浦东金桥恒高一对一补习班高三数学三角函数一轮复习

浦东金桥恒高一对一补习班高三数学三角函数一轮复习 高三数学 张思祺 三角函数 重点知识回顾 1、终边相同的角的示方法:凡是与终边α相同的角，都可以表示成k?3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k?1800，k?Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k?1800+900，k?Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k?900，k?Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算; ,180,,1,,(),,',180,5718180,,1?角度制与弧度制的互化:弧度，弧度，弧度 112S,,R,Rll,,R22?弧长公式:;扇形面积公式:。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式: (x,y)|OP|,r,P(1)三角函数定义:角中边上任意一点为，设则: yyx,sin,,,cos,,,tan,xrr (2)三角函数符号规律:一全正，二正弦，三正切，四余弦; (3)特殊角的三角函数值 ,,,,,3,,α 0 2 26432 123sinα 0 1 0 -1 0 222 123cosα 1 0 -1 0 1 222 3tanα 0 1 不存在 0 不存在 0 3 3 sinx22sinx，cosx,1;,tanxcosx(3)同角三角函数的基本关系: (4)诱导公式(奇变偶不变，符号看象限): ,,,,,,,,,sin(),sinα,cos(),,cosα,tan(),,tanα ,,，,,，,,，sin(),,sinα,cos(),,cosα,tan(),tanα ,,,,,,sin(),,sinα,cos(),cosα,tan(),,tanα 2,,,2,,,2,,,sin(),,sinα,cos(),cosα,tan(),,tanα ()kZ,2k,,，2k,,，2k,,，sin(),sinα,cos(),cosα,tan(),tanα， - 1 - 高三数学 张思祺 ,,,,,,22sin(),cosα,cos(),sinα ,,，，,,22sin(),cosα,cos(),-sinα 3、两角和与差的三角函数 (1)和(差)角公式 sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,;? ,,tan,tan,,tan(,),cos(,,,),cos,cos,,sin,sin,;1,tan,tan,? ? (2)二倍角公式 sin2,,2sin,cos,二倍角公式:?; ,2tan,tan2,22222cos2,,cos,,sin,,2cos,,1,1,2sin,1,tan,?;? (3)经常使用的公式 1cos2,,1cos2，,122,,,,cos,sincossin2sin,,,222?升(降)幂公式:、、; 22,ab,ababsincossin(),,,,，,，，?辅助角公式:(由具体的值确定); tantantan()(1tantan),,,,,,，,，,,?正切公式的变形:. 4、三角函数的图象与性质 yx,cosyx,tanyx,sin(一)列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘: ?最值的情况; yAx,，sin(),,?了解周期函数和最小正周期的意义(会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况; ?会从图象归纳对称轴和对称中心; ,xk,，,yx,sin()kZ,(,0)k,()kZ,2的对称轴是，对称中心是; ,(,0)k，,yx,cos()kZ,()kZ,xk,,2的对称轴是，对称中心是 k,(,0)()kZ,yx,tan2的对称中心是 - 2 - 高三数学 张思祺 注意加了绝对值后的情况变化. ,,0?写单调区间注意. (二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAx,，sin(),,的简图，并能由图象写出解析式( ?“五点法”作图的列表方式; ,x,,1,yAx,，sin(),,,?求解析式时处相的确定方法:代(最高、低)点法、公式. yAx,，sin(),,(三)正弦型函数的图象变换方法如下: 先平移后伸缩 向左(>0),,或向右(0),,,,,,,,,平移个单位长度,yx,sin 的图象 横坐标伸长(0<<1),,或缩短(>1),,,,,,,,,,1()到原来的纵坐标不变yx,，sin(),,得的图象 纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)AA,,,,,,,,,,,yx,，sin(),,为原来的倍横坐标不变A()得的图象 向上或向下(0)(0)kk,,,,,,,,,,平移个单位长度kyAx,，sin(),,得的图象 yAxk,，，sin(),得的图象( 先伸缩后平移 纵坐标伸长或缩短(1)(01)AA,,,,,,,,,,,,,yx,sin为原来的倍A(横坐标不变)的图象 横坐标伸长或缩短(01)(1),,,,,,,,,,,,,,,1到原来的纵坐标不变()yAx,sin,得的图象 向左或向右(0)(0),,,,,,,,,,,,,平移个单位yAx,sin(),,得的图象 向上或向下(0)(0)kk,,,,,,,,,,平移个单位长度kyAxx,，sin(),,yAxk,，，sin(),,得的图象得的图象( 5、解三角形 abc,,,2R,ABCsinAsinBsinC2R?(正、余弦定理?正弦定理(是外接圆直径) a,2RsinA,b,2RsinB,c,2RsinCa:b:c,sinA:sinB:sinC注:?;?;?abca，b，c,,,sinAsinBsinCsinA，sinB，sinC。 - 3 - 高三数学 张思祺 222bca，,cosA,222a,b，c,2bccosA2bc?余弦定理:等三个;注:等三个。 ?。几个公式: ?三角形面积公式: 111S,ah,absinC,p(p,a)(p,b)(p,c),(p,(a，b，c)),ABC222; abcS2,ABC,,;sinAsinBsinCa，b，c?内切圆半径r=;外接圆直径2R= ABAB,,,sinsin?在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:?ABC中， a,b,A?(已知时三角形解的个数的判定: 其中h=bsinA, ?A为锐角时: ?ab时，一解(锐角)。 三、考点剖析 考点一:三角函数的概念 【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。 例1、若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为 . ,22tan4,？tan2,tan2.,,,？,,,,211tan3,,解: 点评:一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。 考点二:同角三角函数的关系 【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。 cos2sin5,,,，,,tan,例,、若则=( ) 11,22,2 (A) (B)2 (C) (D) 5,,,tansin,,12,例3、是第四象限角，，则( ) 1155,,551313A( B( C( D( - 4 - 高三数学 张思祺 考点三: 诱导公式 sin330:例4、等于( ) 1133,,2222A( B( C( D( ,3sin(，,),,则cos2,,25例5、(2008浙江文)若 . 考点四:三角函数的图象和性质 ,, 22【

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解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在(-，)的性质，如单调性、最 yAxx,，,sin(),,，R大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质: (,)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期; (,)函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期; 1 4(,)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。 【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。 5,2,2,a,sinb,cosc,tan777例6、设，，，则( ) abc,,acb,,bca,,bac,,A( B( C( D( ππ,,yxx,,,,lncos,,22,,例7、函数的图象是( ) y y y y x x x x ππππππππO O O O ,,,,22222222 A( B( C( D( , yxx,,sin()R3例8、把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象 1 2上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) - 5 - 高三数学 张思祺 x,,,,,,yxx,,,sin2，Ryx,，,sin，R,,,,326,,,,A( B( ,,,,,,,yxx,，,sin2，Ryxx,，,sin2，R,,,,33,,,,C( D( ,x31y,cos(，)(x,[0，2,])y,222例9、在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 考点五:三角恒等变换 2f(x),,3sinx，sinxcosx例10、已知函数 ,，，(),0,fx在x,,f(x)2，，(I)求函数的最小正周期; (II)求函数的值域. xx,33,,cos，sin,ab22222例11、已知向量,(cosx，sinx)，,()，且x?[0，]( ,,a，b(1)求 ,,,,f(x),a，bf(x)a,bx(2)设函数+，求函数的最值及相应的的值。 ,2fxxxx()sin3sinsin()(0),，，,,,,,2例12、已知函数的最小正周期为π. (?)求ω的值; 2, 3(?)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围. 1cos23,,xfxx()sin2,，,22解:(?) 311,,,，sincos2xx222= ,1,，sin(2).x,62= - 6 - 高三数学 张思祺 2,,,2, 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω,0，所以 解得ω=1. ,1,,，fxx()sin(2).62(?)由(?)得 2, 3因为0?x?， 1,7,,2x,.266所以?? 1,,(2)x,26所以??1. ,133,，sin(2)x2262因此0??，即f(x)的取值范围为[0，] 点评:熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训 练时，要注意公式的推导过程。 考点六:解三角形 1310tanA,,cosB,210例13、在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 (1)求tanC的值; (2)若?ABC最长的边为1，求b。 310？cos0,B,,10？解:(1)B锐角, sin1B102？,,tanBsin1cosBB,,,cos3B10且,, 11，，tantanAB23,？,,，,,，,,,,,,tantan()tan()1CABAB,,11,,1tantanAB,,123 (2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1, 2？tan1,135,sinCCC,,？,:？,2 , - 7 - 高三数学 张思祺 101,cBsin510b,,,sin5Cbc2,sinsinBC2由正弦定理:得。 例14、如图，?ACD是等边三角形，?ABC是等腰直角三角形，?ACB=90?，BD交AC于E，AB=2。(1)求cos?CBE的值;(2)求AE。 ,,,CBACCD,,?BCD,，,9060150解:(?)因为，， ,?CBE,15所以( D62，,,?coscos(4530)CBE,,,C4所以( E?ABEAB,2(?)在中，， AE2AB,,,,,sin(4515)sin(9015),，由正弦定理( 12，2,,2sin3062，AE,,,,62cos15故 4 。 例15、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海 ,45里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A ,,245相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中 26 ,,13,090,,,26sin=，)且与点A相距10海里的位置C. (I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 132解: (I)如图，AB=40，AC=10， 26，,,,,BAC,sin.26 2652621().,,,,,090,,,2626由于,所以cos= 22ABACABAC，,,,2cos105. ,由余弦定理得BC= - 8 - 高三数学 张思祺 105,1552 3所以船的行驶速度为(海里/小时). (II) 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系， 设点B、C的坐标分别是B(x1，y2), C(x1，y2), BC与x轴的交点为D. 2 2由题设有，x1=y1= AB=40, ,，,,,CAD1013cos(45)30,x2=ACcos, ,，,,,CAD1013sin(45)20.,y2=ACsin 20,210所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40. |05540|，,,,357. 14，又点E(0，-55)到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域. - 9 -