降落伞选购

降落伞选购 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A /B/C/D中选择一项填写) 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 参赛队员 (打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2012 年 8 月 8 日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 2 编 号 专 用 页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号): 降落伞的选购问题 摘要 本模型研究的是空投物资所用降落伞的选购问题，在满足降落伞落地时速度不超过 m20 的前提条件下将2000 物资全部安全空投到救灾区，所购买的降落伞的kg s费用最少，得出每种降落伞最优的购买数量。 确定阻力系数。把降落伞和物资看做一个整体，忽略伞和绳子的质量。假设降落k 伞在降落过程中只受到竖直向下的重力和竖直向上的空气阻力。根据牛顿第二mgksv fma,t定律，得出合力表达式 。由高度对时间的二次微分等于加速度，建立H合 起高度与时间的微分方程，MATLAB求解出。然后以为拟合曲线与题中给出的Ht()Ht() 时间与高度的数据(表二)进行拟合，得出阻力系数的值。 kk2.9377, fma,对运动状态进行分析。通过对降落伞在空中的受力情况分析 ，建立速度与合 vt()vt()时间的微分方程用MATLAB求解得到速度表达式，并用MATLAB作出的图像，通过图像观察得出降落伞前一段时间先做加速运动，后一段时间近似做匀速运动。 v最大载重量。证明速度是关于的增函数，由于降落伞的最大落地速度为20m/s，m vt()所以当速度为20m/s时，降落伞取得最大载重。建立，的方程组，代入最大Ht() 速度20m/s，高度500m，伞的半径(表一)，计算出不同半径伞在满足降落速度20m/s前提条件下的最大承载量。 每种伞的总费用。每种伞的总费用由三部分组成:伞面费用、绳索的费用和固定费用200。伞面费见表一;绳索的费用根据对降落伞的物理数学分析易求出(具体分析见问题分析);由此得出每种半径的伞的总费用。 降落伞的最优选择。我们设每种伞分别取个, 根据总费用最少xxxxx1,2,3,4,5 建立目标函数，由总物资为约束条件，建立线性规划模型。最后用LINGO线性2000kg 规划求出最优解:x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0。即购买半径为3m的降落伞6个时总费用最少，为4932元。 关键词:数据拟合、阻力系数、最大承载量、LINGO线性规划 1 一、问题重述 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长 L, 共16根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降落伞的价格由三部分组 /成。伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1;绳索费用C2由绳索总长度及单价4元米决定;固定费用C3为200元。 表1 r(m) 2 2.5 3 3.5 4 费用(元)65 170 350 660 1000 降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞 、载重m=300kg的降落伞从的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m 500m高度作降落试验，测得各时刻的高度 ，见表2。 表2 时刻t(s) 0 3 6 9 12 1518 21 2427 30 高度(m)500 470 425 372 317 264215 160 108 55 1 试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大(在表1中选择)，在满足空投要求的条件下，使费用最低 二、 问题假设 1、降落伞和物体一直是一个整体，并且物体是可分割的。 2、降落伞伞面和绳子质量忽略不计。 3、降落伞下降过程中，只受竖直方向的空气阻力和重力作用，不受别的外力。 4、空气阻力系数只与空气有关，与其它没有关系。 5、空投开始时降落伞已经打开。 6、物体挂于降落伞上时不会脱落，不考虑因物资脱落而造成损失。 三、符号说明 m:负载的重量 k:空气阻力系数 v:降落伞速度 r:降落伞的半径 s:伞面面积 :降落伞位移 H a:降落伞加速度 h:降落伞距地面高度 g:重力加速度 :伞面费用 C1 :绳索费用 C2 :固定费用200元 C3 2 :总费用 C :降落伞每根绳索的长度 L x:每种降落伞个数() xxxxx1,2,3,4,5r :正整数 N 四、问题分析 m 我们所要解决的问题是在满足降落伞落地时速度不超过20 的前提条件下将s 2000 物资全部安全空投到救灾区，要求所购买的降落伞的费用最少的降落伞的最优kg 选购方案。以总费用为目标，每种伞的数量为决策变量。 1、总费用由题意可知每个伞的价格由三部分组成:伞面费用C、绳索费用C、固12定费用C为定值200。伞面费用由伞的半径r决定;绳索费用C由绳索的长度及单价决32 定，由图一(下方)可知绳索的长度由降落伞的半径决定，即; L,2r 2、要确定每种伞的数量，限制条件为向灾区空投救灾物资共2000kg，则建立方程组限制函数必须知道每种伞的最大载重量。再由最大载重量与速度，速度与合力的关系，首先对降落伞进行受力分析，把降落伞和载重物看作一个整体。忽略伞和绳子的重量， t根据假设3，通过对降落伞在空中的受力情况(如图一)，由高度与时间的二次微分H 等于加速度建立方程，MATLAB求解出。然后以为拟合曲线与题中给出的时间Ht()Ht() 与高度的数据(表二)进行拟合，得出阻力系数k的值。 vt()建立速度与时间的微分方程得到速度表达式，证明v是关于m的增函数。由题中所给限制:降落伞的最大落地速度为20m/s，所以当速度为20m/s时，降落伞取得最大 vt()载重。建立Ht()与的方程组，代入最大速度20m/s,高度500m的伞半径。分别再代入题中已给出可能选购的每种伞半径(表一)，计算出每种伞在满足降落速度20m/s前提条件下的最大承载量。 最后建立线性规划模型。根据总费用最少建立目标函数，根据总物资为的2000kg约束条件列出限制函数，运用LINGO软件进行线性规划求解，从而得出降落伞的最佳选购方案。 图一 图二 五、建模与求解 1、受力分析求阻力系数。 根据假设3，降落伞下降过程中，只受竖直方向的空气阻力和重力作用。由题可知 3 空气阻力f与降落速度v和伞的受力面积S的乘积成正比。则物体在竖直方向上受到的 合外力为: fmgkSv,, (1) 合 由牛顿第二定律: (2) fma,合 则可得: dvmgksv, (3) a,, dtm 由物体位移H和时间的二次微分等于加速度建立方程得: 2,dHmgksv, (4) ,,2dtm, ,H(0)500,, 用Matlab求出H(t)的关系式(程序见附录【3】) 解得: ,kS22tmgmgtmg (5) m(),，,Hte2222kSkSkS 则: ,kS22tmgmgtmgm (6) ()500,,,，hte2222kSkSkS 根据表二对给定数据为h(t)进行拟合(程序见附录【4】): 2r3m,m300kg,g9.8,,,,,,,得出 Sr2k2.9377, 2、了解降落伞的运动状态。 fmgkSv,由上已得出: (公式三) 合a,, mm tv列得速度关于时间的微分方程， ,dvkSv ,,g,,mdt即: (7) , ,v(0)0, ,, 用MATLAB程序求解(见附录【1】)， ,kst得到速度公式: mmgmge(8) v,, ksks m300; g9.8; k2.9377; s29pir3,,,,，，,已知选题中实验数据 ，，可以用MATLAB作出速度与时间的图象(见程序附录【2】)，如下图: 4 从以上可以分析出降落伞前一段时间先做加速运动，17s后近似匀速运动。分析出降落伞:速度增大，空气阻力增大，加速度减小。 3、求解最大承载量 根据第2步微分得出的v关系式: kst,mgmgm,,vte公式(8): ，， ksks 由前面的和函数建立方程组得: H(t)v(t) ,kst,mgmgm()vte,, ,,ksks (9) ,,kst22mgtmgmg, m()Hte,，,2222,ksksks, H消去参数t得到关于的函数: m ,,ksvmv222 (10) Hmgks,,,,ln1/，，,,mgks,, 降落伞的最大载重量在速度达到最大值20m/s时取得。分析如下: kst,mgmgm求: 是关于m的增函数. ,,ve ksks 证明: 由高数定理可知，函数的一阶导数>大于零，则原函数是单调递增的。一阶导数<小于零，则原函数是单调递减的。 5 kst,mgmgm公式(8): ,,ve ksks 对v求一阶导数得: ,,kStkSt mm,gegteg (11) `v,,， kSmSk ,,ksvmv222): 公式(10Hmgks,,,,ln1/，，,,mgks,, 由上式分析可知无法确定其是否大于零，在对其求二阶导数为: ,kSt2gtkS``m (12) ,,,0ve3m 则一阶导数为单调递减函数，当m趋近于无穷大时对一阶导数求极限可知 ,,kStkSt mm (13) ,,gegteggg lim()0,，,，,m,,kSmSkkSkS 由此可得: (14) v`0, 则原函数是单调递增函数，即速度v和m是成正比关系的。 kst,mgmgmm由单调性的判别法, 为的增函数 ,,ve ksks 所以最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度v(t),20m/s,此时H(t),500， 22gk,,9.8,2.9377又 s,,,,4/22rr 则由方程组调用MATLAB分别把,,,,(表一)代入(程r,2r,2.5r,3r,3.5r,4 M(r)序见附录【5】)，解得半径为r的降落伞在满足空投条件下的最大载重量如下表: 表四 r(m) 2 2.5 3 3.5 4 最大承载量(kg) 150.6787 235.4355 339.0272 461.4536602.0715 取整 150 235339 461 602 r,2,2.5,3,3.5,4m4、半径为时降落伞的绳索费 L,2r,2,2.5,3,3.5,4r问题分析中图一,由几何关系得到绳长。解得半径为的长度分别为: LmLmLmLmLm,,,,,2.83,3.53,4.24,4.95,5.6622.533.54 求得绳索费如表: 6 表五 r(m) 2 2.5 3 3.5 4 L(m) 2.83 3.53 4024 4.95 5.66 C2(元) 180.992226.24 271.488316.736 361.984 购买每把不同半径的降落伞的各需总费用C如下: 表六 r(m) 2 2.5 3 3.5 4 C1(元)65 170 350 6601000 C2(元) 180.992 226.24271.488 316.736 361.984 C3(元)200 200 200 200 200 总费用C 445.992 596.24 821.488 1176.7361561.984 取整 446 597 822 1177 1562 5、求解，确定降落伞的选购方案。 我们设每种伞分别取个, 根据总费用最少(表六)为目标函数，再xxxxx1,2,3,4,5 由总物资为约束条件，建立线性规划模型: 2000kg minzxxxxx,，，，，，，，，，4465978221177156212345 1502353394616022000，，，，，，，，，,xxxxx,,12345 st., (,,,,)xxxxxN, ,51234, 运用LINGO软件对上述线性规划模型求解见附录【6】，得出: Z,4932xxxxx,,,,,0;0;0;0;0。 即最少总费用为4932元。 min12345 六、模型评价与改进 优点:1)模型简单、切合实际、易于理解; 2)结果可靠，具有实用价值; 3)模型建立具有普遍性、易于推广; 缺点:1)求阻力系数时，由于客观因素的影响，不能够十分准确; 2)最大承载量与当地重力加速度有关，所以无法精确计算; 改进:由于本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动。为了让模型更切合实际，在模型改进时应考虑到这一点。 七、参考文献 1、百度文库、百度知道。 八、附录 7 附录【1】求解速度的程序 v=dsolve('k*S*v+m*Dv=m*g','v(0)=0','t') 解得: v =g/k/S*m-exp(-k*S/m*t)*g/k/S*m 】速度时间程序。 附录【2 m=300; g=9.8; k=2.9377; s=2*9*pi; t=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30]; V=m*g/(k*s)-m*g/(k*s)*exp(-k*s*t/m); plot(t,V) 附录【3】求解位移的程序。 H=dsolve('m*D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t') 解得: H =g/k^2/S^2*m^2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k^2/S^2*m^2*g k附录【4】MATLAB拟合程序。 建立一个名为myfun的m文件。 F=myfun(x,xdata) function s=2*pi*3^2; m=300; g=9.8; F=500-m^2*g/(x(1)^2*s^2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m^2*g/(x(1 )^2*s^2); 在matlab command window中输入下列命令: xdata=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30]; ydata=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ]; x0=[1]; x=lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata) 附录【5】 求最大载重量 在matlab中建立一个名为myfun的m文件，如下: function F=myfun(x) r=2.5; g=9.8;k=2.9377; s=2*pi*r^2; F=[x(1)^2*g/(k^2*s^2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)^2*g/(k^2*s ^2)-500; g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1))-20]; 在matlab中command window中输入以下命令: x0 = [1; 1]; % 初始点 options=optimset('Display','iter'); % 显示输出信息 x = fsolve(@myfun,x0,options) 附录【6】LINGO程序求最优解 8 min=446*x1+597*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5; 150*x1+235*x2+339*x3+461*x4+602*x5>=2000; x1>=0; x2>=0; x3>=0; x4>=0; x5>=0; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5); 求解得(部分显示如下直接复制): Global optimal solution found. Objective value: 4932.000 Objective bound: 4932.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 446.0000 X2 0.000000 597.0000 X3 6.000000 822.0000 X4 0.000000 1177.000 X5 0.000000 1562.000 9