综合法与分析法

综合法与分析法 海南省洋浦中学:许 雄 教材分析: 综合法和分析法作为高中数学中常用的两种基本，一直被学生所应 用，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚。本节内容结合学 生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特 点，并归纳出操作流程，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综 合法和分析法进行数学证明，养成言之有理，论证有据的习惯。 教学目标 知识与技能: (1) 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法:综合法和分 析法。 (2) 了解综合法和分析法的思考过程、特点。 过程与方法: (1) 通过实例引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点。 (2) 引导学生归纳出综合法与分析法证明的操作流程图。 情感态度与价值观: 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，体会数学思维的严密 性、抽象性、科学性，并养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维 能力。 教学重点: (1)结合已经学习过的数学实例理解综合法和分析法。 (2)了解综合法和分析法的思考过程、特点。 教学难点:综合法和分析法的应用 教学过程设计 环内容 师生设计意图 节 活动 情 同学们:知道“哥德巴赫猜想”吗,知道“西塔潘教师讲引出将要学习的内容是境 猜想”吗,这可是和中国人有缘的顶级数学难题啊。述 直接证明的两种方法:引 对“哥德巴赫猜想” 的证明奠定了陈景润在国际数综合法和分析法。 入 学界的地位，对“西塔潘猜想”的证明让中南大学 22岁的大四学生刘路成为中国最年轻的大学教授。 多么美妙的猜想，多么神奇的证明～这就是数学， 这就是数学区别于其他学科的显著特点，结论的正 确性必须通过逻辑推理的方式加以证明，那么本节 1 课我们就来共同学习两种基本的证明方法:综合法 和分析法。 2222已知求证ababcbcaabc,0,4,，，，,探引例1: 思考(1)引导学生分析教师活，，，， 究思考1:对于不等式的左右两边，结构上有什么特点, 需要证明的不等式的特动:给 新(左边的式子中有两数的平方和，右边是它们的乘积) 点，发现其中有两个数出问 知 思考2:什么知识能将两数的平方和与它们的乘积联系起的平方和，启发学生从题，让 来, 平方和和右边的对应两学生思 22 (重要不等式:) 个数之积特点入手。思考应该xyxy，,2 22证明:因为， bcbca，,,2,0考(2)是通过问题一的如何证22所以. abcabc()2，,观察发现要建立起的桥明，引22又因为， caacb，,,2,0梁是重要不等式。 导学生22所以。 bcaabc()2，,应用不等式证明以应用不2222因此 。 abcbcaabc()()4，，，, 上问题，体会综合法证等式证 反思1:回顾此题的证明过程 明的思考过程，为引出明。 已知条件 综合法的定义做准备。 学生活已知定义 本题结论 …… 反思(1)使学生从证明动:学 已知公理 的过程中出发去发现和生充分已知定理 挖掘其特点，学生通过讨论，反思2:我们把这种法方叫做综合法，请你给综合法下个较小组讨论总结出证明此思考， 为准确的定义。 过程的基本特点。反思找出以综合法定义: (2)通过反思(1)学上问题一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，生总结的特点给综合法的证明 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，下个比较准确的定义，方法 这种证明方法叫做综合法(也叫顺推证法) 通过学生的回答，教师用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所的补充最终给出综合法 要证明的结论.则综合法用框图表示为: 准确的定义，从而让学 生体会到学有所成。 特点:由因导果. 即:找条件p的必要条件 A,B,C理例题板演 教师引“成等差数解例1 在?ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为导学生列可得什么, abc,,abc,,abc,,新,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求分析， 由成等比数知 证?ABC为等边三角形. 用综合列可得什么,” 法来解从问题出发，引导学 决实际生挖掘题目中给出 2 分析: 问题，的一直条件的有用 加深对信息学生从信息中ACB，,2 综合法很容易得出:,ABC条件1:A,B,C成等差数列 条结0为等边ACBB，,,,260 的理条件2:a,b,c成等比数列 件 论 三角形 2bac, 解。 2bac, A=B=C=60? “怎样把边，角联系起怎样判断一个三角形是等边三角形, a=b=c 来,” 60?的等腰三角形 通过学生回忆以前学过 正弦定理 的知识得出: 怎样把边和角联系起来, 余弦定理: 222bacacB,，,2cos 余弦定理 从而得出了解决此实际 问题的的基本思路，从 已知条件和所学过的余 弦定理证明出三角形 ABC是等边三角形，进 一步加深了学生对综合 法的理解。 注意:隐含条件:内角和定理:A+B+C=180? 反思总结:在此题的解答中，出现了几种数学语言, a，b探通过以从引例2中，学生通过思考:求证: ,ab(a,0,b,0)2究上学生综合法来解决此问题常 a,0,b,0证明: 新对综合常会犯的错误出发，发 这样证明对 ？a，b,2ab知 法的学现用综合法证明此问题吗,为什么, 习解决遇到了麻烦，激发学生a，b2ab？,,ab 引例2 从别的思路来解决此实22 学生证际问题。 3 a，b明，教 ？,ab2师演示教师引导，学生分析，思考:是否能从别的途径证明此题呢, 其中一从需要证明的结论入a，b分析:要证 ,ab(a,0,b,0)2个错误.手，逆向思索。层层递 的案进，最终发现解决问题只需证 a，b,2ab 例。 的。 只需证 a，b,2ab,0 2 ，，a,b,0只需证 通过思考1说明此过程2，，a,b,0因为显然成立 和综合法是有区别的， 所以原不等式成立 思考2的提出让学生类 思考1:证明此不等式的方法是综合法吗, 比前面综合法的定义特思考2:我们把这种方法叫做分析法，请你给分析法下 点和证明此问题的思路个较为准确的定义。 对分析法下了一个定分析法定义: 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充义。 分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证 明的方法叫做分析法(也叫逆推证法或执果索因法)( 用框图表示分析法的思考过程、特点. Q特点:执果索因.即要找结果的充分条件 从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件。 理例2 求证 通过对求证结论的分析3，7,25学生到 解证明: 研究，让学生在例题中黑板板 新因为和都是正数， 感受分析法证明的特点演3，725 知 所以要证3，7,25 并体会其与综合法的不 22，，，，3，7,25 只需证 同。 展开得 21,5 只需证 21,5 21,25 只需证 21,25因为成立，所以成立. 3，7,25 格式:要证:？？ 4 只要证:？？ 只需证:？？ ？？ 因为…成立 所以(结论)成立 a，b对学生将通过思考问题的提出，变式练习 用综合法证明 ,ab(a,0,b,0)2比利用分从直观的形式上和内在分析法: 探析法证的联系上体会到两种方a，b证明: 要证 ,ab(a,0,b,0)2究 明的问法的有点和不足，让学 题改写生明白这两种方法在我只需证 a，b,2ab 成综合们实际解决问题的过程 只需证 a，b,2ab,0法。进中的基本思路:以分析 2一步感法寻思路，以综合法写，，a,b,0只需证 受它们过程。 2，，a,b,0因为显然成立 的区别 所以原不等式成立 和联 思考:能否对上面的不等式用综合法证明呢, 系。 综合法: 并引导2，，a,b,0证明:因为 学生思 考讨论所以 a，b,2ab,0 综合法 所以 a，b,2ab和分析 a，b法的特所以成立 ,ab(a,0,b,0)2点。 思考讨论:说说综合法和分析法的特点 综合法:由因导果，形式简洁，易于表述;但不便于思考。 分析法:执果索因，利于思考，易于探路，但思路逆行，叙 述较繁。 以分析法寻思路，以综合法写过程。 运随堂练习 学生自通过练习解题步 用44cos,,sin,,cos2,,1.求证:对于任意角，求证 主练骤，充分体会综合法和新 证明: 习，教分析法证明的方法，体知 442222因为 师巡视会综合法和分析法证明cos,,sin,,，，，，cos,，sin,cos,,sin, 22cos,，sin,,1又因为 指导，数学问题的思想。 4422cos,,sin,,cos,,sin,所以 点四位 5 ,cos2, 同学板 2.求证: 演。教 6，7,22，5 证明:因为和都是正数，所以 师点 6，722，5 要证 评。6，7,22，5 22，，，，6，7,22，5只需证 展开得 13，242,13，410 只需证 242,410 168,160只需证 168,160因为显然成立 所以原不等式成立 让学生体会一题的两种a,ba，b,13.设为两个互不相等的正数，且.证明: 解法，进一步体会这两11 ，,4种解法的优点与不足。 ab 11a，ba，b，,，(法一)综合法: abab ba,1，，1， ab ba,2，， ab ,2，2,4 11即有 ，,4ab 法二(分析法) ab,因为是不相等的正数 11要证 ，,4ab a，b,4ab只需证 1,4ab只需证 1只需证 ,ab2 ab，,ab只需证 2 只需证 abab，,2 6 2ab,,0只需证 ，， 2ab,,0因为明显成立 ，， 11所以 ，,4ab 回1、本节课学习了直接证明的两种方法:综合法和分析法 学生先让学生自主小结，教师顾 2、它们的特点是: 独立思从旁协助，培养学生口小综合法:由因导果 考然后头表达能力以及归纳概结 分析法:执果索因 小组交括能力。避免小结成为 我们常常以分析法寻思路，以综合法写过程 流。 课堂教学的走过场，真 3、在用分析法时，需注意语言的规范性和逻辑性。 正实现小结的画龙点晴 其实我们不仅在遇到数学问题时需要这样的证的作用。 明方法，即使在遇到生活难题时也可以采用这样的 方法来思想，愿同学们因为掌握了这两种证明方法 而使数学学习变得轻松快乐，愿同学们因为运用了 这两种思想方法而使生活经历变得睿智明达～谢谢 同学们，下课～ 作P91，习题2.2，A组题:1,2 进一步加强学生对综合 业 法和分析法的认识。 布思考题为下一节对综合sincos2sin,,,,,sincos2sin,,,，,思考:已知， 置 分析法的探讨做好铺,其中，求证:,(),，,kkZ,,,垫。 2 22 1tan1tan,,,, ,221tan，,21tan，,，， 板 综合法与分析法: 书综合法:由因到果 分析法:执果索因 设例一: 例二: 计 作业布置 7