[等腰直角三角形abc中]等腰直角三角形：等腰直角三角形

[等腰直角三角形abc中]等腰直角三角形：等腰直角三角形 [等腰直角三角形abc中]等腰直角三角形: 等腰直角三角形 篇一 : 等腰直角三角形:等腰直角三角形-概念，等腰直角三角形-关系 等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质:稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为，所以r:R=1:。等腰直角三角形中的四条特殊的线段:角平分线，中线，高，中位线。 直角三角形_等腰直角三角形 -概念 等腰直角三角形是1种特殊的三角形。 具有所有三角形的性质:稳定性 。 两直角边相等 直角边夹亦直角锐角45? 。 斜边上中线角平分线垂线 三线合一。 等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径;那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为，所以r:R,1:。 直角三角形_等腰直角三角形 -关系 等腰直角三角形的边角之间的关系 : 三角形三内角和等于180?; 三角形的1个外角等于和它不相邻的2个内角之和; 三角形的1个外角大于任何1个和它不相邻的内角; 4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; 在同1个三角形内，大边对大角，大角对大边. 等腰直角三角形中 的四条特殊的线段:角平分线，中线，高，中位线. 三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. . 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。 注意～ ?三角形的内心、重心都在三角形的内部 .?钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 ?直角三角形垂心、外心在三角形的边上。?锐角三角形垂心、外心在三角形内部。 直角三角形_等腰直角三角形 -线段 中线:顶点与对边中点的连线，平分三角形。 高:顶点到对边垂足的连线。 角平分线;顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 中位线:任意两边中点的连线。 直角三角形_等腰直角三角形 -性质 等边三角形的性质: 1)等边三角形的内角都相等，且为60度 。 2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合 。 3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 。 等边三角形的判定: 三边相等的三角形是等边三角形 2)3个内角都相等的三角形是等边三角形 3)有1个角是60度的等腰三角形是等边三角形 理解等边三角形的性质与判定。 首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。 其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 推论1:3个角都相等的三角形是等边三角形 推论2:有1个角等于60?的等腰三角形是等边三角形 等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合，称为等边三角形的中心。 等边三角形的中心、内心和垂心重合于一点。 等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。 等边三角形的复数性质 A,B,C三点的复数构成正三角形 等价于 A+wB+wwC=0 其中 w=cos+isin 1+w+ww=0 直角三角形_等腰直角三角形 -生活中的三角形物品 雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。 直角三角形_等腰直角三角形 -解三角形 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r 余弦定理。 a =b +c -2bc*CosA cosA=c +b -a /2cb b =a +c -2ac*CosB cosB=a +c -b /2ac c =a +b -2ab*CosC cosC=a +b -c /2ab 直角三角形_等腰直角三角形 -勾股定理 在Rt三角形ABC中，〈A=90度，则 AB?AB+AC?AC=BC?BC A>90度，则 AB?AB+AC?AC>BC?BC 直角三角形_等腰直角三角形 -三角形相关定理 重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍( 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点( 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点( 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点( 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点( 这点叫做三角形的旁心(三角形有3个旁心( 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心( 它们都是三角形的重要相关点( 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半( 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边( 三角形面积计算公式 S=ah/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 直角三角形_等腰直角三角形 -梅涅劳斯定理 人物 梅涅劳斯定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么××=1。 证明: 过点A作AG?BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足××=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 说明 另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下 面从别人转来一些帮助书写 为了说明问题，并给大家1个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是6个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意1个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每1个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它5个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 另外还有1个要求，就是同一直线上的3个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有4种，下面逐一说明: 方案 ? ——从A经过B到F，再返回B，再到D，之后经过B到C，再到E，最后从E经过C回到出发点A。 按照这个方案，可以写出关系式: **=1。 现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 从A点出发的旅游方案还有: 方案 ? ——可以简记为:A?B?F?D?E?C?A，由此可写出以下公式: **=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有: 方案 ? —— A?C?E?D?F?B?A，由此可写出公式: **=1。 从A出发还有最后1个方案: 方案 ? —— A?E?C?D?B?F?A，由此写出公式: **=1。 我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一2个典型的公式给我们看看。 现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。 直角三角形_等腰直角三角形 -面积公式 S=*底*高 S=*a*b*sinC S=底*高/2 底X高除2二分之一的 s=1/2的周长*内切圆半径 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 大角对大边 周长c=三边之和a+b+c 面积 s=1/2ah s=1/2absinC s=1/2acsinB s=1/2bcsinA s=根号下:p其中p=1/2 这个公式叫海伦公式 正弦定理: sinA/a=sinB/b=sinc/C 余弦定理: a =b +c -2bccosA b =a +c -2accosB c =a +b -2abcosA 三角形2条边向加大于第三边. 三角形面积=底*高/2 三角形内角和=180度 求面积吗×高?2 三角形面积=底*高/2 三角形面积公式: 底*高/2 三角形的内角和是180度 直角三角形_等腰直角三角形 -证明方法 证法1 作4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜 边长为c.把它们拼成如图那样的1个多边形，使D、E、F在一条直 线上.过点C作AC的延长线交DF于点P. ?D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF?RtΔEBD, ??EGF=?BED， ??EGF+?GEF=90?， ??BED+?GEF=90?， ??BEG=180?―90?=90? 又?AB=BE=EG=GA=c， ?ABEG是1个边长为c的正方形. ??ABC+?CBE=90? ?RtΔABC?RtΔEBD, ??ABC=?EBD. ??EBD+?CBE=90? 即?CBD=90? 又??BDE=90?，?BCP=90?， BC=BD=a. ?BDPC是1个边长为a的正方形. 同理，HPFG是1个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a +b =c 证法2 作2个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b， 斜边长为c.再做1个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边 形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP?BC，交AC于点P. 过点B作BM?PQ，垂足为M;再过点 F作FN?PQ，垂足为N. ??BCA=90?，QP?BC， ??MPC=90?， ?BM?PQ， ??BMP=90?， ?BCPM是1个矩形，即?MBC=90?. ??QBM+?MBA=?QBA=90?， ?ABC+?MBA=?MBC=90?， ??QBM=?ABC， 又??BMP=90?，?BCA=90?，BQ=BA=c， ?RtΔBMQ?RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF?RtΔAEF.即a +b =c 证法3 作2个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b， 斜边长为c.再作1个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ?EF=DF-DE=b-a，EI=b， ?FI=a， ?G,I,J在同一直线上， ?CJ=CF=a，CB=CD=c， ?CJB=?CFD=90?， ?RtΔCJB?RtΔCFD， 同理，RtΔABG?RtΔADE， ?RtΔCJB?RtΔCFD?RtΔABG?RtΔADE ??ABG=?BCJ, ??BCJ+?CBJ=90?, ??ABG+?CBJ=90?, ??ABC=90?, ?G,B,I,J在同一直线上， a +b =c 证法4 作3个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形 状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CL?DE， 交AB于点M，交DE于点L. ?AF=AC，AB=AD， ?FAB=?GAD， ?ΔFAB?ΔGAD， ?ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ?矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEB的面积=. ?正方形ADEB的面积 =矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 ?即a +b =c 证法5 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设?ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余2个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要4个辅助定理如下: 如果2个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意 1个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意1个四方形的面积等于其二边长的乘积。证明的概念为:把上方的2个正方形转换成2个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的2个同等面积的长方形。 其证明如下: 设?ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成2个三角形BCF、BDA。?CAB和?BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对 应的，同理可证B、A和H。?CBD和?FBA皆为直角，所以?ABD等于?FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC，所以?ABD 必须相等于?FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于?ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于?FBC。因此四边形BDLK 必须有相同的面积BAGF=AB 。同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=AC 。把这2个结果相加， AB +AC ;=BD×BK+KL×KC。由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD=BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB +AC =BC 。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的 证法6 如图1，Rt?ABC中，?ABC=90?，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下: 1) ;=AD?DC， ;=AD?AC， ;=CD?AC。 由公式+得: ;+ ;=AD?AC+CD?AC= ;， 即 ;+ ;= ，这就是勾股定理的结论。 证法七 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由四个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为2。于是便可得如下的式子: 4×+2=c2 化简后便可得: a2+b2=c2 亦即: c= 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称 直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾 股定理在我国又叫“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之 得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又称“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”(前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理。 1.周髀算经,文物出版社,1980年3月,据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 2.陈良佐:周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.刊於《汉学研究》,1989年第7卷第1期,255-281页。 3.李国伟:论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章.刊於《第二届科学史研讨会汇刊》,台湾,1991年7月，227-234页。 4.李继闵:商高定理辨证.刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第 1期,29-41页。 5.曲安京:商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.刊於《数学传播》20卷,台湾,1996年9月第3期,20-27页 证法8 达芬奇的证法 三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这2个形式不同的表达式相等，就能得出1个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB?CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。 然后需知道的是角A’和角D’都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以?BAD=?FAD=?CDA=?EDA=45?，那么 很明显，图三中角A’和角D’都是直角。证明:第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形 CDEO+2S?BCO=OF +OE +OF?OE 第三张纸片中多边形A’B’C’D’E’F’的面积S2=S正方形B’C’E’F’+2?C’D’E’=E’F’ +C’D’?D’E’因为S1=S2 所以OF +OE +OF?OE=E’F’ +C’D’?D’E’又因为C’D’=CD=OE,D’E’=AF=OF所以 OF?OE=C’D’?D’E’则OF +OE =E’F’ 因为E’F’=EF所以OF +OE =EF 勾股定理得证 直角三角形_等腰直角三角形 -定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a +b =c ;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a +b =c ，如:一条直角边是3，一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么这个三角 形是直角三角形。 直角三角形_等腰直角三角形 -特殊等腰 解:首先证明面积最大的是它 辅助线:将等腰RT?ACB,任意RT?AC’B都画出外接圆,AB为圆的直径..再做CF?AB,C’F?AB. ?在半圆中,弧AB上取一点做AB垂线,可知垂线最长的就是CO,即圆的半径. ?S?=底×高?2=CF×AB?2.而CF所在?就是等腰RT?,所以在所有斜边相等的RT?中,面积最大的都是等腰RT三角形. 其次解:证明周长最大的还是它 辅助线:延长BC到E,使得CE=AC.延长BC’到D,使得C’D=C’A.连接DE,AD,AE. ?AC’?BDAC?BE.C’D=C’A,AC=CE. ?等腰RT?ACE,等腰RT?ADC’. ??AEB=?ADB=45? 又?AE,BD为四边形ADEB的对角线. ?四边形ADEB可以内接在1个圆当中. ??EDB=?EAB. ?AC垂直平分BE,且AC=CE=CB. ?等腰RT?AEB.EA?AB. ??EDB=?EAB=90? ?RT?EDB. ?RT三角形当中斜边恒大于直角边. ?EB>BD. 又?EB=AC+CB.BD=AC’+C’B. ?AC+CB>AC’+C’B. 因为RT?ACB周长=AB+. RT?AC’B周长=AB+. ?等腰RT?ACB周长>任意RT?AC’B周长. 篇二 : 全等三角形在三角形ABC中，角B=60度，角BAC、角BCA 的角 全等三角形 在三角形AB中，角B=60度，角BAC、角BCA的角平分线AD与CE交于点O，猜想OE与OD的大小关系和AC与AE、CD的关系，并说明理由。 急急急急急急急急急～～～ ??ABC=60? ??BAC+?BCA=120? 又?AD、CE是?BAC、?BCA的角平分线 ??FAC+?FCA=60? ??AFC=120? ??AFE=?CFD=60?，作?AFC的角平分线FM交AC于M，则?AFE=?AFM=60? ??CFM=?CFD=60? ??AEF??AMF，?CDF??CMF ?AM=AE，CM=CD，?AE+CD=AC 篇三 : 如图，在等腰直角三角形ABC中，?B=90?，E,F,将BC三等? 如图，在等腰直角三角形ABC中，?B=90?，E,F,将BC三等分，求?EAF，?FAC的正切值 如图，在等腰直角三角形AB中，?B=90?，E,F,将BC三等分，求?EAF，?FAC的正切值 tan?CAB=1 tan?FAB=2/3 tan?EAB=1/3 tan?FAB=tan=/=/=2/3 解得tan?EAF=3/11 tan?BAC=tan=/=/=1 解得tan?FAC=3/5