三角公式sin^2x＋cos^2x=1的应用

三角公式sin^2x＋cos^2x=1的应用 三角公式sin^2x，cos^2x=1的应用 《数理化解题研究》2年第期数学篇l9 如果0为第一象限角,即有2k,rr<0<2J}叮r+ 子(后?_z),则4订<20<4k-rr+于是2为第一 象限的角,第二象限的角或终边落在Y轴正半轴上的 角.同理可得0分别为第二,三,四象限的角时,2的 终边位置,结果如表2.,. - 表2 — 角0所在象限l234 角2终1,2象限或3,4象限或1,2象限或3,4象限或 边位置y轴正半轲Jy轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴 二,典例 例I设属于第三象限,且ICOS号I_一c.s号, 则属于第()象限 A.一B.二C.三D.四 解由图表1知,为第三象限的角时,为第 二或第四象限的角.由lc.s芋I_一c.s号可知c.s詈 <0,故为第二象限的角,应选B. 一 厶 例2设是第二象限的角.则必有() A.tan詈>c.t导B.tan号<cot詈 C.sin詈>c.s号D.sin导<c.s导 解由图表l可知,0为第二象限的角时,导为 第一,三象限的角,且终边上一点的横坐标的绝对 值小于纵坐标的绝对值,所以tan导>I,c.t0<1, tan 导>c.t旦.而sin芋与COS0的大小不定,故 选A. 例3设0是第四象限的角,?l—sin20= cos20,则2属于() A.第一象限或Y轴正半轴 B,第二象限或Y轴正半轴 C.第三象限或Y轴负半轴 D.第四象限或Y轴负半轴 解由表2可知,0为第四象限的角时,2为第 三,四象限角或角的终边在),轴负半轴上.而 ~/l—sin20=cos20,即lcos20I=cos20,得知cos20 ?0,故选D. A A 堙 三角公式sin2+COS2=1的应用 r譬譬2虫砖尘 电 .譬窑,壁堙虫堂譬堂譬堙堙 江苏省泰州市二附中(225300)王永琳? 三角公式sin+COS=1在实际解题中有很多 应用,本文分类列举几例,供教学时参考. 一 ,求值 例1已知tan.x=2.求值:(1)sin+sinxcosx; (1)2.(3)慧. 解(1)sin+sinxcosx=—sin_'x广+—si下nxcosx= tan+tan6 ?r. 一兰(兰:?竺竺曼:2一 . (sin=~c+COS)+sinxcosx ..2tan2x'+2lO — tan+1+tan戈一7' (3)等:COS一SlnC08.'1~ 2sin3x+cosx(sin~x+COS2.~ c0s3一sic0舛 2tan3x+tan+l21 ..—_=—tan一一21一戈 点评本例是典型的关于sinx与COSX的齐次式 问题,可化为关于tanx的表达式.注意常数"l"的代 换技巧. 2O数学篇《数理化解囊鲁究)2ol/年第4期 二,求取值范围 例2求Y:sin+2cosx一1的取值范围. 解Yl—COS+2cosx一1=一(COs一1) +1.因为一1?COS:~?1,所以一3?Y?1. . 点评本例化为关于COSX的二次函数形式,但 要注意隐含条件一1?COSX?1的作用. 三,求最值 例3设是锐角,求Y= 小值. 解因为sin+COS:1. 91 ?丁+—— SlnCOS 因为sin0+cos0=1,所以()+()=1, V 即4.t--' Y,. 点评根据目标式中不含三角式,采用于揩元 法,即利用sin0+COS0=1,消去三角式 四,证明不等式 例5已知a+b=1,C+d2=4.求证 的最Inc+bd1?2. 所以,,:(si2+...:)(_+):9+. SlncoS sin9cos ——_+ COSSln +1?10+2=10+ 2×3:16.上式取等号时,}~—sin丁2x :丁9cos2x韭孚COSSlnc0s = 9~tanx=?3=60..所以当=60.时,Y取得 最小值l6. 点评本例求解时,一是乘以因式1:sin+ COS;二是利用了基本不等式:当n>0,b>0时,0+ b?2o6(当且仅当a=b时取等号). 四,证明等式 例4若f嬲in+,,c0.,求证+1:4. txsinO—ycos0=2..Y 证明 sin0=3 ,cos=. 米 柴 桨 桨 柴 +'ycos0 —? ycos0 相减可得 证明因为n2+6=l,C2+譬=1,所以可设 tac+bclI=I2cosxcosy +2sinxsinyI=2ICOS(~一Y)l?2. 例6RtAABC中,C是斜边,a,b是直角边,/7,? 3,求证a+b"<c". 证明可知sinA:旦,c.sA:鱼. y.o<sinA< CC 1,0<cosA<1,而n?3,所以sin"+COSA<sinA +cosA=t.即()"+()")<1,所以n"+6"<c. CC 点评以上两例都巧用三角代换,再利用正弦, 余弦值的有界性,巧妙获证.例5中还用到了差角的 余弦公式cosxcosy+sinxsiny=COS(—Y). 挖掘基本三角公式的应用价值,有利于开阔学生 视野,提高分析问题解决问题的能力.这也符合新课 标"培养学生的探索精神和创新意识"的理念,值得F 重视. 米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米米{格米米米米米米米米 米 同角角关系式的应用技巧 米来米米柴米米柴米米米来柴米桨柴米来米柴来米米柴米{l?柴米米米米来来 米米 四川省米易中学(617200)熊云智O 同角三角函数关系式是三角式变形的基础,熟一,坐标代换 练掌握公式及其等价形式,是灵活进行三角式恒等变 形的前提. 角Ol的终边上的点P和点A(a,b)关于轴对称 (ab?0),角的终边上的点Q和点A关于直线Y= 厝?相lc,-=: nn {l SS rI??,,【由 米米米米{l? 三