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灰色系统预测 1 灰色系统理论。 灰色系统理论(Grey System Theory)的创立源于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中-美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问”的学术中首次使用了“ 灰色系统”一词。1982年，邓聚龙发了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特(Brockett)给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。 事实上，灰色系统的概念是由英国科学家艾什比(W?R?Ashby)所提出的“黑箱”(Black Box)概念发展演进而来，是自动控制和运筹学相结合的产物。艾什比利用黑箱来描述那些内部结构、特性、参数全部未知而只能从对象外部和对象运动的因果关系及输出输入关系来研究的一类事物。邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为 研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据” 建模寻求现实规律的良好特 性，克服了资料不足或系统周期短的矛盾。 目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域展示了极为广泛的应用前景。 灰色系统GM(1，1)模型是依据系统中已知的多种因素的综合资料，将此资料的时间序列按微分方程拟合去逼近上述时间序列所描述的动态过程，进而外推，达到预测的目的。这种拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，因此，简记为GM(1，1)模型。 2 建立GM(1，1)模型 给定原始时间1990-2001年资料列: (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)x=(x(1)，x(2)，x(3)，x(4)，x(5)，x(6)，x(7)，x(8)，x(9)，x(10)，(0)(0)x(11)，x(12)) =(19519，19578，19637，19695，16602，25723，30379，34473，38485，40514，42400，48337)， k(0)(0)(1)(0)(1) 坐AGO生成，有x =AGOx，x(k)=则 对xx(m),,m,1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x =(x(1)，x(2)，x(3)，x(4)，x(5)，x(6)，x(7)，x(8)，x(9)，x(10)，(1)(1)x(11)，x(12)) =(19519，39097，58734，78429，95031，120754，151133，185606，224091，264605，307005，355342)， (0)对上述x的GM(1，1)参数a,b，按下述算式辨识: T-1T=(BB)By N (0)(1)(0)(1)(1)(1)x基于x与x，有 ，，，，,293081zxx，，,(2)1,0.5((1)，(2))1,,,,,,(1)(1)(1),48915.51zxx,(3)1,0.5((2)，(3))1,,,,,,(1)(1)(1),,,,,,,68581.51zxx,(4)1,0.5((3)，(4))1,,,,,,(1)(1)(1),867301zxx,(5)1,0.5((4)，(5))1,,,,,,(1)(1)(1),,,,,,,107892.51zxx,(6)1,0.5((5)，(6))1,,,,,,(1)(1)(1) B,,,,135943.51zxx,,,,,(7)1,0.5((6)，(7))1,,,,,,,,(1)(1)(1),168369.51zxx,(8)1,0.5((7)，(8))1,,,,,,(1)(1)(1),,,,,204848.51,,zxx,(9)1,0.5((8)，(9))1,,,,,,(1)(1)(1),2443481zxx,(10)1,0.5((9)，(10))1,,,,,,(1)(1)(1),,,,,,,331173.51zxx,(11)1,0.5((10)，(11))1,,,,,,(1)(1)(1),5236.21zxx,(12)1,0.5((11)，(12))1,,,,，，，，，， (0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)y=[ x(2)，x(3)，x(4)，x(5)，x(6)，x(7)，x(8)，x(9)，x(10)，N (0)(0)Tx(11)，x(12)]=(39097，58734，78429，95031，120754，151133，185606， T224091，264605，307005，355342)。 将B,y代入辨识算式，有 N ^,0.1062105a，，，，T-1T.a,=(BB)By =， N,,,,b13999.9，，，， a=,0.1062105, b=13999.9 得GM(1，1)模型为 1)灰微分方程 (0)(1)x(k),0.1062105z(k)=13999.9; 2)白化方程 (1)dx(1) ,0.1062105z(k)=13999.9; dt 3)白化方程的时间响应式 (1)^bb(0),at xtxe(，1),((1),)，aa 0.1062105t=151332.5e,131813.5， (0)(1)(1)(0)(1)^^^^^ =19519。? x(t，1),x(t，1),x(t),x(1),x(1) (0)^0.10621054tx(t，1)e得还原方程=15248.968，? 表1 1990-2002年GM(1，1)灰色系统预测值与实际值比较 Table1 GM(1，1)Grey System Forecast Value Comparing with Actual Value， 1990-2002 444年份 预测值(10t) 实际值(10t) 残差q(10t) 相对误差ξ (%) 11991 16957.69 19578 2620.3 13.38 1992 18857.91 19637 779.09 3.967 1993 20971.05 19695 -1276 -6.48 1994 23320.96 16602 -6719 -40.5 1995 25934.29 25723 -211.3 -0.82 1996 28840.3 30379 1538.7 5.065 1997 32072.06 34473 2400.9 6.965 1998 35665.88 38485 2819.1 7.325 1999 39662.47 40514 851.53 2.102 2000 44106.89 42400 -1707 -4.03 2001 49049.32 48337 -712.3 -1.47 (0)^(0)(0)^x(k)x(k),(0)x(k),x(k)注:q=，ξ= %(0)x(k) 3 建立GM(1，1)残差模型 将表1中的最后六个残差数据进行非负处理得 E(t)=(1538.7，2400.9，2819.1，851.53，1707，712.3) (1)^,0.2567teE(t),对这个资料列作GM(1，1)模型为,11758.55+13297.25 ? (0)^,0.2567tE(t，1),3018.5e得还原方程 ? 考虑残差的符号(为负号时，减修正模型中后面一项;为正号时，加修正模 型中后面一项)(得修正后的模型为 (0)(0)^^^0.10621054t,0.2567(t,6)e3018.5ex(t，1),(k,6)=+=15248.968?，? x(t，1)E(t，1) 1,x,6,其中(k,6),。所得具体资料见表2-17。 ,,0,x,6, 表2 1990-2002年GM(1，1)残差灰色系统预测值与实际值比较 Table2 GM(1，1)Remnant Difference Grey System Forecast Value Comparing with Actual Value，1990-2002 44年份 实际值(10t) 调整后的预测值(10t) 修正后的相对误差ξ (%) 2 1996 30379 31175.4 2.621548 1997 34473 33879 -1.72309 1998 38485 37063.3 -3.69417 1999 40514 40743.5 0.566471 2000 42400 43270.6 2.053302 2001 48337 48402.34 0.135176 从表2-17可以看出，经残差GM(1，1)模型修正后(原点相对误差大为降低(由原来的,1.47%降到0.135%，特别是1997年这一点，相对误差由原来的6.965%降到,1.172%。平均相对误差由原来的4.5%下降到现在的1.78%。作为检验，笔者用?预测2002年的蔬菜产量为54045.1648万吨(实际产量为52909万吨)，误差仅为2.15%。 60000 预测值(10000t)实际值(10000t)50000 40000 30000 20000 10000 0 1990199219941996199820002002 图1 1990-2002年蔬菜产出水平的灰色预测值与实际值比较 Fig.1 Factual Vegetable’s Output Comparing with Grey System Forecast Output， 1990-2002