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mgn椭圆内接三角形的最大面积ith 椭圆内接三角形的最大面积 最早接触到这个题目时是在一节数学课上，当时有一道特殊情况的问题:给定一点以及其切线，在椭圆上找到一条与切线平行的弦，使得弦的端点与该定点确定的三角形面积最大。讲完该题后，胡远东老师于是提出了椭圆内接三角形的最大面积的问题。循着上题的思路，我得到了关于这道题的解法。解法如下: 首先我们在椭圆上任意找两相异点A、B，连接AB 在椭圆上找一点C使得C处的切线l斜率等于k，存在两点C，AB 选择使面积较大的一个C，这样以AB为一边的三角形中，三角形ABC面积最大。 平移AB，可以找到一个更大的三角形A’B’C，如果我们每一个这样的三角形A’B’C面积相等，那么这样的三角形A’B’C的面积都是最大面积。 反过来，若固定一个C点，作其切线l，在椭圆上找一平行于l的弦ABC，使之面积最大。那么，这样的三角形ABC与上述三角形A’B’C一一对应，所以只需证明每一个三角形ABC面积相等。 22xy证明:设椭圆的方程为 (a>b>0)，C点坐标为(x，y)。 00，,122ab 222xy2x2ybx 两边对x求导，，所以y’= ，,1，y',0,22222ababay 2bx0所以 kk,,,ABl2ay0 2bx设AB方程为y=则 0,x，m2ay0 2bx0y= (1) ,x，m2ay0 22xy (2) ，,122ab 22xy00 (3) ，,122ab 222422aby，bx2bxm2222000 (1)(2)联立得 x,x，a(m,b),022ayy00 22bx0,，m,y02ay1,20 又因为 S(m),1，k**ABCAB,*22a1，kAB 而 42222242,,4bxmaby，bx222000,,,,,4a(m,b)222,,yay0,0,42222242224bxm,4(aby，bx)(m,b)000,2y0 4222222222 4bxm,4b(ay，bx)(m,b)000,2y0 42224224bxm,4ab(m,b)0,2y0 4222224b[xm,a(m,b)]0,2y022b22222,xm,a(m,b)0y0 22242244aby，bxabb*00 a,,,22222ayyay000 所以 22bx0,,，m,y222222202,ym,bxm,a(m,b)ym,b ay0000S(m),,,2**b2a2ay0 22yymy22002222220ab,m,ba(1,)m,a(m,b)ym,b3202ayybb,,,,b00,,,b，mb,m,,,,2bbbbb,,,, 3yy,,,,00令 h(m),b，mb,m,,,,bb,,,, 32yyyyy,,,,,,,,00000h'(m),b,m，3b,m,b，m,,,,,,,,bbbbb,,,,,,,, 2 yyy3y,,，，0000,b,mb,m,3b,m,,,,bbbb,,，， 222yyy,,,,000,,b,mb，m,,,,bbb,,,, 22b2bb令h‘(m)=0，则(重根舍)或(此时可验证h‘‘(),0) ,m,,m,2y2yy000 2b?当有h(m)=h(m) maxm,,2y0 3ab3b33,,此时S(m)=S(m)= max,ab,,b224,, 即每一个三角形ABC面积相等。 33m)= 下面进一步探究这个结果S(maxab4 33 ab是半长轴半短轴之积，而正是边长为的三角形的面积 34 而此正三角形正是单位圆中的最大三角形面积——正三角形。 33abSmax4 此时,,ab33S,4 于是想到一个更快捷但是不完善的证明: 22xy ? (a>b>0) ，,122ab 令x‘=ax?， y’=by? 则x‘?+y‘?=1 334而在此三角形中最大面积为。 ??式可看作为一种“放缩变换”，那么椭圆最大内接三角形与此正三角形 Sab*abmax,的面积比为“放缩率”为，即 1*1331*1 4 334?S=ab max 11月23日于高级中学