直角三角形斜边中线定理

直角三角形斜边中线定理 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 中文名 直角三角形斜边中线定理 内 容 斜边上的中线等于斜边的一半 前 提 三角形是直角三角形 领 域 数学 逆命题1 成立 逆命题2 不成立 等级划分 初中几何数学 1定理 2逆命题 3证法 定理内容 定理:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 逆命题 其逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。 逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。 原命题2:如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。 逆命题2:如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。 逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=(3*4)/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。 证法 逆命题2的反例 证法1: ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D ? AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等) 以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C' ?DC’=AD=BD??BAD=?ABD ?C’AD=?AC’D (等边对等角) 又??BAD+?ABD+?C’AD+?AC’D =180?(三角形内角和定理) ??BAD+?C’AD=90? 即:?BAC’=90? 又??BAC=90? ??BAC=?BAC’ ?C与C’重合(也可用垂直公理证明 :假使C与C’不重合 由于CA?AB， C’A?AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ?假设不成立 ?C与C’重合) ?DC=AD=BD?AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理 证法2: ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE ?BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线 ?DE‖AC(三角形的中位线平行于第三边) ??DEB=?CAB=90?(两直线平行，同位角相等) ?DE?AB ?E是AB的垂直平分线 ?AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等) ?AD=CB/2