高考数学中的绝对值问题

高考数学中的绝对值问 绝对值是高中数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题，可谓常考常新，与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结，成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵法多变，还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析，供同学们思考。 一、知识储备: (1)绝对值概念、绝对值的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。 (2)各类绝对值不等式的解法。 (1)xaaxaa,,,,,,(0); (2)xaxaxaa,,,,,,或(0); |f(x)|,g(x),,g(x),f(x),g(x)(3); |f(x)|,g(x),f(x),,g(x)或f(x),g(x)(4) ( (3)绝对值三角不等式: ||a|,|b||,|a,b|,|a|，|b| ，及其左右两个等号各自成立的条件。 二、例题: 2a,b,c,Rg(x),ax，b例1、已知函数，， f(x),ax，bx，c x,[,1,1]f(x),1当时，有。 c,1g(x),22ax，b,4(1)证明: (2)证明:当时，， ,1,x,1 f(x)例2、如果对于函数的定义域内的任意，都有成立，那x,x|f(x),f(x)|,|x,x|121212 f(x)么就称函数是定义域上的“平缓函数”( f(x)[0,1]f(0),f(1)(II)若函数是闭区间上的“平缓函数”，且(证明:对任意的x,x,[0,1]12 1|()()|都有。 fx,fx,122 3a,0,b,R例3、,2012浙江理22,已知，函数. f(x),4ax,2bx,a，b |2a,b|，a(?)证明:当时, (?)函数的最大值为; 0,x,1fx，， f(x)，|2a,b|，a,0(?) 。 n例4、,2012陕西理22,设函数fxxbxcnNbcR()(,,),，，,, ，n ,,[1,1] (II)设n,2,若对任意,有,求的取值范围; b|()()|4fxfx,,xx,122122 1132fxxmxxm(),,,，变题:(连云港市2012,2013)已知函数，其中,R( m33(1)求函数y=f(x)的单调区间; ,,|()()|4fxfx,,(2)若对任意的x，x,[,1，1]，都有，求实数的取值范围; m1212 fx()(3)求函数的零点个数( 2 三、考题精选: y,|x,1|，|2x，1|，|x,3|，|3x，2|1.求的最小值为___________ |x,a|，|x,1|,32.若存在实数使成立,则实数的取值范围是___________. xa |kx,4|,2{x|1,x,3}3.若不等式的解集为,则实数__________. k, |2x,1|，|2x，1|,64.在实数范围内，不等式的解集为___________。 |x，2|,|x|,15.不等式的解集为__________________. 3[t,t，1]6.在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数的取值 |x,3x，1|,1t范围为 2y,x,2x,t7.已知为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则__ _。 tt, 32f(x)8(若函数,则对于不同的实数,则函数的单调区间个数不可f(x),x，a|x,1|,a,Ra 能是 ( ) A.1个 B. 2个 C.3个 D.5个 3f(x),(x,R)f(,x),f(x)f(x),f(2,x)x,[0,1]9(设函数满足，,且当,.又函f(x),x 13g(x),|xcos(,x)|h(x),g(x),f(x)数,则函数在上的零点个数为 ( ) [,,]22 A(5 B(6 C(7 D(8 ,,3yxxxx,，,,tansintansin10. 函数在区间内的图象是 ( ) (,)22yyyy 3,,3,, 22,,22xxoo --22::--,2,2::,x3,xo,o3,,,2222 ACBD 1k,11(的图象与的图象(且)交于两点(2,5)，(8,3)，则ykxcd,,，ykxab,,,，k,03的值是( ) a，c A(7 B(8 C(10 D(13 f(x),|x，1|，|x,a|12.设函数的图象关于直线x,1对称，则的值为( ) a(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 2,x,x,1，，gxf，，x,13.设，是二次函数，若的值域是，则的值域是，，，f,,gx,0,，,，，gx,xx,,1, ( ) A. B. C. D. ，，，，，，,,,,1,,:1,，,,,,,1,,:0,，,,0,，,,1,，, 3(0,2)14(已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为( ) f(x),x，|3x,a|,2a (0,2)(0,4)(0,6) A( B( C( D((2，4) 1,|x,1|,x,(,,,2),,F(x),xf(x),1f(x),15(若函数，则函数的零点个数为( ) ,1f(x,2),x,[2,，,),2, A(4个 B(5个 C(6个 D(7个 22y,f(x)f(x),0x,[0,1]x,R16(设函数满足对任意的，且。已知当f(x，1)，f(x),9 2013,,ff(x),2,4x,2时，有，则的值为 。 ,,6,, 3 217(设，，求证: x,a,1f(x),f(a),2(a，1)f(x),x,x，13 218(设为实数，函数， x,Rf(x),x，|x,a|，1a 新疆王新敞奎屯f(x)f(x)(1)讨论的奇偶性; (2)求的最小值 219(已知函数，若a,b,b,0f(0),1,f(1),1,f(,1),1， f(x),ax，bx，c 5x,[,1,1]求证:当时，有 f(x),4 2x,[,1,1]20(已知:，。 f(x),x，ax，b,(a,b,R) 1|f(1)||f(2)||f(3)|(1)、、中至少有一个不小于 2 11|f(x)|f(x) (2)若的最大值为M，求证:。 (3)若时，求的表达式。 M,M,22 12f(x),x,(2a，2)x，(2a，1)lnx21(已知函数 2 (I )求f(x)的单调区间; 1135fx,fx,,|()()|,||a,[,],x,x,[1,2](II)对任意的，恒有，求正实数的取,1212xx2221 值范围. fxxxax()ln,,,22(已知函数. (1)若a=1，求函数在区间的最大值; fx()[1,]e (2)求函数的单调区间; (3)若恒成立，求的取值范围( fx()0,fx()a na,b,R23(设函数(n,N*，)。 f(x),,x，3ax，bn ?若a,b,1，求在上的最大值和最小值; f(x),,0,23 f(x),f(x),1?若对任意，都有，求的取值范围; x,x,[,1,1]a313212 1[,1,1]a,bf(x)?若在上的最大值为，求的值。 42 x224(已知函数 f(x),a，x,xlna(a,0,a,1). f(x)(0,f(0))(1) 求函数在点处的切线方程; f(x)(2) 求函数单调区间; x,x,[,1,1](3) 若存在，使得f(x),f(x),e,1(e是自然对数的底数)，求实数的取a1212值范围. 4 2x,[,1,1]1、解:由函数,且对任意的，， f(x),1f(x),ax，bx，c 有:f(1),1，f(,1),1，f(0),1 即 |a，b，c|,1,|a,b，c|,1,|c|,1。 |a，b，c|,|a，b|,|c||a，b|,|c|，1,2由，得 |a,b|,|c|，1,2同理: |g(x)|,|ax，b|,max{|a，b|,|a,b|},2故当时，有。 ,1,x,1 ，，所以有。 此时，,2,a，b,2,2,a,b,2,2,a,2 ， ？,4,2a，b,4,4,2a,b,4 |2ax，b|,max{|2a,b|,|2a，b|},4当时，故有。 ,1,x,1 例2、(1)解:对于任意，有， x,x,[0,1]0,x，x,21212?，?( ,1,x，x,1,1|x，x,1|,11212 22?( |f(x),f(x)|,|(x,x),(x,x)|,|x,x|,|x，x,1|1211221212 2?函数是“平缓函数”( f(x),x,x,x,[0,1] 11|()()|||||(2)证明:当时，由已知得。 x,x,fx,fx,x,x,12121222 11||当|时，，不妨设，其中，那么x,x,x,x,x,x,[0,1]0,x,x,11221121222 11() ,x,x,212 f(0),f(1)?， ? |f(x),f(x)|,|f(x),f(0)，f(1),f(x)|1212 ,|f(x),f(0)|，|f(1),f(x)|,(x,0)，(1,x)1212 11() ,,x,x,212 1|()()|?综上，对任意的都有成立。 fx,fx,x,x,[0,1]12122 例3、【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. 5 2,(?) (?). fxaxb,,122，， 2,当b?0时,>0在0?x?1上恒成立, fxaxb,,122，， 的最大值为:=|2-|，; 此时abafxfababab1423,,,，,,，，，， 2,当>0时,在0??1上的正负性不能判断, bxfxaxb,,122，， 此时的最大值为: fx，， baba,,，2,=|2a-b|，a; fxffbaab,,,,,max{(0)1}max{()3}，()，()，，,max32abba,,，, 综上所述:函数在0?x?1上的最大值为|2a-b|，a; fx，， (?) 要证+|2a-b|，a?0,即证=,?|2a-b|，a. fxgxfx，，，，，， 亦即证在0?x?1上的最大值小于(或等于)|2a-b|，a, gx，， b32,?,?令. gxaxbxab,,，，,42gxaxbx,,，,,,1220，，，，6a 2,当b?0时,<0在0?x?1上恒成立, gxaxb,,，122，， 此时的最大值为:=|2a-b|，a; gxgabab03,,,,，，，， 2,当b>0时,在0?x?1上的正负性不能判断, gxaxb,,，122，， b gxgg,max{()1}，()，，max6a 4b,，,,max{2}babba，36a ,4bba,6bab，,，,,36a,ba,6,ba,2，, ?|2a-b|，a; 综上所述:函数在0?x?1上的最大值小于(或等于)|2a-b|，a. gx，， 即+|2a-b|，a?0在0?x?1上恒成立. fx，， (?)由(?)知:函数在0?x?1上的最大值为|2a-b|，a, fx，， 且函数在0?x?1上的最小值比,(|2a-b|，a)要大. fx，， ,?,1??1对x[0,1]恒成立, fx，， 6 ?|2a-b|，a?1. 取b为纵轴,a为横轴. ba,2ba,2,,则可行域为:和,目标函数为z=a+b. ,,ba,,131ab,,,, 作图如下: z,3z,,1由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. maxmin ?所求+的取值范围为:. ab,13，,, nbc,,,1,1例4、解析:(1),时, n,2fxxx()1,，,n 1111,,,1?,?在内存在零点. fx()ff,,，,()(1)()10,,nnnn2222,, 1,,n,1,x,,1又当时, fxnx()10,，,,,n2,, 11,,,,,1,1? 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. fx()fx(),,,,nn22,,,, 2(2)当n,2时, fxxbxc(),，，2 [1,1],对任意都有等价于在上最大值与最小值之差xx,[1,1],,|()()|4fxfx,,fx()1221222 b||2b,M,4,据此分类讨论如下:(?)当,即时, ||1,2 ,与题设矛盾 Mffb,,,,,|(1)(1)|2||422 b(?)当,即02,,b时, ,,,,102 bb2恒成立 Mff,,,,,，,(1)()(1)42222 b,,,20b(?)当,即时, 01,,2 bb2恒成立. Mff,,,,,,,(1)()(1)42222 综上可知,,,,22b 注:(?)(?)也可合并证明如下: bmax{,}abab,,,,22b用表示中的较大者.当,即时, ,,,112 b Mfff,,,,max{(1),(1)}()2222 ffff(1)(1)|(1)(1)|,，,,b2222 ,，,,f()2222 7 2b,，，,,，1||()cbc 4 ||b2恒成立 ,，,(1)42 1,,(2)n,,1是在内的唯一零点 (3)证法一 设fx()x,,nn2,, 1,,nn，1x,,1,, fxxx()1,，,fxxx()10,，,,n，1,,nnnnnnnn，，，，11112,, nn，1于是有 fxfxxxxxfx()0()11(),,,，,,，,,nnnnnnnnnn，，，，，，，1111111 1,,,1又由(1)知在上是递增的,故, fx()xxn,,(2),,nnn，12,, 所以,数列是递增数列. xxx,,,23n 1,,,1证法二 设是在内的唯一零点 fx()x,,nn2,, nn，，11nn，1 fxfxx()(1)(1)(111),，,，,,，,,，,,xxxx110nnnnnnnnn，，11 则的零点在内,故, fx()xxn,,(2)x(,1)xn，1n，1nnn，1所以,数列是递增数列. xxx,,,23n n,2012陕西文,设函数fxxbxcnNbcR()(,,),，，,, ，n 1,,bc,,,1,1,1n,2(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点; fx(),,n2,, f(1)1,,f(1)1,(2)设n为偶数,,,求b+3c的最小值和最大值; ,,[1,1]n,2(3)设,若对任意,有,求b的取值范围; |()()|4fxfx,,xx,122122 8 M,|f(0)|M,|f(1)|M,|f(,1)|解:(1)证明:因为，，， 4M,2|f(0)|，|f(1)|，|f(,1)|所以 1,|2f(0),f(1),f(,1)|,2M,，所以。 2 1,|b|,,21,,b,,11,,(2)当时， M,|1，a，b|,,2,,22,,a,0,1,|1,a，b|,,2, 9 12() fx,x,2 22证明:?，?， f(a),a,a，13f(x),x,x，13 ?，?( x,a,x,a,1x,a,1 ?， x,a，1 22f(x),f(a),x,a，a,x? ,(x,a)(x，a),(x,a) ,(x,a)(x，a,1) ,x,a,x，a,1 ， ,x，a,1,x，a，1,a，1，a，1,2(a，1)即( f(x),f(a),2(a，1) 2例10 设二次函数(，且)，已知，，，a,0b,0b,af(,1),1f(x),ax，bx，cf(0),1 5f(x),，当时，证明( f(1),1x,14 分析:从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线;从且f(,1),1，f(1),1知，要a,0x,1 10 5f(x),求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方(因此抛物xx4 线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在( 证明:? 2b,(a，b，c),(a,b，c) ,a，b，c，a,b，c ,f(1)，f(,1),1，1 ， ,2 ?( b,1 b又?，?( ,1b,aa b1( ?,,,12a2 22b4acbb,f()c又，， c,f(0),1,,,,2a4a4a 22bbb? f()cc,,,,，2a4a4a 1b15,c，,,b,1，,1,1, ( 4a44f(x)而的图像为开口向上的抛物线，且，， ,1,x,1x,1 b?的最大值应在，或处取得( f(x)x,1x,,1x,,2a b5f(,),?，，， f(1),1f(,1),12a4 5f(x),?( 4 2a，1(x,2a,1)(x,1),f(x),x,(2a，2)，x,022(解:(?)= () xx ,f(x),0x,2a，1,x,1 令， „1分 12 2(x,1)f(x)，，0,，,,a,0? 时，，所以增区间是; f(x),,0x f(x)(0,1)(2a，1,，,)(1,2a，1)a,02a，1,1? 时，，所以增区间是与，减区间是 1(0,2a，1)f(x)(1,，,)(2a，1,1),,a,00,2a，1,1?时，，所以增区间是与，减区间是 2 11 1f(x)(1,，,)(0,1)a,,2a，1,0? 时，，所以增区间是，减区间是 „5分 2 35[1,2](2a，1),[4,6]f(x)a,[,](?)因为，所以，由(1)知在上为减函数. „6分 22 ,,(0,，,)x,x若，则原不等式恒成立，? „7分 12 11x,x1,x,x,2f(x),f(x),若，不妨设，则，， 121212xx12 111135fx,fx,,()(),(),,,,,f(x)f(x)a,[,]所以原不等式即为:，即对任意的，1212xx22xx1212 x,x,[1,2]恒成立 12 ,35x,x,[1,2]g(x),g(x)g(x),f(x),a,[,]令，所以对任意的，有恒成立，所以1212x22 ,[1,2]gxfx(),(),在闭区间上为增函数 „9分 x 35,g(x),0x,[1,2]a,[,]所以对任意的，恒成立 22 (1)利用绝对值的几何意义。 绝对值与函数相结合 (2)绝对值与不等式、集合相结合 (7)解答题中的绝对值问题 (3)绝对值与简易逻辑相结合 (4)绝对值与数列相结合 (5)绝对值与概率、分布列相结合 12 (6)绝对值与三角函数相结合 20(解:(1)若a=1, 则( fxxxx()1ln,,, 2121xx,,2' 当时, ,， fxxxx()ln,,,xe,[1,]fxx()210,,,,, xx 2 所以在上单调增, . „„„„„2分 ？,,,,fxfeee()()1fx()[1,]emax (2)由于fxxxax()ln,,,，( x,，,(0,) 2121xax,,2' (?)当时，则，， fxxaxx()ln,,,a,0fxxa()2,,,, xx 2aa，，8' 令，得(负根舍去)， fx()0,x,,004 '' 且当时，;当时，， xx,(0,)xx,，,(,)fx()0,fx()0,00 22aa，，8aa，，8 所以在上单调减，在上单调增.„„4分 fx()(,)，,(0,) 44 (?)当时， a,0 2121xax,,'?当时， , xa,fxxa()2,,,, xx 22aa，，8aa,，8' 令，得(舍)， fx()0,x,xa,,144 2aa，，8'若，即, 则，所以在上单调增; a,1fx()0,fx()(,)a，,,a 4 2aa，，8''若，即, 则当xx,(0,)时，;当xx,，,(,)时，，01,,afx()0,fx()0,,a11 4 22aa，，8aa，，8所以在区间上是单调减，在上单调fx()(,)，,(0,) 44 增. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 2121,，,xax'?当时, , 0,,xafxxa()2,,，,, xx '22令fx()0,，得，记， ,，,,210xax,,,a8 13 '2若，即, 则，故在上单调减; fx()0,022,,afx()(0,)a,,,,a80 2若，即, a,22,,,,a80 22aa,,8aa，,8'则由得，且， 0,,,xxafx()0,x,x,344344 '''当时，;当时，;当 时，，xx,(0,)xxx,(,)xx,，,(,)fx()0,fx()0,fx()0,3344 222aa,,8aaaa,,，,88所以在区间上是单调减，在上单调增;在fx()(,)(0,) 444 2aa，,8上单调减. „„„„„„„„„„„„„„„„8分 (,)，, 4 2aa，，8综上所述，当时,单调递减区间是 ，单调递增区间 a,1fx()fx()(0,) 42aa，，8是; (,)，, 4 当时, 单调递减区间是，单调的递增区间是 122,,afx()(0,)afx(); (,)a，, 22aa,,8aa，,8当时, 单调递减区间是(0, )和， a,22fx()(,)a 44 22aaaa,,，,88单调的递增区间是和. „„„„„„10分 fx()(,)a，,(,) 44 (3)函数的定义域为x,，,(0,)( fx() lnxfx()0, 由，得( * xa,, x lnxxa,?0(?)当x,(0,1)时，，，不等式*恒成立，所以; a,R,0 x lnx10,a?(?)当时，，，所以; „„„„„„12分 x,1a,1,0 x lnxlnx(?)当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立( x,1ax,,ax,， xx2xx,，1lnlnx令，则( ,hx(),hxx(),,2xx ,因为，所以hx()0,，从而hx()1,( x,1 14 lnx因为恒成立等价于，所以( ahx,(())a?1ax,,min x2xx，,1lnlnx令，则( ,gx(),gxx(),，2xx 12再令，则在上恒成立，在上无最大值( exxx()1ln,，,x,，,(1,)ex()x,，,(1,),exx()20,,, x 综上所述，满足条件的的取值范围是( „„„„„„„„„„16分 (,1),,a 3'219,解(1) ……………………………… 2分 ，，fx,,x，3x，1，，？fx,,3x，333 ''?在内, ，在 ，，，，fx,0fx,0，，，，0,11,233 33?在内, 为增函数，在内为减函数 ，，，，fx,,x，3x，1fx,,x，3x，1，，，，0,11,233 3?函数的最大值为，最小值为……………4分 ，，fx,,x，3x，1，，f1,3，，f2,,1333 (2)?对任意有，? ，，，，，，，，|fx,fx|,1|f1,f,1|,1x,x31323312 11|6a,2|,1从而有?………………………………………6分 ,a,62 '2，，又?在,,内为减函数，,,在,,内为增函数,只需fx,,3x，3a，，，，fx,1,,a,a,1fx,a,a333 ，，，，|fa,f,a|,1，则 4aa,133 11,a,?的取值范围是……………………………………………10分 a3616 11111||11(3)由知??， ，，，，，，fx,,,f,,,f,,44422222 11111130,,b,b,?加?得,b,又???……………………………………，，,,f,42222222 14分 1b,将0,a,0a,0代入??得?………………………16分 2 x219(?因为函数， fxaxxaaa()ln(0,1),,,,+ x,,f(0)0,所以，，„„„„„„„„„„„„„„„„2分 fxaaxa()ln2ln,,+ f(0)1,fx()(0,(0))fy,1又因为，所以函数在点处的切线方程为( „„„„4分 xx,?由?，( fxaaxaxaa()ln2ln2(1)ln,,,,++ ,fx()R因为当aa,,0,1时，总有在上是增函数， „„„„„„„„„„„„8分 ,,f(0)0,fx()0,(0,)+,又，所以不等式的解集为， 15 fx()(0,)+,故函数的单调增区间为(„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 xx,[1,1],,?因为存在，使得成立， fxfx()()e1,,?1212 x,,[1,1]而当时，， fxfxfxfx()()()(),,?12maxmin fxfx()()e1,,?所以只要即可(„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 maxmin ,fx()fx()又因为，，的变化情况如下表所示: x x(,0),,(0,)+, 0 ,, fx() 0 + fx() 减函数 极小值 增函数 x,,[1,1]fx()[1,0],[0,1]所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值fx，， ，的最大值为和中的最大值( fxf,,01fxfxf,1f1，，，，，，，，，，，，minmax 11因为， ffaaaaa(1)(1)(1ln)(1ln)2ln,,,,,,,,+++aa 11212,令，因为， gaaaa()2ln(0),,,,ga()1(1)0,,,,,+2aaaa 1所以在上是增函数( a,，,0,gaaa()2ln,,,，，a g(1)0,ff(1)(1),,而，故当时，，即; a,1ga,0，， ff(1)(1),,当时，，即(„„„„„„„„„„„„„„„14分 01,,aga,0，， ff(1)(0)e1,,?yaa,,lna,，,(1,)所以，当时，，即aa,,lne1?，函数在上是增函a,1 11ff(1)(0)e1,,,?数，解得a?e;当时，，即，函数在01,,a，,lne1a?ya,，lnaa 10,a?a,(0,1)上是减函数，解得( e 1综上可知，所求的取值范围为(„„„„„„„„„„„„16分 aa,,(0,][e,)+e 219(解:(1) f ?(x)=x,2mx,1, 22由f ?(x),0，得x,m,m+1,或x, m+m+1; 22fx()故函数的单调增区间为(,?,m,m+1),(m+m+1,+?), 22减区间(m,m+1, m+m+1). „„„„„„„„„„„,分 (2) “对任意的x，x,[,1，1]，都有|f,(x),f,(x)|,4”等价于“函数y=f ?(x),x,[,1，1]的最大值与最小1212 16 值的差小于等于4”. 2对于f ?(x)=x,2mx,1,对称轴x=m. ?当m<,1时, f ?(x)的最大值为f ?(1),最小值为f ?(,1),由 f ?(1),f ?(,1),4,即,4m,4,解得m,1,舍去; „„„„„„„„„„„6分 2f ?(1),f ?(m),4m,2m,3,0,,,,,m,1时, f ?(x)的最大值为f ?(1)或f ?(,1),最小值为f ?(m),由 即?当,1,,2f ?(,1),f ?(m),4m+2m,3,0,, ,1,m,1; „„„„„„„„„„„„8分 解得 ?当m>1时, f ?(x)的最大值为f ?(,1),最小值为f ?(1),由 f ?(,1),f ?(1),4,即4m,4,解得m,1,舍去; 综上,实数m的取值范围是[,1,1]. „„„„„„„„„„10分 2 (3)由f ?(x)=0,得x,2mx,1=0, 2因为?=4m+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值. 2设f ?(x)=0,即x,2mx,1=0， 000 1112122322则f (x)=x,mx,x+m=,mx,x+m=,x(m+1) „„„„„„12分 0000000333333 2222所以极大值f(m,m+1)=,(m,m+1)(m+1)>0， 3 2222极小值f(m+m+1)=,(m+m+1)(m+1)<0, 3 故函数f(x)有三个零点. „„„„„„„„„„16分 17