线方程，切线:，法平面:,,Lyt:(),,,,,,,,,()()()ttt000,zt,(),, ,,,,,,()()()()()()0txxtyytzz,，,，,, 000000 第11 页共22 页 高数公式大全 yyx,()xxyyzz,,,,0002、曲线方程，切线:，法平面:,,L:,,,zzx,()1()()yxzx,00 ,, ()()()()()0xxyxyyzxzz,，,，,,00000 Fxyz(,,)0,,TFFFGGG,,， ,,,,3、曲线方程，切向量，切线:L:,,,,xyzxyz,M0MGxyz(,,)0,0, xxyyzz,,,000 ,,FFFFFFyzxyzx GGGGGGyzxyzxMMM000 四、曲面的切平面和法线 ，法向量:，切平1(,,)0、曲面方程:Fxyz, ,,nFFF,,,xyz,M0 (,,)()(,,)()(,,)()0FxyzxxFxyzyyFxyzzz,，,，,,面:,法线:xyz000000000000 ()()()xxyyzz,,,000 ,,FxyzFxyzFxyz(,,)(,,)(,,)x000000000 2、，切平面曲面方程:zfxy,(,)fxyzxxfxyzyyzz(,,)()(,,)()()0,，,,,,， xy000000000 xxyyzz,,,000法线: ,,(,)(,)1fxyfxy,xy0000 ,fcoscoscos,,,五、方向导数:,，，fff xyzMMM000,lM0 梯度:grad,,ufff, ,,xyzMM00 第九章:重积分 一、 二重积分: bxdx,,()()22fxydfxydxdydxfxydydyfxydx(,)(,)(,)(,),,,, ,,,,,,,,axcx()(),,11DD ,,,()2fdddfd(cos,sin)(cos,sin),,,,,,,,,,,,,,, ,,,,(),,,1D 二、三重积分: 第12 页共22 页 高数公式大全 zxy(,)21、直角坐标系: (,)ddd(,,)dfxy,zVxyfxyzz,,,,,,,zxy(,)1ΩDxy c2 fxyzdvdzfxyzdxdy(,,)(,,).,,,,,,,c1,()Dz xr,cos,,, ,2、柱面坐标系: dvrdrddz,,,yr,sin,,, ,zz,., ,,,()(,)θzθ22fxyzdvrfzz(,,)dd(cos,sin,)d .,,,,,,,, ,,,,,,()(,)θzθ,,,11, 3、球面坐标系: xr,sincos,,,, ,2 yrdvrdrdd,,sinsin,sin,,,,,,, ,zr,cos.,, ,,,()(,)θrθ222fxyzdxdydzfrrrrr(,,)dd(sincos,sinsin,cos)sind.,,,,,,,,, ,,,,,,()(,)θrθ,,,11, 二、重积分的应用: Vxyzzxyzxyxy,,,ddd[(,) (,)]dd1、体积: 21,,,,,ΩDxy 22,,2、曲面面积: Sfxyfxyxy,，，1(,)(,)dd,,:zfxy(,)xy,,Dxy3、质量:或 Mxy,,,(,)dMxyzdv,,(),,,,,,,D,4、质心: (,)xy xxydyxyd,,,,(,)(,),,,,DD,,xy,或 MM xxyzdvyxyzdvzxyzdv,,,,,,,,,()()(),,,,,,,,,,,, ,,,xyz,,()()()xyzdvxyzdvxyzdv,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 22225、 转动惯量: IyxydIxxydIxyxyd,,,，,,,,,,(,),(,),()(,)xyo,,,,,,DDD 第13 页共22 页 高数公式大全 2222IyzxyzdvIzxxyzdv,，,，(),,,(),,,,()(),,,,,,xy,,或 22222IxyxyzdvIxyzxyzdv,，,，，(),,,(),,()(),,,,,,,,zo,, 曲线积分和曲面积分 第十章: 一、第一类曲线积分:(对弧长的曲线积分): ,b222,,fxydsfttttdtfxytytdx(,)((),())()()(,())1(),，,，,,,,,,,a,L ,22,,，fd(()cos,()sin)()(),,,,,,,,,,,,, ,222,,,fxyzdsfttttttdt(,,)((),(),())()()(),，，,,,,,, ,,,L 二、第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): 1、计算公式: PxydxQxydyPxyQxyds(,)(,)[(,)cos(,)cos]，,，,,,,LL b,,,，[((),())()((),())()]PtttQtttdt,,,,,,,a 2、格林公式: ,,QP ()(coscos),,,,，,，dxdyPdxQdyPQds,,,,,,xx，DD,,D 3、Stokes公式: Stokes dddz公式:PxQyR，，,,，Γ,,, ,,,ddddddcoscoscosyzzxxy ,,,,,,,,,dSfxyzdxdy(,,),,,,,,,,,,,,xyzxyz,,Dxy PQRPQR 14、封闭曲线围城的面积: Axdyydx,,,2，,D 三、第一类曲面积分: 22 ,,,，，:(,) (,,)(,,(,))1zzxyfxyzdSfxyzxyZZdxdy:xy,,,,,Dxy 四、第二类曲面积分: 1、计算公式: 第14 页共22 页 高数公式大全 FxyzdSPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)(,,),，，,,,,,, ,,,,,,，，FxyzedSPQRdS(,,)(coscoscos)n,,,,,, RxyzxyRxyzxyxyRxyzxyRxyzxyxy(,,)dd[,,(,)]dd(,,)dd[,,(,)]dd,,,;,,,,,,,,,,上侧下侧DDxyxy PxyzdydzpxyzyzdydzQxyzdzdxpxyzxzdzdx(,,)((,),,)(,,)(,(,),),,,,; ,,,,,,,,,,DyzDzx 2、投影转化法: coscos,,,,,,,,,,:(,),,zzxydydzdxdyzdxdydzdxdxdyzdxdyxycoscos,, FFyx,,,,:(,,)0,,FxyzdydzdxdydzdxdxdyFFzz 3、高斯公式: PyzQzxRxyPQRSdddddd(coscoscos)d，，,，，,,,,,,,,, ,,,PQR+,。(为外侧时取为内侧时取 = ()d;.),，，,,,，,,,,V,,,,,,xyz, AxyzPxyziQxyzjRxyzkuuxyz(,,)(,,)(,,)(,,),, ,，，,,，()4 散度:梯度:divAPQRgraduuuu,，，, ;(,,)xyzxyz ijk ,,,divgraduuuuA();rot ,，，,旋度:xxyyzz,,,xyz PQR第十一章 无穷级数 , u一、常数项级数 ,nn1, 1,,收,,q1,nq1-1/、常用级数:等比级数几何级数:q,,0n,,发q,1 , ,,收绝对收敛PP,,11,,11nPP级数:;交错级数:收敛(1),,,,,ppnn发条件收敛PP0101,,,,11nn,,,, 第15 页共22 页 高数公式大全 20、正项级数:u,n 基本定理:收敛部分和有上届,,S,n 比较审敛法:大收小收，小发大发 比较审敛法的极限形式: 同阶:同收同发;低阶:同收;高阶:同发 ,1，收敛,u,n，1比值根值审敛法:，发散/lim(lim)1,,,,u,n,,nn,,,,un,,1，失效, ,n-131(0)、交错级数:(),,uu,nnn,1 uu,,nn，1, 莱布尼茨审敛法:级数收敛，,,,Suru,,11nn，lim0u,n,n,,, ,,,, 绝对收敛:收敛收敛，条件收敛收敛而发散，发散uuuu,:,,,,nnnnnnnn,,,,1111 4、任意项级数: S，收敛,• lim利用定义:部分和有极限;S,,nn,,,，发散, • lim0利用收敛的必要条件:发散;u,, nn,, • /利用正项级数(比值根植)审敛法: 1,,，绝对收敛收敛,u,n，1n,,,,,lim(lim)1u，绝对值发散发散,,,nnn,,,,un,,1，失效, ,n二、幂级数:axx(), ,0n0n, 1/ 0,,，,,,,a,n，1n1、收敛半径: uR,,,,,,lim(lim)0， ,,,,nnn,,,,an,,,， 0,,2、常用等式: ,,,1x1nnnnxx,,,,(1),,,xx，， (1)xx(1)(1),,,,x1,，x1x1010nnn,,, nn,,xx1n,,,,,,,ln(1) (11)(1)ln(1) (11),,，,,,xx，xx ,,nn11n,n, ,,1nn1,nxnxx，,,,，(1) (1),,2,x(1)nn01,, 第16 页共22 页 高数公式大全 ,,1111，x2121nn，, xxx,,,ln (1),,212121nnx，,,nn01,, 21n，,xnarctanx=(1)(1),, x,21，nn,0 nn2,xxxxe1 (,),,，，，,,,，，,,,,,,，,xx;,!2!!nnn,0 2135121nnn,,,,(1),xxxxn,1sin(1) (,)xxx,,,,，，,,,，，,,,,,,，,;,(21)!3!5!(21)!,,nnn,1 2242nn,xxxxnncos(1)1 (1)(,)xx,,,,，,,,,，,，,,,,,,，,;,(2)!2!4!(2)!nnn,0 nn23,xxxxnn,,11,,,,，,,,,，,，,,,,,(1) (1)(1, 1];xxln(1)，x,nn23n,1 ,,,,,(1)(2) (1),,,,,,，nn,(1)1，,，xx,n!n,1 (1)(1) (1),,,,,,，n2n,,,,,,，，，,,,，，,,,,,1 (1, 1)xxxx;,2!!n3、泰勒展开: (1)n，,1()f,nnn()1，,,,,,,fxaxxafxRxxxxx()(),(),()(),((,)),,nnn0000，nn!(1)! n,0 ,,lim()0Rxnn,, ,a0三、傅里叶级数:，，(cossin) anxbnx,nn2n1, ,a012()(cossin)()、:，TfxanxbnxSx,,，，,,,nn2,1n xx (-,),(且间断点),,，,, ,,11其中，;，。afxnxdxnbfxnxdxn,,,,()cos(0,1,2)()sin(1,2)nn,,,,,,,,-， fx()，fx()(()间断点处，Sx,)2 π2fxabfxnxx()0,()sind;,,,若为奇函数正弦级数()nn,0π π2fxbafxnxx()0,()cosd;,,若为偶函数余弦级数(=)nn,0π 第17 页共22 页 高数公式大全 ,anxnx,,022()(cossin)(,),、:，(且间断点),,，，,,,，,,Tlfxabxx,nn2lln1, ll11nxnx,,其中，;，。,,,,()cos(0,1,2)()sin(1,2) afxdxnbfxdxnnn,,ll,,llll 3(),、非周期函数fx 周期延拓(1)[,]()()xllfxFx:展开限制,,,,,,,, ,anxnx,,0fxSxabxll()()(cossin)((,))，,,，，,,,nn2ll,n1 ，-flfl(-)()，(())xlSx时，,,,2 奇延拓偶延拓周期延拓/(2)[0,]()()xlfxFx:展开限制,,,,,,,,,,,,, ,nx,奇延拓:fxbxl()sin,((0,,,));,nln,1 l2nx,()sin ( 1, 2, )(0()0);bfxdxnxlSx,,,,,,,;或时，n,0ll ,anx,0()cos[0,] fxaxl偶延拓:(),，,,n2ln,1 l2nx,()cos (0, 1, 2, )afxdxn,,,,,，端点处不间断。 n,0ll 第十二章 微分方程 一、基本类型的一阶微分方程: dydy1:()() ,() 、可分离变量方程分离变量，两边积分,,fxgyfxdx,,dxgy() dy2: ()()、一阶线性微分方程，,PxyQx dx ,Pxdx(),,Qxye()0 :,,齐次通解:，,,,PxdxPxdx()(),,,QxyeQxedxC()0 :(()),,，非齐次通解:,, 3(,)d(,)d0()、全微分方程:PxyxQxyyPQ，,,其中yx通解:()、分项组合法;uxyC, . (1), xy(2)(,)(,)d(,)d. 、特殊路径法:uxyPxyxQxyyC,，, 0,,xy00 (3)、偏积分法; ,u,Pxyu(x,y)=P(x,y)dx +c(y)(,)=,,,,x,,u(x,y)=P(x,y)dx +(y)dy ,,,,,,u,,Qxyc(y)=Q-P(x,y)dx (y)(,)=,,,,,,xy,, 第18 页共22 页 高数公式大全 二、可化为基本类型的一阶微分方程: axby，dyydyy11 ()齐次方程:或令1()(),,,,ffudxxdxaxbyx，22 axbyc，，dy111 ()准齐次方程:2(),fdxaxbyc，，222 ,axbyc，，,0abxXh,，,,11111若令，,,,0,,(hk由解得),,,abyYkaxbyc,，，，,22,222, ,aXbY，dYY,11 (),,,fu，再令。 ,dXaXbYX，22, ,abkaxbyc()，，dy11111,若，令。,,,,,，,，0().faxbyuaxby1111abdxaxbyc，，,22112, dy(3)() ,，，,，，faxbycuaxbyc令。 dx dydz,,1,(4) ()()(0,1) (1)()(1)()伯努利方程:，令，,,,,，,,,PxyQxyzyPxzQx,,,dxdy dyPxy(,)()其中5 (,)(,)0 ()PxydxQxydyPQ，,,,,,yxdxQxy(), ()关于的线性方程伯努利方程:6/x dxdx,,1,，,，,,; 令PyxQyPyxQyxzx()()()(),dydy ()其中7(,)(,)0 ()PxydxQxydyPQ，,,yx求积分因子方法: 1;、分项组合法:常用全微分公式 2、公式法: xdx,()1,(1)()()()()方程有形如的积分因子uxPQxuxce,,,,,,yxQ ydy(),1,,(2)()()()()方程有形如的积分因子uyPQyuyce,,,,,,yxP 1(3)(,)齐次方程的积分因子uxy,xPyQ， 三、可降阶的高阶微分方程: 第19 页共22 页 高数公式大全 ndy()连续积分次1() n,fx;ndx ,,,,,,,,()令，则2(,), (,) yfxyypyppfxp,,,,, ddpp,,,,,,()令，则3(,) , (,) yfyyypyppfyp,,,,,ddyy 四、二阶常系数齐次线性微分方程 2,,, ypyqyrprq，，,,，，,00特征方程: rxrx212,,,,,,,，pqrryCeCe40,通解:1212 rx21 ,,,,,,,，pqrryCCxe40,() 通解:1212 ,2x,,,,,,,,,,,,，pqriyeCxCx40,(cossin)通解:1,212 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 ,,,, ypyqyfxyxYxyx () ()()() ，，,,，通解齐次通解非齐次特解 ,不是特征根k,0,, ,,,,xkx, ()特解形式是特征单根1() () ()1fxePxyxQxek,,,,,mm,,,,是特征重根k,2,,,, x()2() () ()cos ()sin fxfxePxxPxx,,，,,,,ln ，,iwk不是特征根0,,,, (1)(2)x,， ()cos ()sin ,,，特解形式yxeRxxRxx,,,,,mm，，,iwk是特征根1,,, 第20 页共22 页