八年级数学一次函数的复习

八年级数学一次函数的复习 (一)函数的相关概念 1．知道现实生活中存在变量与常量，变量在变化的过程中有其固有的取值范围，变量之间 有相互制约、相互依存的关系． 2．能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围(使函数的解析式有意义；实际问题有意义)；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3．初步理解函数图象的意义，掌握用“描点法”画函数图象的一般步骤，能比较准确地画出 较简单函数的图象；初步学会依据函数图象分析变量之间的数量关系，回答有关问题． (二)一次函数 1．理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，说出正比例函数的性 质及其图象的性质，理解k对正比例函数y=kx性质的影响： 解析式 y=kx(k为常数，且k?0) 自变量取值范围 全体实数 形状 过原点和(1，k)点的一条直线 图 k的取值 k>0 k<0 象 位置 经过一、三象限 经过二、四象限 用心 爱心 专心 趋势(从左向右) 上升 下降 函数变化规律 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 2．理解一次函数的概念和特征，能正确地画出一次函数的图象，理解一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的位置关系：列说明 当b>0时，直线y=kx+b由直线y=kx向上平移b个单位长度； 当b<0时，直线y=kx+b由直线．y=kx向下平移|b|个单位长度； 3．掌握一次函数的性质及其图象的性质，理解k、b对一次函数y=kx+b的性质的影响：(对比正比例函数的性质和图象的性质) 解析式 y=kx+b(k为常数，且k?0) 自变量取值范围 全体实数 形状 过(0,b)和点的一条直线 k>0 k<0 图 k、b的取值 b>0 b<0 b>0 b<0 象 经过第一、二、三经过第一、三、 经过一、二、四 经过二、三、四 位置 象限 四象限 象限 象限 趋势(从左向右) 上升 下降 函数变化规律 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 (1)k决定直线y=kx+b从左向右是什么趋势(倾斜程度)，b决定它与y轴交点在哪个半轴，k、b合起来决定直线y=kx+b经过哪几个象限；注意看图识性，见数想形． (2)两条直线l：y=kx+b和l：y=kx+b的位置关系可由其系数确定： 111222 相交 平行； 重合． 4．能依据给定的两个独立条件，用待定系数法求一次函数的解析式： (1)常见的直接条件： 对于正比例函数，根据除原点外的一点(x，y)确定 00 用心 爱心 专心 对于一次函数，根据两点(x，y)和(x，y)，解方程组确定k、b 1122 (2)间接条件：围成图形的面积；平行关系等． (三)用函数观点看方程(组)和不等式 1．会用函数的观点来再次认识一元一次方程、二元一次方程(组)和一元一次不等式，能用辨证的观点看待一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系． (1)一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标一元一次方程kx+b=0的解 (2)一次函数y=kx+b与y=kx+b两个图象的交点 12 (3)使一次函数y=kx+b的函数值y>0(或y<0)的自变量的取值范围一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集． 2．能直观地用函数的图象来反映方程(组)的解和不等式的解集，能用一次函数的性质来解 决简单的方程(组)问题、不等式问题和实际问题． (四)一次函数的应用 1．掌握一次函数在数学中的应用： (1)会求某个一次函数的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积： (2)会求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：关键是求某两条直 线的交点的坐标(即多边形顶点的坐标)． 2．掌握一次函数在实际中的应用：如分段函数问题、简单线性规划问题等． 例1．已知两个变量x、y． (1)若满足关系2x+3y=5，x为自变量，则函数y=____，它是关于x的____函数： (2)若满足关系2x+3y=b(b为常数)，y为自变量，则函数x=_____，它是关于y的____函数； (3)若满足关系2x+3y=0，则用x表示y为_____，它的比例系数是_____． 解：(1)，一次，(2)，一次 (3) 说明：一个问题中的自变量和函数是可以相互转化的． 例2．已知y是关于x的正比例函数，且x=2时，y=-3．求函数解析式． 用心 爱心 专心 解：y=-1.5x 一题多变：(1)已知一次函数的图象经过原点，还经过点(2，-3)，求函数解析式．(2)已知函数图象如图所示，求函数解析式． 说明：三种形式表现同一个问题．待定系数法是重要的数学方法，必须落实掌握；有几个要 确定的系数，就需要几个独立的条件． 例3．若函数是关于x的一次函数，求k值． 解： 说明：先认清函数的形式结构，指数和系数的取值要求；还要注意结果的取舍： 例4．一次函数的图象可看成的图象经过怎样的平移变换得到的． 解：向上平移1个单位长度或向左平移2个单位长度。 说明：要理解函数图象的平移是图象上的每一点都作同样的平移． 例5．若直线y=kx+b(k?0)不经过第一象限，则k、b的取值范围是k_____. 解：k<0， b?0 说明：本类问题要注意分类讨论和数形结合地考虑，函数可以一般的一次函数，也可以是正 比例函数． 例6．直线y=kx+b与直线y=bx+k在同一坐标系中的大致位置是( )． 12 用心 爱心 专心 说明：可以先假设直线l的位置是正确的，判断l的位置是否正确．如果出现矛盾，则该12 选项排除．选C 例7．已知：一次函数y=2x-6． (1)画出函数的图象，结合图象你能说出一次函数y=2x-6的哪些性质(至少两条)? (2)依据图象，指出x为何值时，使得y<-6? x为何值时，y>0? (3)将直线y=2x-6向上平移几个单位可以得到直线y=2x+2？ (4)求直线y=2x+2与两坐标轴的交点坐标． 解： (1)与x轴交点坐标(3，0)，与y轴交点坐标(0，-6)，y随x的增大而增大等 (2)x<0;x>3 (3)8 (4)与x轴交点坐标(-1，0)，与y轴交点坐标(0，2) 说明：一个函数的性质与其图象的性质是既有区别又相互对应的，回答问题时要注意． 例8．已知：关于x的一次函数y=(m+1)x+(n-2)．求： (1)m、n分别为何值时，y随x的增大而减小? (2)m、n分别为何值时，函数的图象与两轴都交于负半轴? (3)m、n分别为何值时，函数为正比例函数? (4)m、n分别为何值时，函数的图象与直线y=-x+2平行? 解： (1)m<-l，n为全体实数 (2)m<-1且n<2 (3)n=2，m?-1 (4)m=-2且n?4 说明：注意一题多变，充分挖掘资源，提高学生的认识． 例9．已知点A(1，2)和点B(3，5)，试分别求出满足下列条件的点的坐标： (1)在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小； (2)在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小； 研究题：在x轴、y轴上各找一点M、N，使得AM+MN+NB的值最小． 解：(1)A关于x轴的对称点为A'(1，-2)，直线A'B的解析式为 直线A'B与x轴的交点C为 用心 爱心 专心 类似地(2) (3) 说明：本题就是将“将军饮马”问题(利用轴对称变化求线段和的最小值)发展到坐标系中，并结合求一次函数解析式、一次函数图象的交点坐标等问题，成为一道综合性较强的数学问题． 例10．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分)变化的图像(全程)．根据图像回答下列问题： (1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇? (2)求这次比赛全程是多少千米? (3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇? 分析：应认真分析平面直角坐标系中两个函数图象的相互位置关系，特别是交点和分界点的 实际意义，从而找到解题的切入点，确定解题的步骤和方法．本题是生活问题数学化，而龟兔赛 跑问题则是数学问题生活化，贴近学生的生活背景，便于理解和接受． 解： (1)直线AB的解析式：，24分钟时第一次相遇 (2)直线OD的解析式：，比赛全程为12千米。 (3) 解得：38分钟时，第二次相遇。 例11．A市和B市分别库存某种机器12台和6台。现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台到C市和D市的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别是300元和500元． 用心 爱心 专心 (1)设B市运往c市的机器x台，求总运费w关于x的函数； (2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运? (3)求出运费最低的调运方案，最低运费是多少? 解： (1)w=400(10-x)+300x+800(x+2)+500(6-x)=200x+8600 (2)由200x+8600?9000解得x?2，又因为x?0，且x为整数，所以x=0，1，2共三种调运方案 (3)x=0时，w有最小值，为8600元。 说明：常用列表法整理数据，用含x的代数式分别表示A、B两市运往c、D两市的机器台数及运费． 用心 爱心 专心