行列式计算

民营科技 2010年第 8期 9797MYKJ 文化教育 行列式的计算与技巧 王作中 （武警哈尔滨指挥学院文化教研室，黑龙江 哈尔滨 150070） 行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日 行列式理论的应用却远不如此，它在消元法、矩阵论、坐标变换，多重积 分中的变量替换，解行星运动的微分方程组、将二次型及二次型束化简 为型等诸多的问题中都有广泛的应用，然而这些应用最终都离不开 行列式的计算，它是行列式理论中的一个重要问题。因此现特将行列式 的计算方法归纳总结，并通过一些典型的例题介绍行列式计算的一些技 巧。 1 定义法 此法是直接利用行列式的定义进行计算，它适用于行列式中有较多 的零元素的情形。 2 化三角形法 此法是把行列式变换乘如下形式：就是使位于对角线一侧的所有元 素全部都等于零，次对角线的情形，可以用改变行（或列）的次序成相反 次序的方法，化到注对角线的情形，所得的行列式等于主对角线元素的 乘积。 3 分离线性因子法 此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换 它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。 例：计算行列式 D= -x a b c a -x c b b c -x a c b a - � � � � � � � �� � � � � � � � � �� �x 解：把 D看成系数依赖与 a，b，c的一个未知量 x的多项式，如果将 第一列加上其余各列，则行列式可分离出因子 a+b+c-x；如果将第一列 加上第二列减去第三列和第四列，则分离出因子 a-b-c-x；如果将第一 列加上第三列减去第二列和第四列，则分离出因子 b-a-c-x；如果将第 一列加上第四列减去第三列和第二列，则分离出因子 c-a-b-x。所以行 列式可被 a+b+c-x，a-b-c-x，b-a-c-x，c-a-b-x除尽，又因这四个因子互 素（因 a，b，c，x代数独立），所以 D可被它们的积除尽，即被（a+b+c-x）（ a-b-c-x）（b-a-c-x）（c-a-b-x）除尽。这乘积包含项 x4，带有系数+1，而行 列式本身也包含同一项 x4，带有系数也为+1。所以 D=（a+b+c-x）（a-b-c- x）（b-a-c-x）（c-a-b-x）=（x-a-b-c）（x-a+b+c）（x+a-b+c）（x+a+b-c）。 4 递推关系式法 此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达 n阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的 n-1换 n所得到的关于 n-1阶行列式的表 达式代入；其次，把 n-2阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求 n阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。 5 变换行列式元素法 当以同一个数改变行列式的所有元素时得到一个新行列式，而对新 行列式容易算出其值及其所有元素的代数余子式。 不妨设 A=（aij）是 n阶方阵，B=（aij+x），则|B|=|A|+x n i=1 Σ n j=1 ΣAij，其中 Aij 是|A|中元素 aij的代数余子式。这样就把计算行列式|B|化为计算行列式| A|及其若干个元素的代数余子式之和。此法也可推广为：设 A=（aij）是 n 阶方阵，B=（aij+xj），则|B|=|A|+ n j=1 Σxj n k=1 ΣAkj或设 A=（aij）是 n阶方阵 B=（aij+ xi），则|B|=|A|+ n j=1 Σxj n k=1 ΣAik。由此可以看出此法适用于行列式的各行（或 列）必可写成两分行（或列）的和且任意不同两行（或列）中都有成比例的 两分行（或列）。 例：计算 n（n≥2）阶行列式 Dn= x-a a a … a a x-a a … a a a x-a … a … … … … … a a a … x- � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �a 解：将 x-a换为 a+(x-2a)，则 Dn可写为 Dn= a+（x-2a） a a … a a a+（x-2a） a … a a a a+（x-2a） … a … … … … … a a a … a+（x-2a � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �） = （x-2a） a a … a a （x-2a） a … a a a （x-2a） … a … … … … … a a a … （x-2a � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �） +a n i=1 Σ n j=1 ΣAij =|A |+a n i=1 Σ n j=1 ΣAij 这里 ，|A|的非主对角元的代数余子 式皆为零，只有它主对角线的代数余子式非零，而主对角元的代数余子 式皆为（x-2a）n-1，故，有 n i=1 Σ n j=1 ΣAij=n（x-2a）-1 因此 Dn=（x-2a）n+na（x-2a）n-1=（x-2a）n-1[x+（n-2）a] 6 增加行列式阶数法 把 n阶行列式适当地添加 m行 m列（m≥1），使得到的 n+m阶行列 式与原行列式值不变，而且这升阶后的行列式易于计算，进而求出原 n 阶行列式。 例：计算 n阶行列式 a1a2…an≠0 解：将 n阶行列式 D添加 1行 1列构成 n+1阶行列式，使其值不变， 再将第 2，3，…，n+1行分别减去第一行，得即 ， 将这 n+1阶行列式再添加 1行 1列构成 n+2阶行列式，使其值也不 变，将第 3，4，…，n+2列分别减去第 1列，得即 将第 3，4，…，n+2列乘以 12 ，然后都加到第 1列上，再将第 3，4，…， n+2列分别乘以- 12a1 ，- 12a2 ，…，- 12an ，然后都加到第 摘 要：从定义法，化三角形法，分离线性因子法等方面重点讨论行列式的计算与技巧。 关键词：行列式；计算方式；技巧 （下转 186页） 民营科技 2010年第 8期 186186 MYKJ 管理纵横 2列上去，得 7 综合法 对于一些综合性较强的行列式的问题，可以综合地运用代数方面的 知识，才能使问题得以顺利的解决。 例：证明 ，其中 aij∈0 证明：令 A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n A的特征多项式 f（x）=|xI-A|= x-a11 -a12 … -a1n -a21 x-a22 … -a2n … … … … -an1 -an2 … x-ann 则 Dn=（-1）nf（ 1 2 ），不妨设 f（x）=x n+a1xn-1+a2xn-2+…+an，ai∈Z（i=0，1， …n） 要证 Dn≠0，只需证 f（ 1 2）≠0，用反证法，假若 f（ 1 2 ）=0，则有 1 2n +a1 1 2n-1 +a2 1 2n-2 +…+an=0 即 1 2n （1+2a1+2 2a2+…+2nan）=0，1+2a1+22a2+…+2nan=0等号左端为奇 数，右端为偶数，这是不可能的，故 f（12）≠0，因此 Dn≠0。 浅谈在 FIDIC合同条件下 投标报价书的编制 刘艳辉 （黑龙江华腾工程造价咨询有限公司，黑龙江 哈尔滨 150012） 改革开发以来，国家的基础设施的基本建设项目中，有一部分来源 于国际金融组织。根据国际金融组织的规定及国际惯例的要求，都必须 进行国际性的公开招标，其采用的合同条件，无疑是当今应用最广，最具 权威性的 FIDIC合同条件。 FIDIC即国际咨询工程师联合会，该联合会成立于 1913年，现已拥 有 60多个国家和地区的咨询工程师专业团体会员国，是被世界银行认 可的国际咨询服务机构，总部设立在瑞士洛桑。 FIDIC合同条件有通用合同条件和专用合同条件两部分构成。通用 合同条件共分 25大项，72条，194款，可以大致划分为权利、义务、费用 管理、工程进度控制、质量控制、法规性的条款等五大部分；而专用合同 条件是具体到某一项工程，需要考虑到其具体特点和所在地区情况而编 制的。 根据参加的一些应用 FIDIC合同条件的投标实际，尝试地论述 一下在 FIDIC合同条件下投标报价的编制。 FIDIC合同条件下的投标报价书大致可以分为三个部分：一是投标 书、投标书附件以及投标人填报表；二是现场组织；三是工程量清 单。 1 投标书、投标书附件以及投标人填报表的编制 在这部分内容里大体可以分为二类：一类是承包商实力的证明；向 业主说明企业的实力和以往施工的经验，证明承包商有能力和实力承担 该项工程。如：一般情况、年营业额数据表、目前在建合同、财务状况表、 类似合同经验、类似现场合同经验、拟派往本工程的人员及其简历、拟用 于本工程的设备等；另一类是对招标方的承诺：如投标报价、开工日与工 期、投标保证余额、履约保证的形势和资金、误期赔偿金额及限额、保证 金金额及限额、月付款证书的最少金额、出具付款证书以后的最少金额 和缺陷责任期等，这些都是实质性的承诺。 以上两类内容，投标者都应按照表格所要求内容认真填写，不留空 白。这是一种法律行为。 2 现场施工组织计划的编制 现场施工组织计划及标前施工组织设计，是全局性的、规划性的指 导工程投标、标志标价、签订承包合同的技术经济文件。“全局性”是指文 件内容是全面的，发挥作用是全方位的；“规划性”是指文件中要提出施 工进度控制、质量控制、现场管理，各项生产要素管理的目标及技术组织 措施；“技术经济文件”是指其内容既有技术的，又有经济的，即解决技术 问题，又考虑经济效果的管理文件，是能否中标的关键因素，也是编制报 价的重要依据。因此，在编制施工组织计划前，要认真阅读招标文件，了 解工程范围和责任、工期、付款条件、工程变更及相应的合同价格调整、 工程量、材料设备和施工技术标准及要求，承包商获取索赔的权利和业 主风险的规定等，认真进行调查研究、了解施工现场的情况、水文、地质 情况、气象资料、施工道路状况、取土场状况、材料的来源及采购方式、施 工现场需要的准备工作、障碍物的拆迁、参与料的处理、临时设施环保等 方面的情况。根据调查得来的第一手资料，确定施工和施工办法，合 理安排工期，质量达到的标准，月资金需要计划，临时设施设置和安排， 为填报表提供准确数据，为编制报价提供可靠的依据。 3 工程量清单的填报 工程量清单的主要内容是工程数量、单价、合价及总价。FIDIC合同 条件为单价合同，其中的工程量表是投标书的重点内容，投标者必须掌 握工程量计算规则，熟悉合同条款中有关计量与支付办法的章节，并详 细符合工程量。在编制报价之前，要详细了解当地材料、人工、机械价格、 运距、运费打架、保险费用、税金支付、担保及保函费用、公正费用、物价 上涨指数等。在编制报价时，应遵循“守约、保质、薄利和重义”的原则，根 据施工组织计划提供的依据，核实工程量、工料、机械台班的准确性。单 价不仅含工料机费用，还应包含企业在完成这项工程而发生的其他费 用：如管理费、保险、利息、利润、风险等费用。合价及总价要准确无误，报 价编制完成后，要进行权重系数分析，提出主要材料需要数量与价格，将 总价填写到投标书中去。 投标文件编制好以后，装订要美观大方，每一页均应有法人及法人 代表的签字，然后密封。但投标书的外包不得有投标人的姓名和标记。 FIDIC合同条件内容繁多，文字十分严密，对于承包商的制约条款 几乎达到无所不包的地步，充分体现了承包市场是买方市场之一特点， 承包商应全面消化投标文件的内容，不放过任何一个细节，编制好投标 文件。 参考文献 [1] 施工合同条件[Z].1999. [2] GB50500-2008 建设工程工程量清单计价规范[S]. 摘 要：从国际工程通用的 FIDIC合同条件特性出发，分析了在国际承包工程项目投标报价过程中如何做好投标报价书的编制。 关键词：投标书；施工组织计划；工程量清单 （上接 97页）