如何进行多项式除以多项式的运算

123网校华师大数学九年级上册知识拓展 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说 明如下： 2例1 计算(x，9x，20),(x，4) 解法 ? 2(x，9x，20),(x，4),x，5. 解法步骤说明： 2（1）先把被除式x，9x，20与除式分别按字母的降幂排列好． x，4 222（2）将被除式xx，9x，20x,x,x的第一项x除以除式的第一项，得，x，4这就是商的第一项． 22（3）以商的第一项xx，4xx，9x，20与除式相乘，得，写在的下面． x，4 222（4）从x，9x，20x，4xx，4x减去，得差，写在下面，就是被除式去掉5x，20 后的一部分． （5）再用x的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，5x，205x5x,x,5写在第一项x的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面． x，45x，205x，20 （7）相减得差0，示恰好能除尽． 2（8）写出运算结果，(x，9x，20),(x，4),x，5. 5422例2 计算(6x,9x，7x,20x，3),(2x,x,5)． 规范解法 123网校华师大数学九年级上册知识拓展 5422? (6x,9x，7x,20x，3),(2x,x,5) 32,3x,3x，6x,1„„„„„„„„„„„余． 9x,2 注 ?遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；?余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ? 5422(6x,9x，7x,20x，3),(2x,x,5) 32,3x,3x，6x,1„„„„„„„„„„„余． 9x,2 8．什么是综合除法？ 由前面的问4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且 它的首项系数为1时，情况比较特殊． 3如：计算(2x，3x,4),(x,3)． 因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因 除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再 把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形 123网校华师大数学九年级上册知识拓展 式： 将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数， 末尾一个数是余数． 多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求432x,3x，3x,3x，12除以的商式和余式． x,1 规范解法 ? 商式32,x,2x，x,2，余式＝10． 532例2 用综合除法2x,15x，10x,9能被整除． x，3 规范证法 这里x，3,x,(,3)，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以5322x,15x，10x,9能被整除． x，3 当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 3例3 求2x，x,7除以的商式和余数． 2x，1 1规范解法 把除以2，化为，用综合除法． 2x，1x，2 123网校华师大数学九年级上册知识拓展 32但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应,x,x，22 当除以2才是所求的商式；余数没有变． 1332? 商式，余数． ,x,x，,,7244 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 31332用2x，x,7除以，得商式，余数为，即 x,x，2x，,7224 133,,,,32? 2327x，x,,x，x,x，, ,,,,224,,,, 133,,2 ，，217,x，x,x，,． ,,244,, 13332即 2x，x,3除以的商式,x,x，，余数仍为． 2x，1,7244