轴向受载的高速角接触球轴承接触角域的精确确定

2 0 0 8 年 12 月 农 业 机 械 学 报 第 39 卷 第 12 期 轴向受载的高速角接触球轴承接触角域的精确确定* 赵春江 崔国华 王国强 黄庆学 张芳萍 =摘要> 在了高速角接触球轴承动态特性方程组的基础上, 对动态特性的辅助方程进行了寻求根本变量 的分析,得到了各个方程组变量相互耦合的关系图和根本变量。根据高速角接触球轴承受纯轴向力时的特点, 提 出了应用接触角进行迭代求解动态特性的计算。为了确定接触角的求解域, 根据文献的计算结果分析了随着 载荷和转速的变化内接触角增量小于外接触角增量的特点, 并应用本文提出的迭代方法对算例进行了计算,验证 了对接触角增量变化分析的正确性,从而将接触角的搜索范围缩小一半,减少了计算量。 关键词: 高速角接触球轴承 轴向受力 接触角域 根本变量分析 精确确定 中图分类号: TH13 文献标识码: A Precise Definition of Contact Angle Field on High Speed Angular- contact Ball Bearing under Axial Load Zhao Chunjiang1, 2 Cui Guohua1 Wang Guoqiang1 Huang Qingxue2 Zhang Fangping2 (11Ji lin University , Changchun 130025, China 21 Taiyuan Universi ty of Science and Technology , Taiyuan 030024, China) Abstract Based on the system analysis of dynamic equat ions group of high-speed angular-contact ball bearing, an analysis to find the ultimate variables of the adjunct equat ions was g iven, and a chart about coupled variables w as obtained which show ed that the contact angle are the ult imate variables. Based on above-ment ioned analysis, according to the feature of the bearing under ax ial load, an algorithm has been put forw ard, w hich took the contact angle as the iterate variables. Based on the present calculation results, an analysis w as given, which showed that the increment of internal contact angle is larger than that of external contact ang le, the analysis w ould be helpful to def ine the contact ang le field. By using the method of contact ang le iterate, an example w as g iven, w hich verif ied the analysis of increment of contact ang le is correct. So the search f ield of contact ang le has been reduced half, and the calculation is simplif ied obviously. Key words High speed angular-contact ball bearing, Axial load, F ield of contact angle, Analysis of ult imate v ariables, Precise definit ion 收稿日期: 2008-04-07 * 国家自然科学基金资助项目(项目编号: 50575155) 赵春江 吉林大学机械科学与学院 博士生 讲师(太原科技大学) , 130025 长春市 崔国华 吉林大学机械科学与工程学院 博士生 王国强 吉林大学机械科学与工程学院 教授 博士生导师 黄庆学 太原科技大学材料科学与工程学院 教授 博士生导师, 030024 太原市 张芳萍 太原科技大学材料科学与工程学院 讲师 引言 角接触球轴承的动态特性直接关系着转子系统 的性能[ 1]。动态特性可由一系列复杂的动态方程 组来描述,包括由几何方程、变形方程、钢球和套圈 的平衡方程组成的主方程和包括离心力、陀螺力矩、 负荷变形常数、钢球转速、姿态角方程在内的辅助方 程[ 2~ 3]。对于球轴承动态特性的分析, Johns A B首 先建立了球轴承的动力学基础, 随后球轴承的动态 特性计算先后经历了拟静力学、拟动力学、动力学的 发展历程[ 4~ 7]。国内也对高速角接触球轴承的动 态方程做了大量的研究工作[ 8~ 9]。各种方法的异 同点, 是在球轴承动态特性基本方程组的基础上考 虑了润滑以及轴承部件之间的相互力学作用, 而共 同的基础是求解文献[ 1~ 2]中给出的动态非线性方 程组。方程组用 New ton-Raphson方法求解[ 10]。但 由于方程组中各参数互相耦合,所以计算过程复杂, 且难以保证初始值选取的合理性和迭代方程的收敛 性。 本文从辅助方程出发, 归纳各个变量与内外接 触角的关系,将接触角设定为初始值迭代求解方程 组,则各方程都可以顺序求解。分析轴向受力工况 下动态方程组的简化形式, 进行外接触角增量大于 内接触角增量的理论分析, 算例针对不同的转速和 轴向力寻求方程的适解接触角。 1 纯轴向受力时主方程的化简 求解角接触球轴承动态方程组首先需要从轴承 接触变形入手, 建立由轴承的几何方程、变形方程、 钢球平衡方程、套圈平衡方程构成的主方程组,包括 6Z+ 2( Z 是滚动体数)个方程,再建立包括离心力、 陀螺力矩、接触角等方程在内的辅助方程组, 应用 Newton-Raphson方法求解。 高速角接触球轴承承受纯轴向负载时, 各个钢 球的受力状态相同, 各方程和变量中,代表钢球号的 下标 q 可省略掉, 6Z+ 2 个基本方程变为 7个, 具 体如下: 几何方程 几何方程中钢球径向变形和轴向变形同时产 生,与钢球位置角无关 A x = BDw sinA0+ Da ( 1) A z = BDw cosA0 ( 2) 式中 B ) ) ) 内、外沟曲率常数 A0 ) ) ) 原始接触角 Da ) ) ) 轴向变形 Dw ) ) ) 滚动体直径 A x、A z ) ) ) 变形后沟曲率中心 x、z 坐标 John对几何关系作了详细分析, 见文献[ 11]。 钢球与内外圈的接触变形方程 Di= ( V 2 x + V 2 z ) 1/ 2- ( f i- 015)Dw ( 3) De= [ ( A x - V z ) 2+ ( A z- V z ) 2 ] 1/ 2- ( f e- 015) Dw ( 4) 式中 f ) ) ) 沟曲率半径系数 下角 i、e分别代表内、外圈。 钢球平衡方程 Q isinAi- Q esinAe- Mg Dw ( KicosAi- KecosAe )= 0 (5) Q i cosAi - Q ecosAe- Mg Dw ( KisinAi - KesinAe )+ Fc= 0 (6) 式中 Q ) ) ) 套圈与滚动体负荷 K) ) ) 滚道控制参数 A) ) ) 接触角 Mg ) ) ) 滚动体的陀螺力矩 Fc ) ) ) 滚动体的离心力 套圈平衡方程 Fa- E z q= 1 Q isinAi - Mg Dw KicosAi = 0 (7) 式中 Fa ) ) ) 轴承所受的轴向力 q ) ) ) 滚动体编号 以上方程组求解, 较联合受载工况的计算大为 简化。但是由于载荷接触刚度 K、Mgq、Fcq等辅助 方程都与接触角相关, 主辅方程互相耦合,所以迭代 收敛性对初始值的选取依赖性大、计算收敛性差等 缺点并未从根本上消除。 2 辅助方程及其根本变量分析 根据角接触球轴承动态系列方程组, 对辅助方 程进行变量传递分析, 为了将本文分析方法推广到 联合受载工况,仍旧沿用联合受载时的一般化方程, 采用下标 q。 离心力方程 Fcq= 2126 @ 10- 11dmD 3w n2mq (8) 式中 d m ) ) ) 轴承节圆直径 nmq ) ) ) 滚动体公转速度 nmq= 8 i ( 1- Ci ) cos( Ae- B) ? 8e(1+ Ce) cos( Ai - B) (1+ Ce ) cos( Ai- B)+ (1- Ci ) cos( Ae- B) (9) 式中 8 ) ) ) 套圈角速度 C) ) ) 几何参数 B) ) ) 滚动体姿态角 根据外沟道控制理论, 有 B= arctan cosAesinAe cos2Ae+ Ce (10) Ce= Dw cosAe dm (11) 陀螺力矩方程 154 农 业 机 械 学 报 2 0 0 8 年 Mgq= 415 @ 10- 12D 5w nbqnmqsinBq (12) 式中 nbq ) ) ) 滚动体自转速度 nbq = dm (1- Ci ) (1+ Ce ) ( 8 i ? 8e ) Dw (1- Ci ) cos( Ae- Bq)+ (1+ Ce ) cos( Ai- Bq ) (13) 接触负荷方程有 Qi q= K iqD 115 iq (14) Q eq= K eqD 11 5 eq (15) 式中 K jq ) ) ) 滚动体与滚道接触刚度 Djq ) ) ) 滚动体接触变形 K jq = 2115 @ 105 E Qj - 1/ 2 ( nD) - 3/ 2 (16) 式中 E Qj ) ) ) 接触点主曲率和 nD ) ) ) 接触变形系数, 可以根据主曲率差函 数 F ( Q)查表求得 式中 j= i , e。 E Qj= 4Dw + 2Cj q Dw (1ºCj q)- 1f iDw (17) 式中 j= i 时取减号。 F ( Q)= Q12- Q11 + Q22 - Q21 E Q (18) Q11= Q12= 2 Dw (19) Q21= - 1 f jDw (20) Q22= º 2C Dw (1 ? C) (21) 根据对方程( 8) ~ ( 21)的分析, 对于离心力方 程、陀螺力矩方程和接触负荷方程依次寻找根本变 量,可以得到如图 1所示的变量传递图,图中箭头左 边是箭头右边的函数。 图 1 变量传递关系 F ig. 1 Chart of variable delivery 3 基于接触角迭代的求解方法 由文献[ 11]得 sinAi= V x ( f i- 015) Dw + Di (22) cosAe= A z - V z ( f e- 015)Dw + De (23) 将方程(1)、(2)、(22)、(23)代入方程(3)、(4) , 并根据本文分析, 方程( 3) ~ ( 7)为 Di、De、Da、Ai、Ae 的函数, 5个方程 5个未知数,可解。求解上述方程 需要代入辅助方程,求解仍旧复杂。根据本文的分 析,通过试算 Ai、Ae 的初值来求解方程可使计算过 程直观简易。由于不能得到各变量严格的解析解, 所以设定接触角搜索试算终止准则, 根据最小二乘 原则,给出试算终止判别方程 E 7 l = 3 E2l= m in (24) 其中 l= 3, 4, 5, 6, 7, El 是第 l 个方程的残差。当给 定的接触角满足方程( 24)时就是方程组的最优解。 4 接触角域的初步确定 基于以上分析, 将接触角设定为迭代变量最有 利于方程的求解。缩小确定接触角的搜索域,使得 寻找最优接触角值的过程既简便又准确。根据理论 计算结果[ 12] , 可以得到两点确定接触角搜索域的约 束条件: ¹随着转速的升高, 内接触角变大,外接触 角变小, 实际外接触角小于内接触角, 即 Ai > Ae。 º内外接触角变化量随着载荷的升高趋近相等, 基 本关于静态接触角曲线对称,低速时成倍数关系。 根据以上分析可得: ¹ 由于内接触角变大, 外接 触角变小, 所以搜索区域必定在直线 Ai = A0 的右 端,和直线 Ae= A0 的下方(在内、外接触角为横、纵 坐标的坐标系内)。º接触角之和为 Ai+ Ae= ( A0+ $Ai )+ ( A0- $Ae ) ,推力载荷增加时, 内外接触角变 化量接近相等, 即 $A= $Ai = $Ae , 得到 Ai + Ae= ( A0+ $Ai )+ ( A0- $Ae)= 2A0。 由以上分析可以将接触角的搜索域确定在对称 于直线 Ai+ Ae= 2A0 的两边, 搜索域对直线的偏离 量就是接触角的变化量之差 $Ai- $Ae ( $Ae 是外接 触角减小量的绝对值)。这样接触角搜索限定在直 线 Ai+ Ae = 2A0+ ( $Ai - $Ae )上。理论上, 通过改 变 $Ai- $Ae 值,可以找到接触角最优解。 5 接触角域的精确确定分析 根据以上分析,接触角搜索可以沿着直线 Ai+ Ae= 2A0+ ( $Ai- $Ae )进行, 由于 $Ai - $Ae 的大小 仍无法判断, 所以直线族范围给定在 2A0 ? ( $Ai - $Ae) , 即直线 Ai+ Ae= 2A0 内外| $Ai- $Ae | 范围内。 如果能够确定$Ai- $Ae 的正负,则接触角所在直线 族的范围可以减小一半, 可以简化搜索接触角的计 算量。 根据文献 [ 11] , 用三点(球心与内外沟曲率中 心)的变形和位移代表高速钢球的几何关系。假定 外沟道固定,所以外沟道曲率中心点 n 的位置保持 不变,钢球与外接触角的变形表现为钢球球心的位 155第 12 期 赵春江 等: 轴向受载的高速角接触球轴承接触角域的精确确定 移,从 E 点升移到Ec点。而钢球与内圈的相对位移 表现为内沟道曲率中心 mc的变形。 结合文献 [ 2] 由 b218 角接触球轴承在 0 ~ 45 kN范围的推力载荷下和 3 000、6 000、10 000、 15 000 r/ min转速下的计算结果, 可以得到: ¹ 随着 转速的升高轴向变形呈现正值所需的推力越来越 大,即在小推力载荷时轴向变形为负值。这是由于 转速升高时,由于离心力的增大球心由原始位置 E 点朝着新的平衡位置Ec方向升移,此时钢球紧靠内 圈向轴向力的反方向移动, 轴向力不足以抵消钢球 对内圈的轴向反作用力时,轴向位移出现负值。此 时,钢球随着转速的升高而更加紧靠外圈,则钢球在 内圈滚道沿着球心升移方向产生的升移量小于钢球 在外圈沟道的升移量,钢球与外圈接触角的变化(减 小) 量大于钢球与内圈接触角的变化 (增大 )量。 º钢球与内外沟道接触点的升移量所对应的接触 角变化率不同, 外圈的升移量为初始接触角指向减 小的实际接触角的过程, 沟道切线斜率趋向水平, 单 位升移所对应的外圈接触角变化(减小)量大。而钢 球在内圈的升移量为初始接触角指向增大的实际接 触角的过程,沟道切线斜率趋向垂直,单位升移所对 应的内圈接触角变化(增大)量小。 » 以上两点所 分析的接触角的变化规律应随着转速的降低和轴向 力的增大而减弱。 基于以上分析, 得到 $Ai - $Ae< 0, 这样, 接触 角域则限定在本文第 4节中所分析的角域的直线 Ai+ Ae= 2A0下方的部分,直线族的范围在直线方程 右上侧取值范围为| $Ai- $Ae |的直线,由此接触角 的搜索范围减小了一半。 6 计算实例 利用本文给出的接触角迭代方法对 b218 角接 触球轴承在给定的受力和转速情况下进行编程计 算,得到如图 2、图 3所示的计算结果,分别表示外、 图 2 外接触角计算结果 F ig. 2 Calculation r esult of outer contact angle 图 3 内接触角计算结果 Fig . 3 Calculation result of inter contact angle 内接触角随着转速和轴向力的变化情况。 图 4是各接触角计算值与静态接触角的差值 (为便于分析将外接触角的减小取绝对值) , 由图 4 可见,在固定轴向力时,内外接触角的增量随着转速 的升高而增大,而在相同转速时接触角的增量随着 轴向力的增大而减小, 且外接触角的变化量位于内 接触角变化量的上方。与本文的分析结果相一致。 图 4 接触角增量比较 Fig . 4 Comparison of contact angle increments 计算结果同时说明基于接触角迭代方法的高 速角接触球轴承动态基本方程组的求解方法的可行 性,且由接触角增量的分析知不等式 $Ai - $Ae< 0 成立,因此缩小了接触角的搜索区域,使得迭代初始 值的选取更加具体, 避免了传统方法的复杂性和收 敛性。 7 结论 (1) 在分析辅助方程的基础上,进行了各辅助 方程的根本变量用接触角表示的分析。 (2) 在辅助方程根本变量用接触角表示的分析 基础上,提出了接触角迭代求解方程组的方法, 并根 据高速特性分析了接触角的搜索区域。 (3) 根据文献基于 New ton-Raphson 方法的计 算结果,分析了内外接触角增量的大小关系,并通过 计算实例得到了验证, 将接触角的搜索域减小了一 半,减少了计算量。 (下转第 209 页) 156 农 业 机 械 学 报 2 0 0 8 年 验时需要测定泵叶轮的进口直径, /拟似0扬程方法 可以避免由于叶轮外径不同引起的实验汽蚀余量误 差。 (3) k 1和 k 2值的确定, 是预测泵汽蚀余量的关 键,也就说是,要精确预测泵的汽蚀,需要分析泵进 口部分的及流场特性。 (4)由于泵常在偏工况状态下运行,有时也需要 切割叶轮或者泵变速运行,因此分析非设计工况下 的汽蚀特性也是有意义的。 (5)叶轮进口叶片安放角是决定泵汽蚀性能的主 要因素,但并不是全部的。与泵汽蚀有关的因素还有 叶轮叶片的包角大小和叶片安放角变动规律等。 参 考 文 献 1 Hydraulic institute standards[ S] . Hydraulic Institute, 9 Sy lvan Way, Suite 360, Parsippany, NJ 07 054-3 802. 2 牟介刚, 张生昌,邓鸿英, 等. 离心泵汽蚀判据的研究[ J] .农业机械学报 , 2006, 37( 9) : 97~ 99. 3 Henshaw T L . 远心½ Ó ·N NPSH r 予测9 k [ J] . Ÿ} ¼ 机械, 2001, 29( 10) : 7~ 17. 4 Xavier E, Eduard E, Mohamed F, et al. Detect ion of cavitation in hydraulic turbines[ J] . Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20( 4) : 983~ 1 007. 5 Alfayez L , Mba D, Dyson G. T he application of acoustic emission for detecting incipient cav itation and the best efficiency of a 60 kW centrifug al pump: case study[ J] . NDT& E International, 2005, 38( 5) : 354~ 358. 6 查森. 叶片泵原理及水力设计[ M ] . 北京: 机械工业出版社, 1988. 7 Ig or J K , Joseph P M , Paul C,等. 泵手册[ M ] .北京: 中国石化出版社, 2002. 8 潘中永, 曹英杰,曹卫东, 等.离心叶轮设计系数选用原则[ J] .排灌机械, 2008, 26( 3) : 34~ 38. 9 Visser F C, Dijkers R J H, Woerd J G H. Numerical flow- field analysis and design opt imization of a high-energy first-stage centrifug al pump impeller[ J] . Computing and V isualization in Science, 2000, 3( 1~ 2) : 103~ 108. (上接第 156 页) 参 考 文 献 1 张军, 陆森林,和卫星, 等. 基于小波包能量法的滚动轴承故障诊断[ J] . 农业机械学报, 2007, 38( 10) : 178~ 181. Zhang Jun, Lu Senlin, He Weixing, et al. Vibrating diagnosis of rolling bear ings based on w avelet packet energy feature [ J] . T ransactions of the Chinese Society for Ag ricultural Machiner y, 2007, 38( 10) : 178~ 181. ( in Chinese) 2 贾群义. 滚动轴承的设计原理与应用技术[ M ] . 西安: 西北工业大学出版社, 1991. 3 Har ris T A . Rolling bear ing analysis[ M ] . John Wiley and Sons, Inc. , 2001. 4 Walters C T . The dynamics of ball bear ings[ J] . J. o f Lub. Tech. , 1971, 93( 1) : 1~ 10. 5 Gupta P K . Advanced dynamics o f ro lling elements[ M ] . Spr inger-New York Inc. , 1984. 6 Meeks C R, T ran L . Ball bear ing dynamic analysis using computer met hods ) ) ) part Ñ : analysis[ J] . J. of T r ib. , 1996, 118( 1) : 52~ 58. 7 Cretu S, Bercea I , M itu N. A dynamic analysis of tapered roller bearing under fully flooded conditions. part Ñ : t heoretical formulation[ J] . Wear, 1995, 188( 1~ 2) : 1~ 10. 8 邹英永, 温建民,于广滨.径向力和弯矩联合作用下滚子轴承的刚度计算 [ J] . 中国机械工程, 2006, 17( 15) : 1 571~ 1 574. Zou Y ingyong , Wen Jianmin, Yu Guangbin. Stiffness calculation of roller bear ings wit h radial fo rce and moment loads[ J] . China Mechanical Engineer ing , 2006, 17( 15) : 1 571~ 1 574. ( in Chinese) 9 刘春浩, 顾家铭,周赤忠, 等.陀螺仪电动机转子轴承研究现状与展望[ J] . 机械工程学报, 2006, 41( 11) : 17~ 25. L iu Chunhao, Gu Jiaming, Zhou Chizhong , et al. Research of present state and prospective on gyro-spin bearings [ J] . Chinese Journal of Mechanical Eng ineering, 2006, 41( 11) : 17~ 25. ( in Chinese) 10 Jones A B. A general theory for elastically constrained ball bearing fault diagnosis [ J ] . I ndustrial Electr onics, IEEE T ransactions on, 2000, 47( 10) : 1 060~ 1 069. 11 Jones A B. A general theory for elast ically constrained ball and radial roller bearings under arbitrary load and speed conditions[ J] . ASME T rans. , Journal of Basic Eng. , 1960, 82: 309~ 320. 12 万长森.滚动轴承的分析方法[ M ] . 北京:机械工业出版社, 1985. 209第 12 期 潘中永 等: 离心泵汽蚀余量计算与预测