椭圆周长公式的求法

基础数学论文 作者：孟正平 基础数学对于我们各各学科的发展中都起着非常重要的作用，但在 基础数学领域中也有许多令我们无法精确解决的问题。比如：如何精确 计算椭圆周长公式，体现在实际应用中的像在航天方面如何更精确计算 卫星所经过的轨道等等。基础数学看上去是很枯燥的，但它是值得我们 深入探究的一门基础学科，在十几年的学习和研究过程中，数学的魅力 深深地吸引着我。 为了让我们比较容易地了解椭圆，请看下面圆在各种情况下的投影 图；在投影图中，我们假定光线垂直射向纸面，那么 1) 当圆面平行于纸面时，则圆在纸面上的投影就是圆本身，此时b=a。 2）当圆面与纸面倾斜任意角度α时 （α>0?，α<90?），则圆在纸面上 的投影都是椭圆，此时b?a，b?0。 3）当圆面垂直于纸面时，则圆的上半 周与下半周重合，他们在纸面上的投 影是圆的两条重合的直径，此时b＝0。 椭圆投影图 以上投影图的描述就是椭圆变化的全过程，任何椭圆都可以在这个 变化过程中找到。 椭圆是人们很熟悉的几何图形，可是要想计算他的周长可不是那么 容易，请看高等数学关于椭圆周长的证明； ,222dt＝4a?E(e?π/2) L＝4a1,ecost,0 由上式的证明可以导出： - 1 - 基础数学论文 作者：孟正平 22246，，11,3e1,3,5e,,,,,,2L,21,e,,,？？,,,,,,,,,,122,432,4,65,,,,,,,,，， 2468,,,,,,25,,，，Lab,,，1，，，，，？？2,,46425616384,, 22,a,bcab注：,,,,当b=a时，则e=λ=0,这时： ,,eaaa，b ，，L,,2a1,0,0,0,？？,,2a1 ，，，，L,,a，a1，0，0，0，0，？？2 当b=0时，则e=λ=1,这时： 222，，11,311,3,51,,,,,,L,,2a1,,,,？？,,,,,,,,122,432,4,65,,,,,,,,，， 11125,,，，L,a,，01，，，，，？？,,246425616384,, 演示明：L和L仅是椭圆的近似公式，迄今为止高等数学也不能12 彻底精确地解决椭圆周长的计算问题。 我通过大量的实验、观察与计算求导出来的以下精确计算椭圆周长 222 的公式，其中c=a-b 当b＞a/2时， 2，，，，2aba,2b222222L,,b，4c，，,b，4c ,,22a，bac，， 当b＝a/2时， 2a222222L,,b，4c，,b，4c （中点公式） a，b 当b＜a/2时， 2，，，，2aaa,2b222222L,,b，4c，，,b，4c ,,22a，bbc，， 以上这三个公式实质是一个公式，它表明了椭圆的不同状态，这种状态 - 2 - 基础数学论文 作者：孟正平 也包含了椭圆周长的一切变化过程。 当b=a时， （圆的周长公式） L,,a，,a,2,a 当b=0时， （圆的两条直径） L,2a，2a,4a 可见这个新椭圆公式不仅可以描绘椭圆周长的变化过程，而且完整 具体，具备公式的一般形式。 现在我们用现实的例子进行验证： 神州五号飞船的近地点为200公里，远地点为343公里，地球半径约为6371公里，据此可以求出：a＝6642.5公里，b＝6642.115175公里，c＝71.5公里，这是一个十分接近于圆的椭圆轨道，把a、b、c的值代入公式得： 2，，22ab，，a,b222222＝44Lb，c，，b，c,,,,22a，bac，， ＝435424186.8＋20449＋,,1.000028967－1.299.28961，43524186.8＋20449 ＝41734.9091公里 （飞船椭圆轨道的周长） 公式L的使用说明： 2，，ba,2b2a一、 当的小数部分的第一位或连续多位是零时，那么的值22aca＋b 2a的第一位非零数字，都应与的小数部分的第二位非零数字对a＋b 齐后在相减，如上式中括号内两个带箭头的数字所示 2a二、 当的小数部分的第一位是非零数字时，就可以按小数的减法a＋b 正常相减。 验证：因为，，，，2,a,,a，a,a，b，所以当椭圆十分接近于圆时，用来计算 椭圆的周长误差会很微小，此时会出现，，，L,,a，b的现象，因为，，,a，b＝41734.84945，L＝41734.9091公里 （实际值） - 3 - 基础数学论文 作者：孟正平 如果用L和L来计算椭圆周长，不仅计算过程非常烦琐，而且当12 椭圆特别扁时，则L和L将会失去意义，无法进行精确计算。而新椭12 圆周长公式则可以轻而易举地进行精确计算。 在新椭圆周长公式中，它的脊梁“中点公式”是证明出来的，其余 部分是由大量的数学实验和计算后，与实际椭圆周长相比较而猜导出来 的，它是通过集体智慧而挖掘出来的。 实践是检验真理的唯一，以现在的科技手段要想精确的测出任 何椭圆的周长应该不是难事，有了新椭圆公式计算也将变得很容易。用 任意一个标准椭圆沿直线滚动一周，即可测出该椭圆的周长，只要能多 试一试则可以验证公式的正确性和适用性。 仁者见仁，智者见智。祖国和民族的利益高于一切，随着我国基础 数学事业的快速发展，也将使我国在基础研究领域方面对世界产生深远 的影响。 - 4 -