关于费马点的问题《精选文档》

关于费马点的问题《精选文档》 关于费马点的问题 定义:数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的: 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点; 2. 如果3个内角均小于120?，则在三角形内部对3边张角均为120?的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质:费马点有如下主要性质: 1( 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2( 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120?。 3( 费马点为三角形中能量最低点。 4( 三力平衡时三力夹角皆为120?，所以费马点是三力平衡的点。 已知:?ABH是等边三角形。 求证:GA+GB+GH最小 证明:? ?ABH是等边三角形。G是其重心。 ? ?AGH=?AGB=?BGH=120?。 以HB为边向右上方作等边三角形?DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形?GHP. ? AH=BH=AB=12. ? ?AGH=120?, ?HGP=60?. ? A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ? ?ABH、?GHP和?BDH都是等边三角形,?GHB=30?. ? ?PHD=30?,. 在?HGB和?HPD中 ? HG=HP ?GHB=?PHD; HB=HD; ? ?HGB??HPD; (SAS) ? ?HPD=?HGB=120?; ? ?HPG=60?. ? G、P、D三点一线。 ? AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ? GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ? G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 已知:?ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。?AGC=?AGB=?BGC=120?。 求证:GA+GB+GC最小 证明:将?BGC逆时针旋转60?，连GP,DB.则 ?HGB??HPD; ? ?CPD=?CGB=120?,CG=CP,GB=PD, BC=DC,?GCB=?PCD. ? ?GCP=60?, ? ?BCD=60?, ? ?GCP和?BCD都是等边三角形。 ? ?AGC=120?, ?CGP=60?. ? A、G、P三点一线。 ? ?CPD=120?, ?CPG=60?. ? G、P、D三点一线。 ? AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ? GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ? G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。 但它不同于等边三角形的费马点是重心。 已知:?ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。?AGC=?AGB=?BGC=120?。 求证:GA+GB+GC最小 证明:将?BGC逆时针旋转60?，连GP,DB.则 ?CGB??CPD; ? ?CPD=?CGB=120?,CG=CP,GB=PD, BC=DC,?GCB=?PCD. ? ?GCP=60?, ? ?BCD=60?, ? ?GCP和?BCD都是等边三角形。 ? ?AGC=120?, ?CGP=60?. ? A、G、P三点一线。 ? ?CPD=120?, ?CPG=60?. ? G、P、D三点一线。 ? AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 ? GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ? G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。 但它不同于等边三角形的费马点是重心。