二分法求函数 零点[最新]

二分法求数 零点[最新] 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y,f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解( 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下: (1)确定区间，，验证?,0，给定精确度; (2)求区间，的中点; (3)计算: 1若=，则就是函数的零点; 2若?,0，则令=(此时零点); 3若?,0，则令=(此时零点); (4)判断是否达到精确度;即若,，则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4( 结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解. 思考:为什么由,，便可判断零点的近似值为(或), 一、能用二分法求零点的条件 例1 下列函数中能用二分法求零点的是( ) 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点(因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用( 变式迁移1 下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( ) 二、求函数的零点 3例2 判断函数y,x,x,1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)( 分析 由题目可获取以下主要信息:?判断函数在区间[1,1.5]内有无零点～可用根的存在性定理判断,?精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解( 3解 因为f(1),,1<0～f(1.5),0.875>0～且函数y,x,x,1的图象是连续的曲线～所以它在区[1,1.5]内有零点～用二分法逐次计算～列如下: 间 区间 中点值 中点函数近似值 (1,1.5) 1.25 ,0.3 (1.25,1.5) 1.375 0.22 ,0.05 (1.25,1.375) 1.312 5 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 由于|1.375,1.312 5|,0.062 5<0.1～ 所以函数的一个近似零点为1.312 5. 点评 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐～因此用列表法往往能比较清晰地表达(事实上～还可用二分法继续算下去～进而得到这个零点精确度更高的近似值( 32变式迁移2 求函数f(x),x，2x,3x,6的一个正数零点(精确度0.1)( 解 由于f(1),,6<0～f(2),4>0～可取区间(1,2)作为计算的初始区间～用二分法逐次计算～列表如下: 区间 中点 中点函数值 (1,2) 1.5 ,2.625 (1.5,2) 1.75 0.234 4 ,1.302 7 (1.5,1.75) 1.625 ,0.561 8 (1.625,1.75) 1.687 5 ,0.170 7 (1.687 5,1.75) 1.718 75 由于|1.75,1.687 5|,0.062 5<0.1～ 所以可将1.687 5作为函数零点的近似值( 三、二分法的综合运用 x例3 证明方程6,3x,2在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)( 分析 由题目可获取以下主要信息:?证明方程在[1,2]内有唯一实数解,?求出方程的解(解 x答本题可借助函数f(x),2，3x,6的单调性及根的存在性定理证明～进而用二分法求出这个解( x证明 设函数f(x),2，3x,6～ ?f(1),,1<0～f(2),4>0～ x又?f(x)是增函数～所以函数f(x),2，3x,6在区间[1,2]内有唯一的零点～ x则方程6,3x,2在区间[1,2]内有唯一一个实数解( 设该解为x～则x?[1,2]～ 00 取x,1.5～f(1.5),1.33>0～f(1)?f(1.5)<0～ 1 ?x?(1,1.5)～ 0 取x,1.25～f(1.25),0.128>0～ 2 f(1)?f(1.25)<0～?x?(1,1.25)～ 0 取x,1.125～f(1.125),,0.445<0～ 3 f(1.125)?f(1.25)<0～?x?(1.125,1.25)～ 0 取x,1.187 5～f(1.187 5),,0.16<0～ 4 f(1.187 5)?f(1.25)<0～ ?x?(1.187 5,1.25)( 0 ?|1.25,1.187 5|,0.062 5<0.1～ ?1.187 5可以作为这个方程的实数解( 点评 用二分法解决实际问题时～应考虑两个方面～一是转化成函数的零点问题～二是逐步缩 小考察范围～逼近问题的解( 3变式迁移3 求2的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)( 33解 设x,2～则x,2,0. 33令f(x),x,2～则函数f(x)的零点的近似值就是2的近似值～以下用二分法求其零点的近似值( 由于f(1),,1<0～f(2),6>0～故可以取区间[1,2]为计算的初始区间( 用二分法逐步计算～列表如下: 区间 中点 中点函数值 [1,2] 1.5 1.375 ,0.046 9 [1,1.5] 1.25 [1.25,1.5] 1.375 0.599 6 [1.25,1.375] 1.312 5 0.261 0 [1.25,1.312 5] 1.281 25 0.103 3 [1.25,1.281 25] 1.265 625 0.027 3 [1.25,1.265 625] 1.257 812 5 ,0.01 [1.257 812 5,1.265 625] 1.261 718 75 0.008 6 由于|1.265 625,1.257 812 5|,0.007 81<0.01～ 所以函数f(x)零点的近似值是1.26～ 3即2的近似值是1.26. 四、 1(能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用～对函数的不变号零点不适用( 12(二分法实质是一种逼近思想的应用(区间长度为1时～使用“二分法”n次后～精确度为.n2 3(求函数零点的近似值时～所要求的精确度不同～得到的结果也不相同(精确度为ε～是指在计算过程中得到某个区间(a～b)后～若其长度小于ε～即认为已达到所要求的精确度～可停止计算～否则应继续计算～直到|a,b|<ε为止( 练习 1(下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A(f(x),2x，3 B(f(x),lnx，2x,6 2xC(f(x),x,2x，1 D(f(x),2,1 xx2(设f(x),3，3x,8，用二分法求方程3，3x,8,0在x?(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ) A((1,1.25) B((1.25,1.5) C((1.5,2) D(不能确定 23(函数f(x),x,5的正零点的近似值(精确到0.1)是( ) A(2.0 B(2.1 C(2.2 D(2.3 x,14(方程2，x,5的解所在的区间是( ) A((0,1) B((1,2) C((2,3) D((3,4) 35(用二分法研究函数f(x),x，3x,1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x?________，第二次应计算________(以上横线上应填的内容为( ) 0 A((0,0.5)，f(0.25) B((0,1)，f(0.25) C((0.5,1)，f(0.25) D((0,0.5)，f(0.125) 6(在用二分法求方程f(x),0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)( 27(用二分法求方程x,5,0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01. 8(用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a，b] (n?N)上，当|a,b|答案

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